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【课堂同步达标测试】13.3等腰三角形
一、选择题
1．等腰三角形的一边长为3cm，周长为19cm，则该三角形的腰长为（ ）
A．3cm B．8cm
C．3cm或8cm D．以上答案均不对
2．在中，，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图， 中， ， ，在直线 或 上取一点P，使 为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
4．如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F.若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（ ）
A．40° B．45° C．47.5° D．50°
5．△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=2，若点D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为（ ）
A．4 B． ＋3 C．6 D．2 ＋3
6．如图， 中， 、 为线段 BC 上两点，且 ， ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在 中， ， 是 边上的高， 是 边的中线， 是 的角平分线， 交 于点G，交 于点H，下面说法正确的是（ ）
① 的面积是 的面积的一半；② ；③ ；④ .
A．①②③④ B．①② C．①③ D．①④
8．如图所示的正方形网格中，网格线的交点为格点，已知A，B是两个定格点，如果C也是图中的格点，且使得 为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
9．如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：①；②；③；④和都是等腰三角形．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，BM是△ABC的角平分线，D是BC边上的一点，连接AD，使AD=DC，且∠BAD=120°，则∠AMB=（ ）
A．30° B．25° C．22.5° D．20°
二、填空题
11．如果等腰三角形的底角为50°，那么它的顶角为 ．
12．一个等边三角形，一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，等腰三角形的底角∠3＝80°，则∠1+∠2＝ ．
13．如图，在 中， ， ， ，则 的面积为 ．
14．如图，已知每个小方格的边长为1，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的格点C有 个。
15．一个六边形的六个内角都是120°，连续四边的长依次为2.31，2.32，2.33，2.31，则这个六边形的周长为 ．
16．已知等边△ABC的边长是12，AD⊥BC，AD＝6，若点P在线段AD上运动，则AP+BP的最小值是 ．
三、综合题
17．如图，AB∥CD，直线 EF 分别交 AB、CD于 点 E、F，EG 平分∠AEF，
（1）求证：△EGF 是等腰三角形．
（2）若∠1=40°，求∠2 的度数．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，垂足为D，与AC交于点E，连接BE.
（1）若∠A＝42°，求∠EBC的度数；
（2）若AB＝10，△BEC的周长为16，求△ABC的周长.
19．如图，在 中， ， 平分 ， 交 于点 ，过点 作 于点 .
（1）求证： ；
（2）若 是 的中点， ，求 的长.
20．已知：如图， 是等腰三角形， ，
（1）利用尺规作 平分线 ，交 于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）判断 是否为等腰三角形，并说明理由.
21．如图，点A、B、C在同一直线上，在这条直线同侧作等边△ABD和等边△BCE，连结AE和CD，交点为M，AE交BD于点P，CD交BE于点Q连结PQ.
（1）求证：△ABE≌△DBC；
（2）求∠AMC的度数；
（3）求证：△PBQ是等边三角形
22．如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°．
（1）请用尺规作图法，作∠B的角平分线BD交边AC于点D；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）如果AB＝4，求BD的长．
23．如图1，点P、Q分别是等边 上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M.
（1）求证： ；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数.
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数.
24．如图，点O是等边 内的一点， ．以 为边作等边 ，使 和 在直线 的同侧，连接 ．
（1） 与 全等吗 说明你的理由；
（2）当 时，试判断 的形状，并说明理由；
（3）当 为多少度时， 是等腰三角形 请直接写出答案．
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【课堂同步达标测试】13.3等腰三角形
一、选择题
1．等腰三角形的一边长为3cm，周长为19cm，则该三角形的腰长为（ ）
A．3cm B．8cm
C．3cm或8cm D．以上答案均不对
【答案】B
【解析】【分析】此题要分情况考虑：3cm是底或3cm是腰．根据周长求得另一边，再进一步根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，判断是否能够组成三角形．
【解答】当3cm是底时，则腰长是（19-3)÷2=8（cm)，此时能够组成三角形；
当3cm是腰时，则底是19-3×2=13（cm)，此时3+3＜13，不能组成三角形，应舍去．
故选B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键
2．在中，，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】【解答】解：在中，，，
∴．
故答案为：B．
【分析】利用等角对等边的性质可得。
3．如图， 中， ， ，在直线 或 上取一点P，使 为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】B
【解析】【解答】解：以点A为圆心，AB为半径作圆，交AC于P1，P2，交BC与P3，此时满足条件的等腰△PAB有3个；
以点B为圆心，AB为半径作圆，交AC于P5，交BC与P4，P6，此时满足条件的等腰△PAB有3个；
作AB的垂直平分线，交BC于P7，此时满足条件的等腰△PAB有1个；
∵ ，∴∠ABP3=60°，
∵AB=AP3，
∴△ABP3是等边三角形；
同理可证△ABP6，△ABP6是等边三角形，即△ABP3，△ABP6，△ABP7重合，
综上可知，满足条件的等腰△PAB有5个.
故答案为：B.
【分析】若点P在直线BC上，分别以点A、B、P为顶角处的顶点分类讨论，得到2个；若点P在直线AC上，分别以点A、B、P为顶角处的顶点分类讨论，得到3个， 因此符合条件的点P共有5个.
4．如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F.若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（ ）
A．40° B．45° C．47.5° D．50°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，
∴∠ABD＝∠EBD＝ ∠ABC＝ =17.5°，∠AFB＝∠EFB＝90°，
∴∠BAF＝∠BEF＝90°﹣17.5°＝72.5°，
∴AB＝BE，
∴AF＝EF，
∴AD＝ED，
∴∠DAF＝∠DEF，
∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣35°﹣50°＝95°，
∴∠BED＝∠BAD＝95°，
∴∠CDE＝95°﹣50°＝45°，
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD＝∠EBD＝ ∠ABC，∠AFB＝∠EFB＝90°，推出AB＝BE，根据等腰三角形的性质得到AF＝EF，根据中垂线的性质求得AD＝ED，得到∠DAF＝∠DEF，根据三角形的外角的性质即可得到结论.
5．△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=2，若点D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为（ ）
A．4 B． ＋3 C．6 D．2 ＋3
【答案】C
【解析】【解答】解：过点C作射线CE，使∠BCE=30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，如图所示：
在Rt△DFC中，∠DCF=30°，
∴DF= DC，
∵2AD+DC=2（AD+ DC）
=2（AD+DF），
∴当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长，
此时，∠B=∠ADB=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD=AB=2，
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=2，
∴BC=4，
∴DC=2，
∴DF= DC=1，
∴AF=AD+DF=2+1=3，
∴2（AD+DF）=2AF=6，
∴2AD+DC的最小值为6.
故答案为：C.
【分析】过点C作射线CE，使∠BCE=30°，再过点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，根据含30°角的直角三角形的性质可得DF=DC，则2AD+DC=2(AD+DF)，当A，D，F在同一直线上时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长，此时△ABD是等边三角形，则AD=BD=AB=2，易得BC=4，DC=2，DF=DC=1，AF=3，据此求解.
6．如图， 中， 、 为线段 BC 上两点，且 ， ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵AC＝DC，BA＝BE，
∴∠DAE+∠EAC＝∠ADE＝∠B+∠BAD①，
∠EAD+∠BAD＝∠AED＝∠C+∠EAC②，
①+②可得：∠DAE+∠EAC+∠EAD+∠BAD＝∠B+∠BAD+∠C+∠EAC，
整理，得∠DAE+∠BAC＝180°﹣∠DAE，
又5∠DAE＝2∠BAC，设∠DAE=2x，则∠BAC=5x，
上式即为2x+5x=180°－2x，解得：x=20°，
即∠DAE＝40°.
故答案为：A.
【分析】根据等腰三角形的性质可得出∠BAE＝∠BEA，∠ADC＝∠DAC，然后分别用外角的知识表示出这个关系，进而结合5∠DAE＝2∠BAC可得出∠DAE的值.
7．如图，在 中， ， 是 边上的高， 是 边的中线， 是 的角平分线， 交 于点G，交 于点H，下面说法正确的是（ ）
① 的面积是 的面积的一半；② ；③ ；④ .
A．①②③④ B．①② C．①③ D．①④
【答案】C
【解析】【解答】解：∵BE是AC边的中线，
∴AE=CE AC，
∵△ABE的面积 ×AE×AB，△ABC的面积 ×AC×AB，
∴△ABE的面积等于△ABC的面积的一半，故①正确；
根据已知不能推出∠HBC=∠HCB，即不能推出HB=HC，故②错误；
∵在△ACF和△DGC中，∠BAC=∠ADC=90°，∠ACF=∠FCB，
∴∠AFG=90°-∠ACF，∠AGF=∠DGC=90°-∠FCB，
∴∠AFG=∠AGF，
∴AF=AG，故③正确；
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAC+∠ACB=90°，∠FAG+∠DAC=90°，
∴∠FAG=∠ACB，
∵CF是∠ACB的角平分线，
∴∠ACF=∠FCB，∠ACB=2∠FCB，
∴∠FAG=2∠FCB，故④错误；
即正确的为①③，
故答案为：C.
【分析】根据等底同高的三角形的面积相等进行判断①，根据等腰三角形的判定判断②即可，根据三角形的内角和定理求出∠AFG=∠AGF，再根据等腰三角形的判定判断③即可，根据三角形的内角和定理求出∠FAG=∠ACB，再判断④即可.
8．如图所示的正方形网格中，网格线的交点为格点，已知A，B是两个定格点，如果C也是图中的格点，且使得 为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【答案】C
【解析】【解答】解：①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个.
具体如图所示：
故答案为：C.
【分析】分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解.
9．如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：①；②；③；④和都是等腰三角形．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】【解答】解：
①；
故①结论正确
②；
故②结论正确
③；
故③结论正确
④和都是等腰三角形．
同理
故④结论正确
其中正确的结论有：①②③④
故答案为：D
【分析】已知条件相等角度较多，在草图中标示清楚以便分析；根据角平分线的定义可得等角或二倍角或半角关系式，根据外角定理可写出与不相邻的两个内角的等量关系式；从结论的一侧出发，不断进行等量代换，可得到角的倍或半的关系；由同位角相等两直线平行可以判定平行关系，由等角对等边的定理可以判定等腰三角形；本题需要逐一判定，故相关的定理要灵活应用以快速推导。
10．如图，BM是△ABC的角平分线，D是BC边上的一点，连接AD，使AD=DC，且∠BAD=120°，则∠AMB=（ ）
A．30° B．25° C．22.5° D．20°
【答案】A
【解析】【解答】解：∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM=∠CBM，
∵AD=DC，
∴∠DAC=∠C，
在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠C=180°，
即2∠CBM+∠BAD+2∠C=180°，且∠BAD=120°
∴∠CBM+∠C=30°，
∴∠AMB=∠CBM+∠C=30°，
故答案为：A．
【分析】根据角平分线的性质可得∠ABM=∠CBM，再由等腰三角形性质得出∠DAC=∠C，利用三角形外角性质和三角形内角和，结合角的运算得出结论
二、填空题
11．如果等腰三角形的底角为50°，那么它的顶角为 ．
【答案】80°．
【解析】【解答】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得，它的顶角为180°-2×50°=80°．
故答案为：80°．
【分析】根据等角对等边对性质和三角形内角和定理可算出答案。
12．一个等边三角形，一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置，等腰三角形的底角∠3＝80°，则∠1+∠2＝ ．
【答案】130°
【解析】【解答】解：如图，
由等边三角形和直角三角形可得∠1+α=120°，∠2+β=90°，
∴∠1+∠2+α+β=90°+120°=210°，
且∠3=α+β，
∴α+β=80°，
∴∠1+∠2=210°-80°=130°，
故答案为130°．
【分析】先求出∠1+α=120°，∠2+β=90°，可得∠1+∠2+α+β=90°+120°=210°，再结合α+β=80°，即可得到∠1+∠2=210°-80°=130°。
13．如图，在 中， ， ， ，则 的面积为 ．
【答案】7
【解析】【解答】过点C作CD⊥AB交BA的延长线于点D
∵ ， ，
∵
故答案为：7．
【分析】过点C作CD⊥AB交BA的延长线于点D，根据含30°的直角三角形的性质求出CD的长度，然后利用 即可求出答案．
14．如图，已知每个小方格的边长为1，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的格点C有 个。
【答案】8
【解析】【解答】解：以A点为圆心，AB为半径作圆，找到格点即可，（A、B、C共线除外）；以B点为圆心，AB为半径作圆，在⊙B上的格点为C点；在AB的垂直平分线上有两个格点．故使△ABC是等腰三角形的格点C有8个．
【分析】分别以A、B点为圆心，AB为半径作圆，找到格点即可（A、B、C共线除外）；此外加上在AB的垂直平分线上有两个格点，即可得到答案.
15．一个六边形的六个内角都是120°，连续四边的长依次为2.31，2.32，2.33，2.31，则这个六边形的周长为 ．
【答案】13.92
【解析】【解答】解：如图，
AB＝2.31，BC＝2.32，CD＝2.33，DE＝2.31，分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P．
∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，
∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．
∴△APF、△BGC、△DHE、△GHP都是等边三角形．
∴GC＝BC＝2.32，DH＝DE＝2.31．
∴GH＝2.32+2.33+2.31＝6.96，FA＝PA＝PG﹣AB﹣BG＝6.96﹣2.31﹣2.32＝2.33，EF＝PH﹣PF﹣EH＝6.96﹣2.33﹣2.31＝2.32．
∴六边形的周长为2.31+2.32+2.33+2.31+2.32+2.33＝13.92．
故答案为：13.92．
【分析】凸六边形ABCDEF，并不是一规则的六边形，但六个角都是120°，所以通过适当的向外作延长线，可得到等边三角形，进而求解．
16．已知等边△ABC的边长是12，AD⊥BC，AD＝6，若点P在线段AD上运动，则AP+BP的最小值是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点P，
∴∠AEP=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=60°，
∴∠ABE＝30°，
∴，
∵AB=12，
∴AE=6，
∴，
又∵AD⊥BC，
∴，
∴，
∴，
∴当BP⊥AC时，PE+BP有最小值为BP，即此时取得最小值，
∴的最小值是，
故答案为：．
【分析】过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点P，根据等边三角形的性质“三线合一”得∠ABE＝30°，∠DAC=30°，然后根据含30°的直角三角形的性质得，，得，从而有当BP⊥AC时，PE+BP有最小值为BP，即此时取得最小值，利用勾股定理求出BE的长，即可求解.
三、综合题
17．如图，AB∥CD，直线 EF 分别交 AB、CD于 点 E、F，EG 平分∠AEF，
（1）求证：△EGF 是等腰三角形．
（2）若∠1=40°，求∠2 的度数．
【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠1=∠AEG，
∵EG平分∠AEF，
∴∠AEG=∠FEG，
∴∠1=∠FEG，
∴FE=FG，
即△EGF是等腰三角形；
（2）解：∵∠1=40°，∠1=∠AEG=∠FEG，
∴∠AEF=40°+40°=80°，
∴∠2=180°-80°=100°．
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质求出∠1=∠AEG，求出∠AEG=∠FEG，推出∠1=∠FEG，根据等腰三角形的判定推出即可；（2）求出∠AEF的度数，根据邻补角定义求出即可．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，垂足为D，与AC交于点E，连接BE.
（1）若∠A＝42°，求∠EBC的度数；
（2）若AB＝10，△BEC的周长为16，求△ABC的周长.
【答案】（1）解：∵AB=AC，∠A= ，
∴∠ABC=∠C= .
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
∴∠EBA=∠A= ，
∴∠EBC= ；
（2）解：∵DE是AB的垂直平分线，AB=10
∴EB=AE，△BEC的周长=EB+BC+EC=EA+BC+EC=AC+BC=16，
则△ABC的周长=AB+BC+AC=26.
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ABC的度数，根据线段的垂直平分线的性质得出EA=EB，根据等边对等角求出∠EBA的度数，最后根据角的和差，由∠EBC=∠ABC-∠ABE计算即可；
（2）根据线段的垂直平分线的性质得出EA=EB，进而根据△BEC的周长的计算方法及等量代换、线段的和差得出AC+BC=16，最后根据三角形的周长的计算方法计算即可.
19．如图，在 中， ， 平分 ， 交 于点 ，过点 作 于点 .
（1）求证： ；
（2）若 是 的中点， ，求 的长.
【答案】（1）证明：∵AD平分∠CAB，且CD⊥AC，DE⊥AB，
∴DC=DE，
在Rt△ADC和Rt△ADE中，
，
∴△ADC≌△ADE(HL)，
∴AC=AE；
（2）解：∵DE⊥AB，且E为中点，
∴DA=DB ，
∴∠DAB=∠B，
又∵∠DAB=∠CAD，
∴∠DAB=∠B=∠CAD，
∵∠CAB+∠B=90°，
∴∠DAB+∠CAD+∠B=90°，
∴3∠B=90°，
∴∠B=30°，
在Rt△DEB中，BD=2DE，
∵DE=CD=5，
∴BD=10.
【解析】【分析】（1）由角平分线的性质可得DC=DE，然后证明△ADC≌△ADE，据此可得结论；
（2）易得DA=DB，由等腰三角形的性质可得∠DAB=∠B，由角平分线的概念可得∠DAB=∠CAD，则∠DAB=∠B=∠CAD，结合∠CAB+∠B=90°可得∠B=30°，则BD=2DE，据此求解.
20．已知：如图， 是等腰三角形， ，
（1）利用尺规作 平分线 ，交 于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）判断 是否为等腰三角形，并说明理由.
【答案】（1）解：如图所示：
BD即为所求；
（2） 是等腰三角形.
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣36°）÷2＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∴∠ABD＝∠A，
∴AD=BD，
∴ 是等腰三角形.
【解析】【分析】（1）以B为圆心，以任意长为半径画弧交AB、AC于两点，再分别以这两点为圆心，以大于这两点的距离的一半为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于一点，过点B和这点作射线交AC于点D即可；
（2）根据等边对等角及三角形的内角和定理求出∠ABC=72°，进而根据角平分线的定义求出∠ABD的度数，根据等角对等边即可证明结论.
21．如图，点A、B、C在同一直线上，在这条直线同侧作等边△ABD和等边△BCE，连结AE和CD，交点为M，AE交BD于点P，CD交BE于点Q连结PQ.
（1）求证：△ABE≌△DBC；
（2）求∠AMC的度数；
（3）求证：△PBQ是等边三角形
【答案】（1）证明：∵△ABD、△BCE为等边三角形，
∴AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，
∴∠ABE=∠DBC，∠PBQ=60°，
在△ABE和△DBC中，
，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
（2）解：∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE=∠BDC，
∵∠BDC+∠ACD=∠ABD=60°
∴∠BAE+∠ACD=60°
∴∠AMC=180°-∠BAE-∠ACD=120°
（3）证明：在△ABP和△DBQ中，
，
∴△ABP≌△DBQ（ASA），
∴BP=BQ，且∠PBQ=60°
∴△BPQ为等边三角形，
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质得出AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，得出∠ABE=∠DBC，由SAS即可证出△ABE≌△DBC；
（2）由全等三角形的性质可得∠BAE=∠BDC，由三角形外角的性质和三角形内角和及等边三角形的性质可求AMC的度数；
（3）由“ASA”可证△ABP≌△DBQ，可得BP=BQ，即可证△PBQ是等边三角形.
22．如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°．
（1）请用尺规作图法，作∠B的角平分线BD交边AC于点D；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）如果AB＝4，求BD的长．
【答案】（1）解：如图，线段BD为所求出；
（2）解：∵在△ABC中，∠ABC＝60°，∠C＝45°，
∴∠A＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠DBC＝＝30°，
∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝75°，
∴∠A＝∠ADB，
∴BD＝AB＝4．
【解析】【分析】 (1)根据尺规作图方法，以B为圆心，圆规取合适的长度，划圆弧，交AB、BC。再以圆弧与AB、BC交点为圆心分别画圆弧，相交于一点，把交点和B连接，做出 ∠B的角平分线BD。
(2) 根据三角形内角和是 180° ，得出 ∠A = 75° ，BD是角平分线得出 ∠DBC =30， 得 出∠A＝∠ADB，BD＝AB＝4 。
23．如图1，点P、Q分别是等边 上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M.
（1）求证： ；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数.
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数.
【答案】（1）证明：∵ 是等边三角形，
∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，
∵点P、Q运动速度相同，
∴AP=BQ，
∴ .
（2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变.
∵ ，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠ACP+∠MAC， ∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°.
（3）解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，∠QMC不变.
∵ ，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°-∠PAC=180°-60°=120°.
【解析】【分析】（1）根据SAS可证△ABQ≌△CAP；
（2）由△ABQ≌△CAP可得∠BAQ=∠ACP ， 从而可求出∠QMC=∠ACP+∠MAC =∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°.；
（3）不变，理由同（2）可证.
24．如图，点O是等边 内的一点， ．以 为边作等边 ，使 和 在直线 的同侧，连接 ．
（1） 与 全等吗 说明你的理由；
（2）当 时，试判断 的形状，并说明理由；
（3）当 为多少度时， 是等腰三角形 请直接写出答案．
【答案】（1）解： 和 都是等边三角形，
，
，即 ，
在 和 中， ，
；
（2）解：由（1）已证： ，
，
是等边三角形，
，
，
又 ，
，
是直角三角形；
（3） 或 或
【解析】【解答】解：（3）由（2）可知， ，
，
由等腰三角形的定义，分以下三种情况：
①当 时， 是等腰三角形，
则 ，
解得 ；
②当 时， 是等腰三角形，
则 ，
解得 ；
③当 时， 是等腰三角形，
则 ，
解得 ；
综上，当 为 或 或 时， 是等腰三角形．
【分析】（1）先根据等边三角形的性质可得 ，再根据角的和差可得 ，然后根据三角形全等的判定定理即可得；（2）先根据三角形全等的性质可得 ，再根据角的和差可得 ， ，然后根据直角三角形的定义即可得；（3）先根据（2）的求解过程可知 ，再根据三角形的内角和定理可得 ，然后根据等腰三角形的定义分 ， 和 三种情况讨论即可得．
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