2024-2025学年云南省昆明市云南师大附中高三（上）适应性数学试卷（二）（含答案）

2024-2025学年云南师大附中高三（上）适应性数学试卷（二）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3.为保证中小学生享有充足睡眠时间，促进学生身心健康发展，教育部办公厅发布关于进一步加强中小学睡眠管理工作的通知，明确学生睡眠时间要求已知某地区有小学生人，初中生人，高中生人，教育部门为了了解该地区中小学生每天睡眠时间，现用样本量比例分配的分层抽样从该地区抽取样本，经计算样本中小学生、初中生、高中生每天的平均睡眠时间分别为小时、小时、小时，则估计该地区中小学生每天的平均睡眠时间为小时．
A. B. C. D.
4.设，两点的坐标分别为，，直线与相交于点，且它们的斜率之积为，则点的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
5.已知，，，则( )
A. B. C. D.
6.在三棱锥中，是边长为的等边三角形，，，则该三棱锥外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
7.设，若存在唯一的零点，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 是函数的周期
B. 函数在区间上单调递增
C. 函数的图象可由函数向左平移个单位长度得到
D. 函数的对称轴方程为
10.已知，是椭圆的左、右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点，则( )
A. 的周长为
B. 当直线垂直于轴时，
C. 若，，则椭圆的离心率
D. 当时，椭圆上存在点，使得点向圆所引的两条切线互相垂直
11.已知函数，则( )
A. 函数有且只有两个零点
B. 函数在上为增函数
C. 函数的最大值为
D. 若方程有三个实根，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，满足，，若，则实数 ______．
13.已知，则 ______．
14.已知在数列中，，且对任意的，，都有，设，记函数在处的导数为，则使得成立的的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知．
求角；
若，，求的面积．
16.本小题分
已知函数的对称中心为，记函数的导函数为，函数的导函数为，则若函数的对称中心为．
求函数的解析式；
若过点可作三条直线与函数图象相切，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图甲，在梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使点到达点的位置，如图乙，且．
求证：平面平面；
求平面与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
某校组织知识竞赛，有，两类问题若类问题中每个问题回答正确得分，否则得分；若类问题中每个问题回答正确得分，否则得分已知李华同学能正确回答类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为．
若李华从这两类问题中随机选择一类问题进行回答，求他回答正确的概率；
若李华连续两次进行答题，有如下两个方案：
方案一：第一次答题时，随机选择两类问题中的一类问题回答，若答对，则第二次继续回答该类问题；若答错，则第二次回答另一类问题．
方案二：第一次答题时，随机选择两类问题中的一类问题回答，无论是否答对，第二次回答另一类问题．
为使累计得分的期望最大，李华应该选择哪一种方案？
19.本小题分
已知点是抛物线上任意一点，则在点处的切线方程为若，是抛物线上的两个动点，且使得在点与点处的两条切线相互垂直．
当时，设这两条切线交于点，求点的轨迹方程；
求证：由点，及抛物线的顶点所成三角形的重心的轨迹为一抛物线；
(ⅱ)对再重复上述过程，又得一抛物线，以此类推，设得到的抛物线序列为，，，，，试求的方程．
参考答案
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14.
15.解；，
由正弦定理得：，
在中，，
即，
所以，
所以，
因为，
可得，
又因为，
所以；
，
可得，
因为，
所以，，
由，
得，
因为
，
所以
．
16.解：函数，
则，，
依题意，，解得，
所以函数的解析式；
设过点的直线与函数图象相切于点，
则切线斜率，切线为，
由切线过点，得，整理得，
令，由过点可作三条直线与函数图象相切，得函数有三个零点，
求导得，由，得或，由，得，
因此函数在，上单调递增，在上单调递减，
函数在处取得极大值，在处取得极小值，
由有三个零点，得，解得，
所以实数的取值范围是．
17.证明：取中点，连接，，
则，
在中，，所以，
在中，，
在中，，，，
所以，
所以，又，，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面；
解：连接，，
易得，
又为的中点，，
由知平面，，平面，
所以，，
所以，，两两垂直，
如下图：以为原点建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
设平面的法向量为，
因为，，
所以，即，取，
则为平面的一个法向量，
设平面的法向量为，
因为，
则，即，
取，则为平面的一个法向量，
因为，，，
可得，，
设平面与平面所成角为，，
则，，
所以，
故平面与平面所成角的正弦值为．
18.解：设“选择类问题”，“选择类问题”，“选中的问题回答正确”，
则，
所以．
若选方案一：设李华累计得分为，则可能取值为，，，，，
，
，
，
，
，
则的分布列为：
．
若选方案二：设李华累计得分为，则可能取值为，，，，
，
，
，
，
则的分布列为：
，
，故选择方案二．
19.解：设，，，
则：，：，
联立，
得，
，
，，
，
故点的轨迹方程为．
证明：由已知可得，，
，，
，
因为抛物线的顶点为，设的重心坐标为，
则，
由得，
故由点，及抛物线的顶点所成三角形的重心的轨迹方程为，它是顶点在，开口向右的抛物线．
(ⅱ)由：变为，相当于把常数换成，把顶点向右移个单位长度；
由变为，只需把常数换成，把顶点再向右移个单位长度，得到，
以此类推，抛物线的方程为
．

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