2024-2025学年北京三中高三（上）期中数学试卷（含答案)

2024-2025学年北京三中高三（上）期中
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，则( )
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
2.已知向量，，若，则实数( )
A. B. C. D.
3.已知角的终边经过点，则的值为( )
A. B. C. D.
4.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则( )
A. B. C. D.
6.设是等差数列，下列结论中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
7.已知平面，是内不同于的直线，那么下列命题中错误的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
8.已知函数，数列满足，则“为递增数列”是“”的条件．
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分又不必要
9.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为已知太阳的星等是，天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A. B. C. D.
10.如图，正方形和正方形所在的平面互相垂直．是正方形及其内部的点构成的集合，是正方形及其内部的点构成的集合．设，给出下列三个结论：
，，使；
，，使；
，，使与所成的角为．
其中所有正确结论的个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的定义域是______．
12.已知，且，则 ______．
13.函数在一个周期内的部分取值如表：
则的最小正周期为 ； ．
14.已知菱形的边长为，，点，分别在边，上，，，若，则的值为______．
15.已知，给出下列四个结论：
若，则有两个零点；
，使得有一个零点；
，使得有三个零点；
，使得有三个零点．
以上正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知函数．
Ⅰ求的最小正周期及的单调递减区间；
Ⅱ求在区间上的最大值和最小值．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，是边长为的正方形．平面平面，，．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求证二面角的余弦值；
Ⅲ证明：在线段上存在点，使得，并求的值．
18.本小题分
在中，，．
求；
再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．
条件：；
条件：的周长为；
条件：的面积为．
19.本小题分
根据国家学生体质健康标准，高三男生和女生立定跳远单项等级如下单位：
立定跳远单项等级 高三男生 高三女生
优秀 及以上 及以上
良好
及格
不及格 及以下 及以下
从某校高三男生和女生中各随机抽取名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下精确到
男生
女生
假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．
Ⅰ分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率
Ⅱ从该校全体高三男生中随机抽取人，全体高三女生中随机抽取人，设为这人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计的数学期望
Ⅲ从该校全体高三女生中随机抽取人，设“这人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件，“这人的立定跳远单项至多有个是优秀”为事件判断与是否相互独立结论不要求证明
20.本小题分
已知函数．
Ⅰ求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ讨论函数的单调性；
Ⅲ若，设函数，在上的最大值为，求的取值范围．
21.本小题分
已知：，，，为有穷数列．若对任意的，都有规定，则称具有性质．
设，
Ⅰ判断数列：，，，，：，，，，是否具有性质？若具有性质，写出对应的集合；
Ⅱ若具有性质，证明：；
Ⅲ给定正整数，对所有具有性质的数列，求中元素个数的最小值．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
7.
8.
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10.
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12.
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14.
15.
16.解：Ⅰ，
故函数的最小正周期为；
令，
整理得，
故函数的单调递减区为．
Ⅱ由于，故，
故，
故当时，函数的最小值为，当时，函数的最大值为．
17.证明：是正方形，
．
又平面平面，平面平面，
平面．
解：由，，．
，
．
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
，，．
设平面的法向量为，平面的法向量为
则，令，解得，，
．
，令，解得，，
．
．
二面角的余弦值为．
设点的竖坐标为，，在平面中作于，可得，
，，
，
，
，解得．
．
18.解：在中，由及得，
所以或，
又，
若，则，此时，故舍去，
所以．
选，由正弦定理结合可知，，
即，与矛盾，故这样的不存在；
选，由可得，
可设，
易得，
解得，
则，
设中点为，
在中，，
解得；
选，由可得，
故，
则，
解得，
则由余弦定理可得边上的中线的长度为：．
19.解：Ⅰ样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为，获得优秀的女生人数为，
所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为；
估计高三女生立定跳远单项的优秀率为．
Ⅱ由题设，的所有可能取值为，，，，
，
，
，
，
．
Ⅲ，
，
，
，所以与相互独立．
20.解：Ⅰ因为，所以，
，又，
故曲线在点处的切线方程为；
Ⅱ函数的定义域为，，
令，解得，，
当时，，在上单调递增或单增区间为；
当时，由，可得或，由，可得，
此时，单调递增区间为，；单调递减区间是；
当时，由，可得或，由，可得，
此时单调递增区间为，；单调递减区间是．
综上可得：当时，，在上单调递增；
当时，单调递增区间为，；单调递减区间是；
当时，单调递增区间为，；单调递减区间是．
Ⅲ由Ⅱ可知：若，单调递增区间为，；单调递减区间是．
当时，即，此时在上单调递增，在上单调递减，
因，则，
因在上的最大值为，则有，解得，故有；
当时，即，此时在上递增，在上递减，在上递增，
因，则，
，，，
因为，所以，，且，
则只需使，解得，故有．
综上可得，的取值范围是．
21.解：Ⅰ由题知：，，，，
，，，，
，
不具有性质，
：，，，，，
，，，，，
，，，，，
具有性质，
，，，，
，，，．
Ⅱ证明：证明等价于证明，两个元素至少有一个在中，
假设，两个元素均不在中，则有，，
设，若，
则由，可得，与矛盾，，
同理，．
．
，与具有性质矛盾，
假设不成立，即．
Ⅲ设，，
规定时，，时，，
则，，，
考虑数列：，，，
：，，，，，，，，
由题设可知，他们均具有性质，
设中元素个数的最小值为，
，
，
由Ⅱ知，，
当时，令，，
当时，令，，
此时均有，
中元素个数的最小值为．
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