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【同步教材随堂测试】14.3因式分解
一、选择题
1．已知x2＋kx＋4可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为（ ）
A．－4 B．2 C．4 D．±4
2．下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知：，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．下列计算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，则的值为（ ）
A．57 B．120 C． D．
6．若长和宽分别是的长方形的周长为10，面积为4，则的值为（ ）
A．14 B．16 C．20 D．40
7．下列多项式中，能因式分解得到（x+y）(x-y)的是（ ）
A．x2+y2 B．x2-y2 C．-x2-y2 D．-x2+y2
8．下列多项式中，能在有理数范围内分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
9．若m+ =5，则m2+ 的结果是（ ）
A．23 B．8 C．3 D．7
10．已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘为x2－4，乙与丙相乘为x2＋15x－34，则甲与丙相加的结果为（ ）
A．2x＋19 B．2x－19 C．2x＋15 D．2x－15
二、填空题
11．分解因式： .
12．计算： ．
13．如果 是一个完全平方式，那么m的值是 ．
14．因式分解：3a3﹣3ab2＝ ．
15．在实数范围内因式分解： ．
16．多项式x2+（k﹣3）x+9是完全平方式，则k的值是 ．
三、综合题
17．因式分解：
（1）2x3﹣8x；
（2）（x+3y）2﹣12xy
18．已知正实数x、y，满足（x+y）2＝25，xy＝4．
（1）求x2+y2的值；
（2）若m＝（x﹣y）2时，4a2+na+m是完全平方式，求n的值．
19．一次课堂练习，小红做了如下四道因式分解题：① ；② ；③ ；④
（1）小红做错的或不完整的题目是 （填序号）；
（2）把（1）题中题目的正确答案写在下面．
20．如图，一长方形模具长为2a，宽为a，中间开出两个边长为b的正方形孔．
（1）求图中阴影部分面积（用含a、b的式子表示）
（2）用分解因式计算当a＝15.7，b＝4.3时，阴影部分的面积．
21．因式分解：
（1）
（2）
（3）
22．若一个整数能表示成a2+b2（a、b是正整数）的形式，则称这个数为“丰利数”.例如，2是“丰利数”，因为2=12+12，再如，M=x2+2xy+2y2=（x+y）2+y2（x+y，y是正整数），所以M也是“丰利数”.
（1）请你写一个最小的三位“丰利数”是 ，并判断20 “丰利数”.（填是或不是）；
（2）已知S=x2+y2+2x﹣6y+k（x、y是整数，k是常数），要使S为“丰利数”，试求出符合条件的一个k值（10≤k＜200），并说明理由.
23．请利用多项式的乘法验代数恒等式： ，并根据此结论解答下列问题：
（1）计算： ；
（2）因式分解： ；
（3）已知 ， ，求 的值．
24．某校数学社团的小亮、小颖两个同学利用分组分解法进行的因式分解：
小亮：
=
=
=
小颖：
=
．
请你在他们解法的启发下，解决下面问题；
（1）因式分解；
（2）因式分解；
（3）已知a，b，c是的三边，且满足，判断的形状并说明理由．
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【同步教材随堂测试】14.3因式分解
一、选择题
1．已知x2＋kx＋4可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为（ ）
A．－4 B．2 C．4 D．±4
【答案】D
【解析】【解答】∵多项式x2+kx+4能用完全平方公式进行因式分解，
∴k=±2×2=±4，
故答案为：D．
【分析】完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2。根据公式可得x2+kx+4=x2+kx+22=(x+2)2，所以k=±4.
2．下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】【解答】因式分解的概念：把一个多项式在一个范围内分解，化为几个整式乘积的形式，这种式子变形叫做因式分解.
故答案为：D.
【分析】因式分解是指把一个多项式在一个范围内分解，化为几个整式乘积的形式，根据定义即可判断求解。 。
3．已知：，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【解析】【解答】解：∵a2-b2=（a+b）（a-b），
∴原式=5×1=5.
故答案为：A.
【分析】利用平方差公式分解因式，再整体代入求值.
4．下列计算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、，错误；
B、，正确；
C、，错误；
D、，错误.
故答案为：B.
【分析】分别根据同底数幂除法，积的乘方，完全平方公式计算即可逐项判断.
5．已知，则的值为（ ）
A．57 B．120 C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：
，
∵，
∴原式.
故答案为：D.
【分析】将待求式子先利用提取公因式法分解因式，再利用完全平方公式法进行第二次分解，进而整体代入计算可得答案.
6．若长和宽分别是的长方形的周长为10，面积为4，则的值为（ ）
A．14 B．16 C．20 D．40
【答案】C
【解析】【解答】∵长和宽分别是的长方形的周长为10，面积为4，
∴，，
∴，
则．
故答案为：C．
【分析】根据长和宽分别是的长方形的周长为10，面积为4，得出，，可求出a+b的值，再代入求解即可。
7．下列多项式中，能因式分解得到（x+y）(x-y)的是（ ）
A．x2+y2 B．x2-y2 C．-x2-y2 D．-x2+y2
【答案】B
【解析】【解答】解：A、x2+y2，无法分解因式，故此选项不符合题意；
B、x2-y2=（x+y）（x-y），符合题意；
C、-x2-y2，无法分解因式，故此选项不符合题意；
D、-x2+y2=-（x+y）（x-y），故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平方差公式分解因式即可.
8．下列多项式中，能在有理数范围内分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、不能分解因式，故A不符合题意；
B、不能在有理数范围内分解因式，可以在实数范围内分解因式，故B不符合题意，
C、能在有理数范围内分解因式，故C符合题意；
D、不能分解因式，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】提取公因式法分解因式是首选的方法也是通用方法；对于二项式，一般采用平方差公式法；对于三项式，一般采用平方公式法或十字相乘法，据此结合在有理数范围内，一一判断得出答案.
9．若m+ =5，则m2+ 的结果是（ ）
A．23 B．8 C．3 D．7
【答案】A
【解析】【解答】因为m+ =5，所以m2+ =(m+ )2﹣2=25﹣2=23．
故答案为：A．
【分析】两边平方可得。
10．已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘为x2－4，乙与丙相乘为x2＋15x－34，则甲与丙相加的结果为（ ）
A．2x＋19 B．2x－19 C．2x＋15 D．2x－15
【答案】A
【解析】【解答】解：∵
∴甲为：x+2，乙为：x－2，丙为：x+17， ∴x+2+x+17=2x+19，
故答案为：A．
【分析】首先将两个代数式进行因式分解，从而得出甲、乙、丙三个代数式，从而得出答案．
二、填空题
11．分解因式： .
【答案】
【解析】【解答】
解：
故答案为：
【分析】提取两项中的公因式即可。
12．计算： ．
【答案】408
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：408
【分析】先根据提公因式法因式分解提出102，进而即可简便运算。
13．如果 是一个完全平方式，那么m的值是 ．
【答案】25
【解析】【解答】解：∵x2-10x+m是一个完全平方式，
∴m= =25．
故答案为：25．
【分析】利用完全平方公式的结构特征，即可求出m的值．
14．因式分解：3a3﹣3ab2＝ ．
【答案】3a（a﹣b）（a＋b）
【解析】【解答】解：3a3﹣3ab2
=3a（a2﹣b2）
=3a（a﹣b）（a＋b）
故答案为：3a（a﹣b）（a＋b）．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可.
15．在实数范围内因式分解： ．
【答案】
【解析】【解答】解：令 ，
这里 ， ， ，
，
，
则 ，
故答案为：
【分析】先求出方程的解，、，再由进行分解因式。
16．多项式x2+（k﹣3）x+9是完全平方式，则k的值是 ．
【答案】9或﹣3
【解析】【解答】∵多项式x2+（k﹣3）x+9是完全平方式，
∴k﹣3=±6，
解得：k=9或k=﹣3，
故答案为：9或﹣3
【分析】此题主要考查完全平方式的特点，熟悉完全平方式的特点是解题的关键，注意：k应取两个值.
三、综合题
17．因式分解：
（1）2x3﹣8x；
（2）（x+3y）2﹣12xy
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【解析】【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（2）先展开合并，再利用完全平方公式分解即可.
18．已知正实数x、y，满足（x+y）2＝25，xy＝4．
（1）求x2+y2的值；
（2）若m＝（x﹣y）2时，4a2+na+m是完全平方式，求n的值．
【答案】（1）解：∵，∴，∴=17．
（2）解：∵，∴，∴是完全平方式，∴，∴，
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式可得，再求出=17即可；
（2）根据完全平方公式可得，再求出n的值即可。
19．一次课堂练习，小红做了如下四道因式分解题：① ；② ；③ ；④
（1）小红做错的或不完整的题目是 （填序号）；
（2）把（1）题中题目的正确答案写在下面．
【答案】（1）②④
（2）解：① ；
② ；
③ ，
④
【解析】【解答】解：（1）① ，符合题意；
② ，故②不符合题意；
③ ，符合题意；
④ ，故④不符合题意；
故答案为②④；
【分析】（1）根据提取公因式和公式法因式分解进行判断即可；（2）根据取公因式和公式法因式分解对（1）中错误的因式分解即可；
20．如图，一长方形模具长为2a，宽为a，中间开出两个边长为b的正方形孔．
（1）求图中阴影部分面积（用含a、b的式子表示）
（2）用分解因式计算当a＝15.7，b＝4.3时，阴影部分的面积．
【答案】（1）解：2a a﹣2b2＝2（a2﹣b2）
（2）解：当a＝15.7，b＝4.3时，阴影部分的面积2（a2﹣b2）＝2（a+b）（a﹣b）＝2（15.7+4.3）（15.7﹣4.3）＝456
【解析】【分析】（1）影部分面积等于大长方形的面积减去中间两个正方形的面积；（2）把a＝15.7，b＝4.3代入（1）中的最终结果，即可求出阴影部分的面积．
21．因式分解：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
【解析】【分析】（1）提取公因式即可得出答案；
（2）提取公因式即可得出答案；
（3）利用公式法即可得出答案。
22．若一个整数能表示成a2+b2（a、b是正整数）的形式，则称这个数为“丰利数”.例如，2是“丰利数”，因为2=12+12，再如，M=x2+2xy+2y2=（x+y）2+y2（x+y，y是正整数），所以M也是“丰利数”.
（1）请你写一个最小的三位“丰利数”是 ，并判断20 “丰利数”.（填是或不是）；
（2）已知S=x2+y2+2x﹣6y+k（x、y是整数，k是常数），要使S为“丰利数”，试求出符合条件的一个k值（10≤k＜200），并说明理由.
【答案】（1）100；是
（2）解：
当 是正整数的平方时， 为零时，S是“丰利数”，
故k的一个值可以是10.
备注：k的值可以有其它值.
【解析】【解答】（1）∵
∴最小的三位“丰利数”是：
∵
∴20是“丰利数”
故答案为100；是；
【分析】(1)根据定义写出最小的三位“丰利数”,根据 所以判断20也是“丰利数”;(2)将S配方,变形为 可得S为“丰利数”， ；当 时,所以 为平方数,则可以求出k的值,当 ,同理可以求出k的值.
23．请利用多项式的乘法验代数恒等式： ，并根据此结论解答下列问题：
（1）计算： ；
（2）因式分解： ；
（3）已知 ， ，求 的值．
【答案】（1）解：
＝
＝ ；
原式＝ ；
（2）解：原式＝ ；
（3）解： ，即： ，
∵ ，
∴ ＝10，
∴原式＝ ＝－18．
【解析】【分析】（1）利用多项式乘多项式的运算法则求解即可；（2）参考题干的数据进行因式分解即可；（3）利用题干中的公式，代入计算即可。
24．某校数学社团的小亮、小颖两个同学利用分组分解法进行的因式分解：
小亮：
=
=
=
小颖：
=
．
请你在他们解法的启发下，解决下面问题；
（1）因式分解；
（2）因式分解；
（3）已知a，b，c是的三边，且满足，判断的形状并说明理由．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∵a，b，c是的三边，
∴，
∴为等腰三角形．
【解析】【分析】（1）参照题干中的计算方法，利用分组分解因式的方法求解即可；
（2）参照题干中的计算方法，利用分组分解因式的方法求解即可；
（3）先利用分组分解因式的方法可得，求出或，可得，即可得到为等腰三角形。
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