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第十三章 轴对称 单元综合突破卷
一、选择题
1．下列四个图案中，不是轴对称图案的是（ ）
A． B．
C． D．
2．习近平书记提出的“中国梦”，这3个字中是轴对称图形的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
3．在平面直角坐标系xOy中，点A（－2，4）关于x轴对称的点B的坐标是（ ）
A．（－2，4） B．（－2，－4）
C．（2，－4） D．（2，4）
4．如图，在 中， ， ， ，观察图中尺规作图的痕迹 的面积为（ ）
A．64 B．32 C．16 D．8
5．如图，在平面直角坐标系中，关于直线m（直线m上各点的坐标都为1）对称，点C的坐标为，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．△ABC三条边的垂直平分线的交点处
B．△ABC三条角平分线的交点处
C．△ABC三条高线的交点处
D．△ABC三条中线的交点处
7．下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
8．下列命题是真命题的是（ ）
A．等腰三角形的顶角一定是锐角
B．三个角对应相等的两个三角形全等
C．每个定理都有逆定理
D．等腰三角形的底角小于 90°
9．如图，等边的边长为，点是边的中点，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（ ）
A． B． C．a+b D．a
二、填空题
11．点M（3，-4）关于x轴的对称点的坐标是
12．点P（a，3）与点P'（2，b）关于x轴对称，则a-b的值为 ．
13．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A、B是两格点，若C点也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点C有 个.
14．已知一个等腰三角形的两边长a，b满足方程组 则此等腰三角形的周长为 .
15．如图，A（3，4），B（0，1），C为x轴上一动点，当△ABC的周长最小时，则点C的坐标为 ．
16．已知 和 均为等腰直角三角形， ， ，点 为 的中点，已知 为直线 上的一个动点，连接 ，则 的最小值为 .
三、综合题
17．
（1）已知等腰三角形的一边长等于8cm，一边长等于9cm，求它的周长；
（2）等腰三角形的一边长等于6cm，周长等于28cm，求其他两边的长.
18．如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数？
19．如图，△ABC的顶点分别为A（-2，3），B（-3，2），C（-1，1）
A2B2C2
（1）画出△ABC关于y轴对称的△ ；
（2）请在x轴上确定一点D，使点D到B、C的距离相等（要求用直尺和圆规作图，并保留作图痕迹）
20．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BF与△ABC的外角平分线CF 相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E。
（1）写出图中所有的等腰三角形，并选择其中一个说明理由。
（2）直接写出BD，CE，DE之间的数量关系。
（3）若DE=5cm，CE=8cm，BF=24cm，求△BDF的面积。
21．如图，已知A点坐标为（2，4），B点坐标为（-3，-2），C点坐标为（5，2）．
（1）在图中画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出点A′，B′，C′的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）在x轴上找点P，使PA+PC的值最小，并观察图形，写出P点的坐标．
22．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
23．如图，在平面直角坐标系中，已知三点，，，且．
（1）试判断线段与的数量关系，并证明；
（2）如图1，当时，连接，点P是线段上一点，于Q，连接．若，试探究和之间数量关系；
（3）如图2，当时，点D在x轴负半轴上，位于点C的左侧，且，连接，射线交于点E．当点B在y轴负半轴上运动时，的度数是否为定值？如果是，请求出的度数；如果不是，请说明理由．
24．问题情境：
七下教材第149页提出这样一个问题：如图1，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F，PE与PF相等吗？
（1）七年级学习这部分内容时，我们还无法对这个问题的结论加以证明，八下教材第59页第11题不仅对这一问题给出了答案：“通过实验可以得到PE＝PF”，还要求“现在请你证明这个结论”，请你给出证明：
（2）变式拓展：
如图2，已知∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，P是OC上一点，∠EPF＝60°，PE边与OA边相交于点E，PF边与射线OB的反向延长线相交于点F.试解决下列问题：
①PE与PF还相等吗？为什么？
②试判断OE、OF、OP三条线段之间的数量关系，并说明理由.
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第十三章 轴对称 单元综合突破卷
一、选择题
1．下列四个图案中，不是轴对称图案的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】A、是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项正确；
D、是轴对称图形，故本选项错误．
故答案为：C．
【分析】轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此判断即可.
2．习近平书记提出的“中国梦”，这3个字中是轴对称图形的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】C
【解析】【解答】解：“中国梦”三个字中，是轴对称图形的有中，其它两个不是轴对称图形，
故应选C.
【分析】根据轴对称图形的概念解答即可．
3．在平面直角坐标系xOy中，点A（－2，4）关于x轴对称的点B的坐标是（ ）
A．（－2，4） B．（－2，－4）
C．（2，－4） D．（2，4）
【答案】B
【解析】【解答】解：∵点A（－2，4），
∴关于x轴对称的点B的坐标是（－2，－4），
故答案为：B．
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出答案。
4．如图，在 中， ， ， ，观察图中尺规作图的痕迹 的面积为（ ）
A．64 B．32 C．16 D．8
【答案】C
【解析】【解答】解：观察图中尺规作图的痕迹可得CG为 角平分线，
∵AC=BC
∴CG⊥AB，且AG=BG
∵AB=16
∴AG= AB=8
∴ 的面积为
故答案为：C．
【分析】观察图中尺规作图的痕迹可得CG为 角平分线，因此 的面积为 。
5．如图，在平面直角坐标系中，关于直线m（直线m上各点的坐标都为1）对称，点C的坐标为，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵△ABC关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称，
∴C，B关于直线m对称，即关于直线x=1对称，
∵点C的坐标为（4，1），
∴设B（x，1）则，解得x=-2
则点B的坐标为：（-2，1）．
故答案为：B．
【分析】由△ABC关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称，可得C，B关于直线x=1对称，设B（x，1）可得，求出x值即可.
6．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．△ABC三条边的垂直平分线的交点处
B．△ABC三条角平分线的交点处
C．△ABC三条高线的交点处
D．△ABC三条中线的交点处
【答案】A
【解析】【解答】解：∵线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
∴△ABC三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等；
故答案为： A．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等进行解答即可.
7．下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故答案为：B.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此分析即可.
8．下列命题是真命题的是（ ）
A．等腰三角形的顶角一定是锐角
B．三个角对应相等的两个三角形全等
C．每个定理都有逆定理
D．等腰三角形的底角小于 90°
【答案】D
【解析】【解答】解：A、 等腰三角形的底角一定是锐角，故原说法错误；
B、三个角对应相等的两个三角形不一定全等，故原说法错误；
C、定理的逆命题可能是假命题，故原说法错误；
D、 等腰三角形的底角小于 90°，故原说法正确.
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形的性质以及内角和定理可判断A、D；根据全等三角形的判定定理可判断B；定理的逆命题可能是假命题，据此判断C.
9．如图，等边的边长为，点是边的中点，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：作交于点，则，
是边长为的等边三角形，
，，
∵EG∥AC，
∴∠BEG=∠A=60°，∠BGE=∠C=60°，
是等边三角形，
又点是边的中点，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
的长为，
故答案为：D
【分析】作EG∥AC交BC于点G，则，推出是等边三角形，由中点定义及等边三角形性质得，求得，结合，推出，可用AAS证明，由全等三角形的性质得，即可得解．
10．如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（ ）
A． B． C．a+b D．a
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC＝a，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AF＝CF＝a，BF＝b，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，BF⊥AC，
∴点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），
作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小，
∵CA＝CM，∠ACM＝60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴AM＝AC，
∵BF⊥AC，
∴FM＝BF＝b，
∴△AEF周长的最小值＝AF+FE′+AE′＝AF+FM＝a+b，
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形的性质得AB＝AC＝a，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°，推出∠BAD＝∠CAE，从而用SAS判断出△BAD≌△CAE，得∠ABD＝∠ACE，进而根据等边三角形的三线合一得∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，BF⊥AC，故点E在射线CE上运动，作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小，判断出△ACM是等边三角形，得AM＝AC，进而即可得出FM＝BF＝b，从而即可解决问题.
二、填空题
11．点M（3，-4）关于x轴的对称点的坐标是
【答案】(3，4)
【解析】【解答】解：由题意可得：
点M（3，-4）关于x轴的对称点的坐标是(3，4)
故答案为：(3，4)
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征即可求出答案.
12．点P（a，3）与点P'（2，b）关于x轴对称，则a-b的值为 ．
【答案】5
【解析】【解答】解：根据题意得：a=2，b=-3，
∴ a-b=5.
故答案为：5.
【分析】关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，求出a，b的值再代入求值即可.
13．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A、B是两格点，若C点也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点C有 个.
【答案】10
【解析】【解答】解：如图：
当CA=CB时，作AB的垂直平分线，符合条件的点有6个，
当AB=AC时，以A为圆心，AB长为半径作圆，符合条件的点有2个，
当BA=BC时，以B为圆心，BA长为半径作圆，符合条件的点有2个，
综上所述，△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有10个.
故答案为：10.
【分析】当CA=CB时，作AB的垂直平分线，可得符合条件的点的个数；当AB=AC时，以A为圆心，AB长为半径作圆，可得符合条件的点的个数；当BA=BC时，以B为圆心，BA长为半径作圆，可得符合条件的点的个数，据此解答.
14．已知一个等腰三角形的两边长a，b满足方程组 则此等腰三角形的周长为 .
【答案】5
【解析】【解答】解：解方程组 ，
解得： ，
所以等腰三角形的两边长为2，1，
若腰长为1，底边长为2，由1+1=2知，这样的三角形不存在，
若腰长为2，底边长为1，则三角形的周长为5，
所以这个等腰三角形的周长为5.
故答案为5.
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解，三角形三边关系，等腰三角形的性质有关知识，先解二元一次方程组，然后讨论腰长的大小，再根据三角形三边关系解答即可.
15．如图，A（3，4），B（0，1），C为x轴上一动点，当△ABC的周长最小时，则点C的坐标为 ．
【答案】
【解析】【解答】先作出点B关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于点C，则点 的坐标为
由两点之间线段最短可知， 的长即为 的长，因为AB是定值，所以此时△ABC的周长最小
设直线 的解析式为
将 代入解析式得
解得
∴直线 的解析式为
当 时， ，解得
∴点
故答案为： .
【分析】先作出点B关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于点C，再用待定系数法求出直线 的解析式，进而求出点C的坐标即可.
16．已知 和 均为等腰直角三角形， ， ，点 为 的中点，已知 为直线 上的一个动点，连接 ，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】【解答】解：设Q是AB的中点，连接DQ，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC=2，P为AC中点，
∴AQ=AP，
在△AQD和△APE中，
，
∴△AQD≌△APE（SAS），
∴QD=PE，
∵点D在直线BC上运动，
∴当QD⊥BC时，QD最小，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∵QD⊥BC，
∴△QBD是等腰直角三角形，
∴QD= QB，
∵QB= AB=2，
∴QD= ，
∴线段OE的最小值是为 .
故答案为： .
【分析】设Q是AB的中点，连接DQ，先证得△AQD≌△APE，得出QD=PE，根据点到直线的距离可知当QD⊥BC时，QD最小，然后根据等腰直角三角形的性质求得QD⊥BC时的QD的值，即可求得线段PE的最小值.
三、综合题
17．
（1）已知等腰三角形的一边长等于8cm，一边长等于9cm，求它的周长；
（2）等腰三角形的一边长等于6cm，周长等于28cm，求其他两边的长.
【答案】（1）解：8cm是腰长时，三角形的三边分别为8cm、8cm、9cm，
能组成三角形，周长=8+8+9=25cm，
8cm是底边时，三角形的三边分别为8cm、9cm、9cm，能组成三角形，
周长=8+9+9=26cm，综上所述，周长为25cm或26cm
（2）解：6cm是腰长时，其他两边分别为6cm，16cm，
∵6+6=12＜16，
∴不能组成三角形，
6cm是底边时，腰长为 （28-6）=11cm，
三边分别为6cm、11cm、11cm，能组成三角形，
所以，其他两边的长为11cm、11cm
【解析】【分析】本题主要考查等腰三角形性质（两腰相等）及三角形三边关系（两边之差小于第三边，两边之和大于第三边）。做这种题目一定要细心，一般都是分类讨论，因为在本题中他只告诉你其中一边，并没有告诉你是不是腰长，所以分类讨论，合适的保留，不合适的舍去。
18．如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数？
【答案】（1）证明：∵在△ABE和△DCE中
∴△ABE≌△DCE（AAS）
（2）解：∵△ABE≌△DCE，∴BE=EC，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50°，∴∠EBC=25°
【解析】【分析】（1）根据角角边可证△ABE和△DCE全等.（2）根据全等三角形的对应边相等可得EB=EC，由等边对等角可得∠EBC=∠ECB，根据三角形的外角的性质可得∠AEB=2∠EBC，进而可求∠EBC的度数。
19．如图，△ABC的顶点分别为A（-2，3），B（-3，2），C（-1，1）
A2B2C2
（1）画出△ABC关于y轴对称的△ ；
（2）请在x轴上确定一点D，使点D到B、C的距离相等（要求用直尺和圆规作图，并保留作图痕迹）
【答案】（1）解：
（2）解：
【解析】【分析】（1）先作A（-2，3），B（-3，2），C（-1，1）三点关于y轴对称的点A1 、B1 、C1 ，再顺次连接 A1 B1，B1C1，C1A1，得到△ A1B1C1即可；（2）根据线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，尺规作图即可：①过点B以任意长为半径作弧；②过点C以与第①步等长为半径作弧，与第①步的弧交于两点；③过这两点作直线与x轴交于点D. 点D就是所求作的点.
20．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BF与△ABC的外角平分线CF 相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E。
（1）写出图中所有的等腰三角形，并选择其中一个说明理由。
（2）直接写出BD，CE，DE之间的数量关系。
（3）若DE=5cm，CE=8cm，BF=24cm，求△BDF的面积。
【答案】（1）解：△DBF、△ECF 以说明△DBF为例： ∵BF平分∠ABC
∴∠DBF=∠CBF
∵DF∥BC
∴∠CBF=∠DFB
∴∠DBF=∠DFB，
即△DBF为等腰三角形
（2）解：存在：BD CE=DE，证明：∵DF=BD，CE=EF，
∴BD CE=FD EF=DE.
（3）解：作DM⊥BF与点M，由（1）知△DBF为等腰三角形，∴BM= BF=12cm，
由（2）知BD=DE+EC=5+8=13cm，
由勾股定理，得DM= =5cm， S△BDF= ×BF×DM= ×24×5= 60(cm2)
【解析】【分析】（1）图中的等腰三角形有：△DBF、△ECF；以△DBF为例作说明：根据角平分线的定义得出∠DBF=∠CBF，根据二直线平行，内错角相等得出∠CBF=∠DFB，根据等量代换得出∠DBF=∠DFB，由两个角相等的三角形是等腰三角形即可得出结论；
（2）BD，CE，DE之间的数量关系是：BD CE=DE，根据等腰三角形的量腰相等得出DF=BD，CE=EF，根据线段的和差及等量代换得出BD CE=FD EF=DE；
（3）作DM⊥BF与点M，根据等腰三角形的三线合一得出BM= BF=12cm，由（2）知BD=DE+EC=5+8=13cm，然后根据勾股定理算出DM的长，再根据三角形的面积计算方法即可算出答案。
21．如图，已知A点坐标为（2，4），B点坐标为（-3，-2），C点坐标为（5，2）．
（1）在图中画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出点A′，B′，C′的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）在x轴上找点P，使PA+PC的值最小，并观察图形，写出P点的坐标．
【答案】（1）解：如图， A′(-2，4)， B′(3，-2)，C′(-5，2)，
（2）解： ，
（3）解：如图所示，点P即为所求，P（4，0）
【解析】【分析】（1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变，由A，B，C三点的坐标即可直接得出A'，B'，C'三点的坐标，利用方格纸的特点，直接描出这三点，再顺次连接即可；
（2）利用割补法，根据方格纸的特点，由△ABC的面积等于一个长为8，宽为6的矩形的面积减去周围三个直角三角形的面积即可算出答案；
（3）利用方格纸的特点，找出A点关于X轴的对称点，A”点，然后连接A”C交x轴于点P，点P就是所求的点，从而直接写出P点的坐标。
22．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
【答案】（1）解：经过1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，
∵△ABC中，AB=AC，
∴在△BPD和△CQP中，
，
∴△BPD≌△CQP（SAS）
（2）解：设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等；则可知PB=3tcm，PC=8﹣3tcm，CQ=xtcm，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
根据全等三角形的判定定理SAS可知，有两种情况：①当BD=PC，BP=CQ时，②当BD=CQ，BP=PC时，两三角形全等；
①当BD=PC且BP=CQ时，8﹣3t=5且3t=xt，解得x=3，∵x≠3，∴舍去此情况；
②BD=CQ，BP=PC时，5=xt且3t=8﹣3t，解得：x= ；
故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为 cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等．
【解析】【分析】（1）根据路程=速度时间可得PB、CQ的长，再由BC的长可求PC的长，根据等边对等角可得∠ A B C = ∠ A C B， 然后根据边角边判定 △BPD与△CQP全等.
（2）根据边角边公理应分两种情况：①当BD=PC，BP=CQ时，②当BD=CQ，BP=PC时，两三角形全等；设出点Q的运动速度和时间；根据路程=速度时间可知PB，CQ的长，再由BC的长可求PC的长
① 根据边角边公理列出方程，解方程并检验方程的解是否符合题意。
② 根据边角边公理列出方程，解方程并检验方程的解是否符合题意。
23．如图，在平面直角坐标系中，已知三点，，，且．
（1）试判断线段与的数量关系，并证明；
（2）如图1，当时，连接，点P是线段上一点，于Q，连接．若，试探究和之间数量关系；
（3）如图2，当时，点D在x轴负半轴上，位于点C的左侧，且，连接，射线交于点E．当点B在y轴负半轴上运动时，的度数是否为定值？如果是，请求出的度数；如果不是，请说明理由．
【答案】（1）解：，证明如下：
∵，，，，
∴，
∴；
（2）解：过点A作交的延长线于，
∵，
∴，
∵，
∴， ，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，为定值，理由如下：
如图所示，将线段沿方向平移至，则，，且，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据，得出 ，即可求出答案.
（2） 过点A作交的延长线于， 根据角之间的关系可得， 再根据全等三角形判定定理可得， 则，， 即， 再根据边之间的关系即可求出答案.
（3） 将线段沿方向平移至，则，，且， 根据全等三角形判定定理可得， 则，， 再根据角之间的关系可得， 再根据直线平行性质可得， 则 ，即可求出答案.
（1）解：，证明如下：
∵，，，，
∴，
∴；
（2）解：过点A作交的延长线于，
∵，
∴，
∵，
∴， ，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，为定值，理由如下：
如图所示，将线段沿方向平移至，则，，且，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
24．问题情境：
七下教材第149页提出这样一个问题：如图1，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F，PE与PF相等吗？
（1）七年级学习这部分内容时，我们还无法对这个问题的结论加以证明，八下教材第59页第11题不仅对这一问题给出了答案：“通过实验可以得到PE＝PF”，还要求“现在请你证明这个结论”，请你给出证明：
（2）变式拓展：
如图2，已知∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，P是OC上一点，∠EPF＝60°，PE边与OA边相交于点E，PF边与射线OB的反向延长线相交于点F.试解决下列问题：
①PE与PF还相等吗？为什么？
②试判断OE、OF、OP三条线段之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）证明：过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N.
∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，
∴PM＝PN，
∵∠PMO＝∠PNO＝∠MON＝90°，
∴∠MPN＝360°﹣3×90°＝90°，
∵∠MPN＝∠EPF＝90°，
∴∠MPF＝∠NPE，
在△PMF和△PNE中， ，
∴△PMF≌△PNE（ASA），
∴PF＝PE.
（2）解：①解：结论：PE＝PF.
理由：过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N.
∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，
∴PM＝PN，
∵∠PMO＝∠PNO＝90°，∠MON＝120°，
∴∠MPN＝360°﹣2×90°﹣120°＝60°，
∵∠MPN＝∠EPF＝60°，
∴∠MPF＝∠NPE，
在△PMF和△PNE中， ，
∴△PMF≌△PNE（ASA），
∴PF＝PE.
②解：结论：OE﹣OF＝OP.
理由：在△OPM和△OPN中， ，
∴△POM≌△PON（AAS），
∴OM＝ON，
∵△PMF≌△PNE（ASA），
∴FM＝EN，
∴OE﹣OF＝EN+ON+﹣（FM﹣OM）＝2OM，
在Rt△OPM中，∠PMO＝90°，∠POM＝ ∠AOB＝60°，
∴∠OPM＝30°，
∴OP＝2OM，
∴OE﹣OF＝OP.
【解析】【分析】（1）过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N，由角平分线的性质可得PM＝PN，由同角的余角相等得∠MPF＝∠NPE，根据ASA证明△PMF≌△PNE，可得PF＝PE；
（2）①PE＝PF；理由：过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N， 同（1）证法相同；
②OE﹣OF＝OP，理由：先利用AAS证明△POM≌△PON，得OM＝ON，由△PMF≌△PNE可得FM＝EN，从而得出OE﹣OF＝EN+ON+﹣（FM﹣OM）＝2OM， 在Rt△OPM中 ，求出 ∠OPM＝30°， 可得 OP＝2OM， 即得 OE﹣OF＝OP.
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