北师大八年级数学（上）第一章 勾股定理 单元检测卷（含答案）

八年级数学（上）第一章勾股定理单元检测卷
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1.下列四组数，是勾股数的是 ( )
A.0.3,0.4,0.5 B.3,4,5 C.6,7,8 D.32,42,52
2.在 Rt△ABC中,∠C=90°,已知a:b=3:4,c=100,其中a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,则b的长为 ( )
A.30 B.60 C.80 D.120
3.下列说法中，正确的是 ( )
A.若(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形
B.若三角形是直角三角形，三角形的三边为a，b，c，则有
C.以三个连续自然数为三边长一定能构成直角三角形
D.在△ABC中,若∠A:∠B:∠C=3:4:5,则△ABC是直角三角形
4.如图,在△ABC中,AB=AC,AB=5,BC=8,AD 是∠BAC的平分线，则AD的长为 ( )
A.6 B.5 C.4 D.3
5.如图，一块边长24米的正方形绿地四周被小路环绕，点B在正方形的边上，BC=7米，则居民从A→C→B 比从A沿直线AB直接到B处要多走 ( )
A.5米 B.25 米 C.12米 D.6米
6.在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是 ( )
7.如图，在中，AD平分交BC于点D, ，则点D到AB的距离是 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
8.某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动.如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B 处离桌面的高度BC为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24 cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF时(点D是点B的对应点)，顶部边缘D处到桌面的距离 DE 为20cm,则底部边缘A处与 E之间的距离AE为( )
A.15 cm B.18 cm C.21 cm D.24 cm
9.将正方形①②③按如图所示的方式放置，若正方形①②的面积分别是81和144，则正方形③的边长为 ( )
A.225 B.63 C.50 D.15
10.如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高12 cm，在容器内壁离容器底部4cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4cm 的点A处.若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15cm，则该圆柱底面周长为 ( )
A.9 cm B.10 cm C.18 cm D.20cm
二、填空题(本大题共4 小题，每小题5分，满分 20分)
11.如图，船工欲将一艘船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点G偏离欲到达点F400m，结果他在水中实际划500m,则该河流的宽度 EF= m.
12.如图,CD⊥AD于点D,AD=12,AC=13.若在直线CD上取一点 B,使AB=15,则△ABC的周长为 .
13.如图,在△ABC中,AB=2,AC=3,AD⊥BC于点 D,E为AD 上任一点，则 .
14.如图,正方形ABCD的面积为144,H是边DC 上的一个动点，将正方形沿过点H的直线GH折叠(点G在边AB上).
(1)若 则 .
(2)若点D的对应点E 恰好落在边BC上的三等分点处，则线段 DH 的长是 .
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15.如图,点E在正方形ABCD内, 8.试求出阴影部分的面积S.
16.若a,b,c 是 的三边长,且a,b,c 满足
(1)求a,b,c的值.
(2)△ABC是直角三角形吗 请说明理由.
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17.如图,四边形ABCD的周长为42, 是等边三角形， ,求 BC的长.
18.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，请按要求完成下列各题.
.
(2)若△ABC是直角三角形，且边BC的长为5，请在图中确定点C的位置，并补全△ABC.
五、(本大题共2小题，每小题 10分，满分20分)
19.如图，将任意的 Rt△BAC 绕其锐角顶点 A 逆时针旋转90°得到△EAD,则∠BAE=90°,连接BE,延长 BC,DE交于点 F,则四边形ACFD是一个正方形，且它的面积与四边形ABFE的面积相等.四边形 ABFE的面积等于Rt△BAE与Rt△BFE的面积之和.根据图形写出一种验证勾股定理的方法.
20.在一次“探究性学习”课中，老师设计如下数表：
n 2 3 4 5 6
a 22—1 32—1 42—1 52—1
b 4 6 8 10
C 22+1 32+1 42+1 52+1
(1)观察表格，根据规律在表中填空。
(2)用含自然数：n(的代数式表示a，b，c，则 .
(3)猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形 请说明理由.
六、(本题满分12分)
21.在学校组织的研学活动中，辰星小组合作搭建帐篷.如图，这是他们搭建帐篷的支架示意图.在△ABC中，两根支架从帐箋顶点 A 支撑在水平的支架上，一根支架AD⊥BC于点D，另一根支架AE的端点E 在线段BD上,且AE=BE.经测量,知BD=1.6m,AD=1.2m,AC=1.5m .根据测量结果,解答下列问题：
(1)求AE的长.
(2)按照要求，当帐篷支架AB与AC 所夹的角度为直角时，帐篷最为稳定.请通过计算说明辰星小组搭建的帐篷是否符合要求.
七、(本题满分12分)
22.在△ABC中,BC=a,CA=b,AB=c.若∠C为直角,则 若∠C为锐角或钝角，则 与 之间有怎样的大小关系呢 我们一起进行探究吧.
(1)阅读并填空：如图1，若∠C为锐角，则
解:过点A作AD⊥BC于点D,则 BD=BC-CD=a-CD.
在Rt△ABD中, 在Rt△ACD中, ∴ .
即
(2)解答问题：如图2，若 为钝角，试推导与 的大小关系.
八、(本题满分14分)
23.如图,在中， 若点P从点A 出发以的速度沿折线 运动，设运动时间为
(1)若点P在AC上,且满足. 时，求出此时t的值.
(2)若点P恰好在的平分线上(但不与点A重合)，求t的值.
第一章：勾股定理单元检测卷答案
一、选择题
1.C 2.B 3.B 4.7 5.16cm2 6.C 7.D 8.A 9.D 10.C
二、填空题
11.300 12.32 13.5 14.或
15.解:在Rt△ABE中，AB2+BE2=62+82=100,∴S=S正方形ABCD-S△ABE=AB2-AE×BE=100-×6×8=76
16.∵ (a-5) +(b-12) +(c-13) =0. 则,a-5=0,b-12=0,c-13=0 ∴a=5,b=12,c=13
2.△ABC是直角三角形 ∵a2+b2=52+122=169=c2 所以△ABC是∠C为直角的直角三角形
17.如图： 连接BD， ∵AB=AD，∠A=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠CDB=150°-60°=90°， △BCD是直角三角形， 于是BC+CD=42-12-12=18，从而CD=18-x， 利用勾股定理列方程得（18-BC）2+122=BC2， 解得BC=13．
解答：解：（1）如图所示： （2）S四边形ABCD=6×4=24．
解：（1）△ABE是等腰直角三角形， 证明：∵Rt△ABC绕其锐角顶点A旋转90°得到在Rt△ADE， ∴∠BAC=∠DAE， ∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=∠CAE+∠DAE=90°， 又∵AB=AE， ∴△ABE是等腰直角三角形； （2）∵四边形ABFE的面积等于正方形ACFD面积， ∴四边形ABFE的面积等于：b 2． （3）∵S正方形ACFD=S△BAE+S△BFE 即：b2=c2+（b+a）（b﹣a）， 整理：2b2=c2+（b+a）（b﹣a） ∴a2+b2=c2．
解：（1）由图表可以得出： ∵n=2时，a=22-1，b=4，c=22+1， n=3时，a=32-1，b=2×3，c=32+1， n=4时，a=42-1，b=2×4，c=42+1， … ∴a=n2-1，b=2n，c=n2+1． （2）a、b、c为边的三角形时： ∵a2+b2=（n2-1）2+4n2=n4+2n2+1， c2=（n2+1）2=n4+2n2+1， ∴a2+b2=c2， ∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形． （3）由分析得出：第7组的式子为：112+602=612．
解：在Rt△ABD中，BD=1.6m，AD=1.2m，所以AB==√(1.6 +1.2 )=2m。在Rt△ADC中，AD=1.2m，AC=1.5m，所以CD==0.9m。因此，BC=BD+CD=2.5m。由于AB +AC =2 +1.5 =6.25，BC =2.5 =6.25，所以AB +AC =BC 。因此，△ABC是直角三角形，∠BAC=90°。所以帐篷符合稳定要求.
22.解：（1） AB2= AD2－BD2 , 在△ACD中：AD2=AC2－CD2 AB2－BD2= AC2－CD2 .
(2)证明：过B作BD⊥AC，交AC的延长线于D．设CD为y，则有BD2=a2-y2, 根据勾股定理，得（b+y）2+a2-y2=c2． 即a2+b2+2by=c2．∵b＞0，y＞0，∴2by＞0，∴a2+b2＜c2．
23.（1）当t=3时，AP=2×3=6（cm），△ABP的面积=AP×BC=×6×15=45（cm2）； 故答案为：45cm2；（2）作PD⊥AB于D，如图所示：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，∴AB=（cm）， ∵AP平分∠CAB， ∴PD=PC=2t-20（cm），AD=AC=20cm， ∴BD=AB-AD=5cm， ∴PB=BC-PC=15-（2t-20）=35-2t（cm）， 在Rt△PBD中，由勾股定理得：BD2+PD2=PB2， 即52+（2t-20)2=（35-2t)2， 解得：t=， ∴当t为时，AP平分∠CAB.