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第十四章 整式的乘法与因式分解 单元真题演练卷
一、选择题
1．下列式子一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
3．计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算错误的是（ ）
A． B．
C． D．（a≠0）
5．不论x、y为什么实数，代数式
的值（ ）
A．总不小于2 B．总不小于7
C．可为任何实数 D．可能为负数
6．如果长方形一边长为a＋2，邻边长为2a2＋a＋1，则长方形的面积（ ）
A．2a3＋5a2＋3a＋2 B．4a3＋6a2＋6a＋4
C．（2a＋4）（2a2＋a＋1） D．2a3＋2
7．下列关于x的二次三项式中，一定能在实数范围内因式分解的是（ ）
A．x2﹣x﹣m B．x2﹣mx+1 C．x2+x+1 D．x2﹣mx﹣1
8．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）．
A．
B．
C．
D．
9．若（和不相等），那么式子的值为（ ）
A．2022 B． C．2023 D．
10．若 , ,则ab的值为 （ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2．
二、填空题
11．计算的结果是 ．
12．化简： ．
13．计算：（ ）2015（ ）2016＝ ．
14．已知x，y满足方程组 ，则 的值为 .
15．如果 可以因式分解为 （其中 ， 均为整数），则 的值是 ．
16．求值： .
三、综合题
17．分解因式：
（1）10a－5a2－5；
（2）(x2＋3x)2－(x－1)2.
18．若x，y满足 ， ，求下列各式的值.
（1）
（2）
（3）
19．已知关于x的多项式A，当A﹣（x﹣2）2=x（x+7）时.
（1）求多项式A.
（2）若2x2+3x+l=0，求多项式A的值.
20．已知5a＝3，5b＝8，5c＝72．
（1）求（5a）2的值．
（2）求5a-b+c的值．
（3）直接写出字母a、b、c之间的数量关系为 ．
21．如图1所示是一个长2m，宽2n的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分为四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形.
（1）用两种方法表示图2中阴影部分的面积.
（2）观察图2，请你写出代数式 ， ， 之间的等量关系式.
（3）根据(2)中的结论，若 ， ，求 的值.
22．解下列各题：
（1）分解因式： ；
（2）甲，乙两同学分解因式 ，甲看错了n，分解结果为 ；乙看错了m，分解结果为 ，请分析一下m，n的值及正确的分解过程.
23．若x满足 ，求 的值：
解：设 ，则
所以
请仿照上面的方法求解下面的问题
（1）若x满足 ，求 的值；
（2）已知正方形 的边长为 分别是 上的点，且 ，长方形 的面积是28，分别以 为边作正方形，求阴影部分的面积.
24．要把多项式 分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a，把它的后两项分成组，并提出b，从而得 .这时，由于 中又有公因式 ，于是可提公因式 ，从而得到 ，因此有
.
这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解.
（1）
（2）因式分解：x2-（p+q）x+pq；
（3）因式分解： .
（4）已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足a2+2b2+c2=2b（a+c），试判断这个三角形的形状，并说明理由.
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第十四章 整式的乘法与因式分解 单元真题演练卷
一、选择题
1．下列式子一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；零指数幂；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，不符合题意；
B、，符合题意；
C、当a=0时，没有意义，不符合题意；
D、，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】字母相同且相同字母的次数相同的才是同类项，能够合并；
同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；
除0以外，所有数的零次幂都等于1；
同底数幂的幂次方，底数不变，指数相乘.
2．下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：由题意得可以用公式法分解因式，
故答案为：A
【分析】根据用公式法分解因式的定义结合题意即可求解。
3．计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】根据积的乘方"先把积中的每一个乘数分别乘方，再把所得的幂相乘"以及幂的乘方"底数不变，指数相乘"进行计算.
4．下列运算错误的是（ ）
A． B．
C． D．（a≠0）
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；因式分解﹣提公因式法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A. ，故该选项错误，符合题意；
B. ，故该选项正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，不符合题意；
D. （a≠0），故该选项正确，不符合题意，
故答案为：A.
【分析】利用积的乘方法则，可对A作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对B作出判断；观察等号的左边含有公因式a，因此提取公因式a即可，可对C作出判断；利用同底数幂相除，底数不变，指数相减，可对D作出判断.
5．不论x、y为什么实数，代数式
的值（ ）
A．总不小于2 B．总不小于7
C．可为任何实数 D．可能为负数
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ，
故不论x、y为何实数，代数式
恒成立.
故答案为：A.
【分析】把
进行拆分重组凑成完全平方式，然后根据偶次幂的非负性就可得到代数式的最小值.
6．如果长方形一边长为a＋2，邻边长为2a2＋a＋1，则长方形的面积（ ）
A．2a3＋5a2＋3a＋2 B．4a3＋6a2＋6a＋4
C．（2a＋4）（2a2＋a＋1） D．2a3＋2
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：长方形的面积=（a＋2）（2a2＋a＋1）=2a3＋5a2＋3a＋2，
故答案为：A.
【分析】根据长方形的面积公式先列式，再利用多项式乘以多项式法则进行展开即可.
7．下列关于x的二次三项式中，一定能在实数范围内因式分解的是（ ）
A．x2﹣x﹣m B．x2﹣mx+1 C．x2+x+1 D．x2﹣mx﹣1
【答案】D
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解：A、 ，判别式 ，值有可能小于0，在实数范围内不一定能因式分解，不符合题意；
B、 ，判别式 ，值有可能小于0，在实数范围内不一定能因式分解，不符合题意；
C、 ，判别式 ，在实数范围内一定不能因式分解，不符合题意；
D、 ，判别式 ，在实数范围内一定能因式分解，符合题意；
故答案为：D
【分析】对每个选项，令其值为0，得到一个一元二次方程，计算判别式的值，若△＞0，即可判断在实数范围内因式分解.
8．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、 两因式之间用加号连结，是和的形式不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、 是因式分解，故本选项符合题意；
C、 将积化为和差形式，是多项式乘法运算，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、 两因式之间用加号连结，是和的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据因式分解的定义：将和的形式化为积的形式。逐项判断即可。
9．若（和不相等），那么式子的值为（ ）
A．2022 B． C．2023 D．
【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵m2= n+2022，n2= m+2022，
可得m2-n2= n+2022-m-2022=n-m，
∴ (m+n)(m-n)=n-m，
∵m≠n，
∴ m+n=-1，
∵ m2=n+2022，n2= m + 2022，
∴ m2-n =2022，n2-m = 2022，
∴ m3-2mn+n3
=m3 -mn-mn+n3
=m(m2-n)+n(n2-m)
= 2022m +2022n
= 2022(m +n)
=2020 x(-1)
=-2022.
故答案为：B.
【分析】由已知条件求得m+n= -1，m2-n=2022，n2-m=2022，再将原式化成m(m2-n)+n(n2-m)，连接两次代值计算便可得出答案.
10．若 , ,则ab的值为 （ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】∵a2＋b2＝5，a－b＝3，
∴（a－b）2＝a2＋b2－2ab，即9＝5－2ab，
解得：ab＝-2.
故答案为：D.
【分析】 解答本题的关键是熟练掌握公式的特征及整体代入的数学思想.
把a-b＝3 ，a2+b2＝5 代入(a﹣b)2＝a2+b2﹣2ab，得9＝5－2ab ，即可求出ab的值．
二、填空题
11．计算的结果是 ．
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】本题考查同底数幂的乘法、积的乘方以及合并同类项.先利用同底数幂的乘法可计算：，再利用积的乘方可计算：，最后再合并同类项可求出答案．
12．化简： ．
【答案】a
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：，
故答案为：a．
【分析】同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此计算即可.
13．计算：（ ）2015（ ）2016＝ ．
【答案】2-
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】
＝
＝
＝2-
故答案是：2－ ．
【分析】根据平方差公式:可求解。
14．已知x，y满足方程组 ，则 的值为 .
【答案】-15
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】∵ ，
∴ =（x+2y）（x-2y）=-3×5=-15，
故答案为：-15.
【分析】先把 分解为（x+2y）（x-2y），再把直接代入即可求出答案.
15．如果 可以因式分解为 （其中 ， 均为整数），则 的值是 ．
【答案】2或4
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念
【解析】【解答】∵ 可以因式分解为 ，
∴ ，
∴x2+(a+3)x+3a-2=x2+(m+n)x+mn，
∴ ，
∴a=m+n-3，
∴ ，
整理得： ，
∵其中 ， 均为整数，
∴ 或 ，
当m-3=1时，m=4，n=1，a=2，
当m-3=-1时，m=2，n=5，a=4，
当m-3=2时，m=5，n=2，a=4，
当m-3=-2时，m=1，n=4，a=2，
∴ 的值是 或 ，
故答案为 或
【分析】将原式展开得：a+3=m+n、3a-2=mn，消去a得到mn=3m+3n-11，进一步整理得（m-3）（3-n）=2，进而求得m-3=±1，±2，据此可以分别求得m、n的值，然后可以求得a的值即可．
16．求值： .
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
=
=
=
故填 .
【分析】由题意平方差公式把每一项展开，然后直接约分运算即可得出答案.
三、综合题
17．分解因式：
（1）10a－5a2－5；
（2）(x2＋3x)2－(x－1)2.
【答案】（1）解：原式＝－5(a2－2a＋1)＝－5(a－1)2.
（2）解：原式＝(x2＋3x＋x－1)(x2＋3x－x＋1)
＝(x2＋4x－1)(x2＋2x＋1)
＝(x2＋4x－1)(x＋1)2.
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）先利用提公因式法提公因式-5，然后利用完全平方公式法分解即可；（2）把x2＋3x，x－1分别看成整体，然后直接利用平方差公式分解即可。
18．若x，y满足 ， ，求下列各式的值.
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）解：∵ ， ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）解： .
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解的应用
【解析】【分析】（1）先根据完全平方式将原式展开，然后代值计算即可；
（2）先利用完全平方式计算(x-y)2的值，再求其平方根即可；
（3）先提取公因式xy，再代值计算即可.
19．已知关于x的多项式A，当A﹣（x﹣2）2=x（x+7）时.
（1）求多项式A.
（2）若2x2+3x+l=0，求多项式A的值.
【答案】（1）解：A﹣（x﹣2）2=x（x+7），
整理得：A=（x﹣2）2+x（x+7）=x2﹣4x+4+x2+7x=2x2+3x+4；
（2）解：∵2x2+3x+1=0，
∴2x2+3x=﹣1，
∴A=﹣1+4=3，
则多项式A的值为3.
【知识点】代数式求值；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据被减式=差＋减式列出算式，然后根据完全平方公式及单项式乘以多项式的法则分别去括号，再合并同类项即可；
（2）由已知条件可得2x2+3x=-1，再整体代入可得多项式A的值.
20．已知5a＝3，5b＝8，5c＝72．
（1）求（5a）2的值．
（2）求5a-b+c的值．
（3）直接写出字母a、b、c之间的数量关系为 ．
【答案】（1）解：∵ ，
∴
（2）解：∵ ，且 ， ， ，
∴
（3）c=2a+b
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：（3）∵
∴ ．
【分析】（1）根据 5a＝3， 计算求解即可；
（2）先求出 ， 再代入计算求解即可；
（3）求出即可作答。
21．如图1所示是一个长2m，宽2n的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分为四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形.
（1）用两种方法表示图2中阴影部分的面积.
（2）观察图2，请你写出代数式 ， ， 之间的等量关系式.
（3）根据(2)中的结论，若 ， ，求 的值.
【答案】（1）解： 或
（2）解：
（3）解：
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）观察图形可知：阴影部分的面积有两种表示方法，①阴影部分是一个正方形，且边长为（m-n），由正方形的面积=边长2可求解；②阴影部分的面积=边长为（m+n）的正方形的面积-4个长和宽分别为m、n的长方形的面积；
（2）由（1）中的阴影部分的面积的两种表示方法可求解；
（3）由(x-y)2=(x+y)2-4xy先求出(x-y)2的值，再开平方即可.
22．解下列各题：
（1）分解因式： ；
（2）甲，乙两同学分解因式 ，甲看错了n，分解结果为 ；乙看错了m，分解结果为 ，请分析一下m，n的值及正确的分解过程.
【答案】（1）解：原式
；
（2）解： ，甲看错了n，
.
，乙看错了m，
，
.
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】（1）先变形，再提公因式，利用平方差公式进行因式分解即可；（2）根据题意可得出m，n的值，代入再进行因式分解即可.
23．若x满足 ，求 的值：
解：设 ，则
所以
请仿照上面的方法求解下面的问题
（1）若x满足 ，求 的值；
（2）已知正方形 的边长为 分别是 上的点，且 ，长方形 的面积是28，分别以 为边作正方形，求阴影部分的面积.
【答案】（1）解：设 ，则 ，
所以 ，
，
，
；
（2）解：由题意得： ， ，
因为阴影部分的面积等于正方形MFRN的面积减去正方形DFGH的面积，
所以阴影部分的面积为 ，
设 ，则 ，
所以 ，
由平方根的性质得： 或 （不符题意，舍去），
所以 ，
，
，
，
故阴影部分的面积为33.
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）设8 x＝a，x 3＝b，根据已知等式确定出所求即可；
（2）设正方形ABCD边长为x，进而表示出MF与DF，求出阴影部分面积即可．
24．要把多项式 分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a，把它的后两项分成组，并提出b，从而得 .这时，由于 中又有公因式 ，于是可提公因式 ，从而得到 ，因此有
.
这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解.
（1）
（2）因式分解：x2-（p+q）x+pq；
（3）因式分解： .
（4）已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足a2+2b2+c2=2b（a+c），试判断这个三角形的形状，并说明理由.
【答案】（1）
（2）解：
（3）解：
（4）解：等边三角形，理由如下：
∵
∴
∴
∴
∴
即
∴这个三角形是等边三角形.
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解的应用；等边三角形的判定；偶次方的非负性；因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：；
【分析】（1）先二、二分组，再组内及组间提公因式，即可得出答案；
（2）先根据单项式乘多项式的法则化简，再二、二分组，然后组内及组间提公因式，即可得出答案；
（3））先二、二分组，再组内及组间提公因式，然后利用平方差公式因式分解到每一个因式否不能再分解为止，即可得出答案；
（4）利用分组分解法把原式化为（a-b）2+（b-c）2=0，根据偶数次幂的非负性，由两个非负数的和为0，则这两个数都为0得出a=b=c ，即可得出这个三角形是等边三角形.
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