中小学教育资源及组卷应用平台
【同步教材随堂测试】14.2乘法公式
一、选择题
1．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．在下列去括号或添括号的变形中，错误的是（ ）
A．a－（b－c）＝a－b＋c
B．a－b－c＝a－（b＋c）
C．（a＋1）－（－b＋c）＝1＋b＋a＋c
D．a－b＋c－d＝a－（b＋d－c）
3．计算：
A．0 B．1 C．-1 D．39601
4．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．已知，则的值（ ）
A．10 B．6 C．5 D．3
6．如图，从边长为 的正方形纸片中剪去一个边长为 的正方形 ，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知 ，则 的值为（ ）
A．－4 B．4 C．－2 D．2
8．如下图所示，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（ ），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知 ，则下列三个等式：① ，② ，③ 中，正确的个数有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
10．若干个大小形状完全相同的小长方形，现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为40；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为100（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为（ ）
A．5 B．10 C．20 D．30
二、填空题
11．若 ，则实数 .
12．若25x2+kxy+4y2是一个完全平方式，则k= ．
13．已知（x+y）2＝9，（x﹣y）2＝5，则xy的值为 ．
14．若9x2-2（m－4）x＋16是一个完全平方式，则m的值为 ．
15．若，，，求 .
16． ，则 的值为
三、综合题
17．如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）
（1）观察图2请你写出、、之间的等量关系是 ；
（2）根据（1）中的结论，若，则 ；
（3）拓展应用：若，求的值.
18．图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀剪下全等的四块小长方形，然后按图2拼成一个正方形．
（1）直接写出图2中的阴影部分面积；
（2）观察图2，请直接写出下列三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系；
（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：若p+q＝9，pq＝7，求（p﹣q）2的值.
19．已知:
（1）求 的值；
（2）若 求 的值；
（3）若 分别求出 和 的值.
20．我们已学完全平方公式： ，观察下列式子：
； ，并完成下列问题
（1） ，则m＝ ；n＝ ；
（2）解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为60米的木栅栏围城一开长方形花圃，为了设计一个面积尽可能大的花圃，按图设长方形一边长度为x米，完成下列任务：
①列式：用含x的式子表示花圃的面积；
②请说明当x取何值时，花圃的最大面积时多少平方米？
21．阅读下文，寻找规律．
计算：（1﹣x）（1+x）=1﹣x2，（1﹣x）（1+x+x2）=1﹣x3，（1﹣x）（1+x+x2+x3）=1﹣x4…．
（1）观察上式，并猜想：（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）= ．
（2）根据你的猜想，计算：1+3+32+33…+3n= ．（其中n是正整数）
22．化简与解方程
（1）化简：（x+y）（x﹣y）﹣（2x﹣y）（x+3y）；
（2）解方程：（3x+1）（3x﹣1）﹣（3x+1）2=﹣8．
23．图①是一个长为 、宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形.
（1）观察图②，请用两种不同的方式表示阴影部分的面积，写出三个代数式 、 、 之间的等量关系是 ；
（2）有许多等式可以用图形的面积来表示.如图③，它表示了 ；
（3）请你用图③提供的若干个长方形和正方形硬纸片图形，用拼长方形的方法，把下列二次三项式进行因式分解： .要求：在图④的框中画出图形并在下方写出分解的因式.
24．利用我们学过的知识，可以得出下面这个优美的等式：
；该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美.
（1）.请你证明这个等式；
（2）.如果 ，请你求出 的值.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
【同步教材随堂测试】14.2乘法公式
一、选择题
1．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】A、 与 不能合并，故本选项不符合题意；
B、 ，故本选项不符合题意；
C、 ，故本选项符合题意；
D、 ，故本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断B；根据单项式除以单项式的法则：系数的商作为商的系数，相同字母，底数不变，指数相减即可判断C；根据完全平方公式的展开式是一个三项式即可判断D.
2．在下列去括号或添括号的变形中，错误的是（ ）
A．a－（b－c）＝a－b＋c
B．a－b－c＝a－（b＋c）
C．（a＋1）－（－b＋c）＝1＋b＋a＋c
D．a－b＋c－d＝a－（b＋d－c）
【答案】C
【解析】【解答】解：A、原式=a-b+c，此选项正确，不符合题意；
B、原式=a-（b+c），此选项正确，不符合题意；
C、原式=a+1+b-c=1+b+a-c，此选项错误，符合题意；
D、原式=a-（b-c+d）=a-（b+d-c），此选项正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】利用去括号的法则：括号前是“+”号，去掉括号和“+”号，括号里的各项的符号都不变；括号前是“-”号，去掉括号和“-”号，括号里的各项的符号都要变号，据此可对A，C作出判断；利用添括号的法则：括号前是“+”号，括到括号里的各项的符号都不变；括号前是“-”号，括到括号里的各项的符号都要变号，可对B，D作出判断.
3．计算：
A．0 B．1 C．-1 D．39601
【答案】B
【解析】【解答】解：1002-2×100×99+992
=（100-99）2
=1．
故答案为：B.
【分析】利用完全平方公式计算求解即可。
4．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∴
∴
∴ ．
故答案为：C．
【分析】把的两边平方，得出，再把两边平方，再将代入即可得出结果。
5．已知，则的值（ ）
A．10 B．6 C．5 D．3
【答案】C
【解析】【解答】解：∵(a-b)2=6，
∴a2-2ab+b2=6①
∵(a+b)2=4，
∴a2+2ab+b2=4②
①＋②得，2a2+2b2=10，
∴a2+b2=5.
故答案为：C.
【分析】由完全平方公式可得(a-b)2=a2-2ab+b2=6，(a+b)2=a2+2ab+b2=4，两式相加就可得到结果.
6．如图，从边长为 的正方形纸片中剪去一个边长为 的正方形 ，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可知，
矩形的面积就是边长是 的正方形与边长是 的正方形的面积的差，
S矩形=
=
= .
故答案为：A.
【分析】由图可得S矩形=S大正方形-S小正方形=大正方形的边长2-小正方形的边长2，把两个正方形的边长代入并用完全平方公式和合并同类项法则计算即可求解.
7．已知 ，则 的值为（ ）
A．－4 B．4 C．－2 D．2
【答案】A
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】由，利用配方法可得，根据非负性可得 ，求出a、b的值，然后代入计算即可.
8．如下图所示，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（ ），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：正方形中，S阴影=a2-b2；
梯形中，S阴影= （2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b）；
故所得恒等式为：a2-b2=（a+b）（a-b）．
故答案为：C．
【分析】利用正方形的面积之间、梯形的面积列等量关系式求解即可。
9．已知 ，则下列三个等式：① ，② ，③ 中，正确的个数有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【解析】【解答】∵ ，∴ ，整理得： ，故①正确；
=± ，故②错误；
方程 两边同时除以2x得： ，整理得： ，故③正确，
故答案为：C．
【分析】根据完全平方公式和公式的变形，求出x和x的倒数的和差即可.
10．若干个大小形状完全相同的小长方形，现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为40；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为100（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为（ ）
A．5 B．10 C．20 D．30
【答案】A
【解析】【解答】解：设长方形的长为a，宽为b，
由图1可知：（a+b）2-4ab＝40，
整理得：a2+b2＝2ab+40①，
由图2可知：（2a+b）（a+2b）-5ab＝100，
整理得：a2+b2＝50②，
由①-②得：2ab＝10，
∴ab＝5，
∴长方形的面积为5.
故答案为：A．
【分析】设长方形的长为a，宽为b，由图1可得a2+b2＝2ab+40①，由图2可得a2+b2＝50②，再由①-②得：2ab＝10，求出ab，即可确定小长方形的面积．
二、填空题
11．若 ，则实数 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵
∴
∴a=-2
故答案为：-2
【分析】将 左右展开进行比较即可得出答案.
12．若25x2+kxy+4y2是一个完全平方式，则k= ．
【答案】±20
【解析】【解答】解：∵25x2+kxy+4y2是一个完全平方式，
∴k=±20，
故答案为：±20
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
13．已知（x+y）2＝9，（x﹣y）2＝5，则xy的值为 ．
【答案】1
【解析】【解答】解：∵（x+y）2＝x2+2xy+y2=9，（x﹣y）2＝x2-2xy+y2=5
∴4xy=（x+y）2- x﹣y）2＝9-5=4
∴xy=1
故答案为：1．
【分析】利用完全平方公式将已知等式展开，再将两式相减即可求解.
14．若9x2-2（m－4）x＋16是一个完全平方式，则m的值为 ．
【答案】16或-8
【解析】【解答】解：
即
即
解得： 或
故答案为：16或-8
【分析】根据完全平方公式，即可求出答案。
15．若，，，求 .
【答案】3
【解析】【解答】解：
故答案为：3.
【分析】根据目标代数式的结构，直接代入计算量过于庞大，联想完全平方公式，为配凑中间项的系数2，可先将原代数式提取，后逐项完成配平方差并代入计算即可.
16． ，则 的值为
【答案】7
【解析】【解答】∵
∴
∴ ，即 =7.
【分析】将已知等式两边除以a变形求值即可.
三、综合题
17．如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）
（1）观察图2请你写出、、之间的等量关系是 ；
（2）根据（1）中的结论，若，则 ；
（3）拓展应用：若，求的值.
【答案】（1）（a+b）2-（a-b）2＝4ab
（2）±4
（3）解：∵（2019-m）+（m-2020）＝-1，
∴[（2019-m）+（m-2020）]2＝1，
∴（2019-m）2+2（2019-m）（m-2020）+（m-2020）2＝1，
∵（2019-m）2+（m-2020）2＝7，
∴2（2019-m）（m-2020）＝1-7＝-6；
∴（2019-m）（m-2020）＝-3.
【解析】【解答】解：（1）由图可知，图1的面积为4ab，图2中白色部分的面积为（a+b）2-（b-a）2＝（a+b）2-（a-b）2，
∵图1的面积和图2中白色部分的面积相等，
∴（a+b）2-（a-b）2＝4ab，
故答案为：（a+b）2-（a-b）2＝4ab；
（2）根据（1）中的结论，可知（x+y）2-（x-y）2＝4xy，
∵x+y＝5，x y＝，
∴52-（x-y）2＝4×，
∴（x-y）2＝16
∴x-y＝±4.
故答案为：±4；
【分析】（1）由图可知：图1的面积为4ab，图2中白色部分的面积为(a+b)2-(b-a)2＝(a+b)2-(a-b)2，然后根据图1的面积和图2中白色部分的面积相等就可得到等式；
（2）根据（1）中的结论，可知(x+y)2-(x-y)2＝4xy，将一直停机代入进行求解可得x-y的值；
（3）易得[(2019-m)+(m-2020)]2=(2019-m)2+2(2019-m)(m-2020)+(m-2020)2＝1，然后将已知条件代入计算即可.
18．图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀剪下全等的四块小长方形，然后按图2拼成一个正方形．
（1）直接写出图2中的阴影部分面积；
（2）观察图2，请直接写出下列三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系；
（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：若p+q＝9，pq＝7，求（p﹣q）2的值.
【答案】（1）（m﹣n）2或（m+n）2﹣4mn
（2）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn
（3）解：当p+q＝9，pq＝7时，
（p﹣q）2＝（p+q）2﹣4pq＝92﹣4×7＝81﹣28＝53．
【解析】【解答】（1）阴影部分的面积可以看作是边长（m-n）的正方形的面积，也可以看作边长（m+n）的正方形的面积减去4个小长方形的面积，所以图2中阴影部分面积为：
（m﹣n）2或（m+n）2﹣4mn；（2）由（1）可得：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；
【分析】（1）阴影部分的面积可以看作是边长（m-n）的正方形的面积，也可以看作边长（m+n）的正方形的面积减去4个小长方形的面积；（2）由（1）的结果直接写出即可；（3）利用（2）的结论，得（p-q）2=（p+q）2-4pq，把数值整体代入即可．
19．已知:
（1）求 的值；
（2）若 求 的值；
（3）若 分别求出 和 的值.
【答案】（1）解：∵a+b=5，
∴(a+b)2=a2+2ab+b2=25，
∵ab=4，
∴a2+b2=25-2×4=17.
（2）解：∵(a-b)2= a2-2ab+b2=17-2×4=9，
∴a-b= 3，
∵a>b，
∴a-b=3.
（3）解：由已知和（2）得 ，
解得 .
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式解答即可；（2）根据（1）所得结果，利用完全平方公式及a>b的条件即可得出答案；（3）根据（2）所得结果及a+b=5，解方程组即可.
20．我们已学完全平方公式： ，观察下列式子：
； ，并完成下列问题
（1） ，则m＝ ；n＝ ；
（2）解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为60米的木栅栏围城一开长方形花圃，为了设计一个面积尽可能大的花圃，按图设长方形一边长度为x米，完成下列任务：
①列式：用含x的式子表示花圃的面积；
②请说明当x取何值时，花圃的最大面积时多少平方米？
【答案】（1）1；3
（2）解：①花圃的面积为
②由①可知：
＝
当x＝15时，花圃的最大面积为450平方米.
【解析】【解答】解：（1） = ，故m＝1，n＝3；
【分析】（1）把 化成 即可求出；（2）①根据花圃的面积为 ，②把 化成 即可得出答案.
21．阅读下文，寻找规律．
计算：（1﹣x）（1+x）=1﹣x2，（1﹣x）（1+x+x2）=1﹣x3，（1﹣x）（1+x+x2+x3）=1﹣x4…．
（1）观察上式，并猜想：（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）= ．
（2）根据你的猜想，计算：1+3+32+33…+3n= ．（其中n是正整数）
【答案】（1）1﹣xn+1
（2）﹣
【解析】【解答】解：解：（1）（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）=1﹣xn+1；（2）1+3+32+…+3n=﹣ （1﹣3）（1+3+32+33…+3n）=﹣ ．故答案为：（1）1﹣xn+1，（2）﹣ ．
【分析】（1）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（2）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果．
22．化简与解方程
（1）化简：（x+y）（x﹣y）﹣（2x﹣y）（x+3y）；
（2）解方程：（3x+1）（3x﹣1）﹣（3x+1）2=﹣8．
【答案】（1）解：原式=x2﹣y2﹣（2x2+5xy﹣3y2）
=﹣x2﹣5xy+2y2
（2）解：去括号，得9x2﹣1﹣（9x2+6x+1）=﹣8，
9x2﹣1﹣9x2﹣6x﹣1=﹣8，
合并，得﹣6x﹣2=﹣8，
解得x=1
【解析】【分析】（1）先根据平方差公式和多项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可求解；（2）先根据平方差公式和完全平方公式计算，再合并同类项得到﹣6x﹣2=﹣8，再解一元一次方程即可求解．
23．图①是一个长为 、宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形.
（1）观察图②，请用两种不同的方式表示阴影部分的面积，写出三个代数式 、 、 之间的等量关系是 ；
（2）有许多等式可以用图形的面积来表示.如图③，它表示了 ；
（3）请你用图③提供的若干个长方形和正方形硬纸片图形，用拼长方形的方法，把下列二次三项式进行因式分解： .要求：在图④的框中画出图形并在下方写出分解的因式.
【答案】（1）
（2）
（3）先拼接长方形，然后利用面积之间的关系得到 .
.
【解析】【解答】解：（1）大正方形由小正方形和4个长方形组成，大正方形的面积为（m+n）2，小正方形的面积为（m-n）2，长方形的面积为mn
∴ ；
故答案为： ；
（2）大长方形的面积=两个边长为m的正方形的面积+边长为n的正方形的面积+3个边长为m、n的长方形的面积，
∴；
故答案为：；
【分析】（1）由等面积法大正方形面积=小正方形面积+4个长方形面积，分别表示出来就可以找到关系；
（2）大长方形面积为里面所有小长方形面积之和，找到表示出来即可；
（3）先在图上去画一个边长为m的小正方形，接着画4个长宽分别为m、n的长方形，再画3个边长为n的小正方形，即可找到关系.
24．利用我们学过的知识，可以得出下面这个优美的等式：
；该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美.
（1）.请你证明这个等式；
（2）.如果 ，请你求出 的值.
【答案】（1）证明：右边= [（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]= （a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2）
= （2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac）
=a2+b2+c2-ab-bc-ac
=左边
（2）解：当a=2018，b=2019，c=2020时，
原式= [（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]
= ×（1+1+4）
=3．
【解析】【分析】（1）已知等式右边利用完全平方公式化简，整理即可作出验证；（2）把a，b，c的值代入已知等式右边，求出值即为所求式子的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
