2024-2025学年河北省邯郸市高三（上）月考数学试卷（10月份）（三）（含答案）

2024-2025学年河北省邯郸市高三（上）月考数学试卷（10月份）（三）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则复数( )
A. B. C. D.
2.在等比数列中，，其前项和为，且是和的等差中项，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数为偶函数，则实数( )
A. B. C. D.
4.设、、表示不同的直线，、、表示不同的平面，给出下列四个命题：
若，且，则；
若，，，则；
若，且，则；
若，，，则．
则正确的命题个数为( )
A. B. C. D.
5.已知圆：，若圆与圆：恰有三条公切线，则实数( )
A. B. C. D.
6.已知甲、乙、丙等人站成一列，并要求甲站在乙、丙前面，则不同的安排方法的种数为( )
A. B. C. D.
7.已知，则( )
A. B. C. D.
8.已知、分别是中心在原点的双曲线的左、右焦点，斜率为的直线过点，交的右支于点，交轴于点，且，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续场篮球比赛得分情况的记录数据，已知三位球员得分情况的数据满足以下条件：
甲球员：个数据的中位数是，众数是；
乙球员：个数据的中位数是，平均数是；
丙球员：个数据有个是，平均数是，方差是；
根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的是( )
A. 甲球员连续场比赛得分都不低于分
B. 乙球员连续场比赛得分都不低于分
C. 丙球员连续场比赛得分都不低于分
D. 丙球员连续场比赛得分的第百分位数大于
10.已知为所在平面内一点，且，，是边的三等分点且靠近点，，与交于点设三角形的面积为，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. D. 的最小值为
11.如图，若正方体的棱长为，点是正方体在侧面上的一个动点含边界，点是棱的中点，则下列结论正确的是( )
A. 三棱锥的体积为
B. 若，则点的轨迹是以为半径的半圆弧
C. 若，则的最大值为
D. 平面截正方体的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若集合，，则 ______．
13.已知抛物线：，过点的直线交于、两点，为坐标原点，且，则 ______．
14.已知函数的最小值为，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，．
若，，求的面积；
求的值．
16.本小题分
已知函数．
当时，求的图象在点处的切线方程；
若，时，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知在三棱柱中，，，，，．
求证：平面平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为、，左顶点为，点、为上关于坐标原点对称的两点，且，且四边形的面积为．
求椭圆的标准方程；
若斜率不为的直线过椭圆的右焦点且与椭圆交于、两点，直线、与直线分别交于点、求证：、两点的纵坐标之积为定值．
19.本小题分
设正整数的个正因数分别为，，，，且．
当时，若正整数的个正因数构成等比数列，请写出的最小值；
当时，若，且，，，构成等比数列，求正整数；
记，求证：．
参考答案
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15.解：因为，所以，由题意可得，即，，
又，即，
解得，
所以．
由，得，得，
所以，所以，
所以．
16.解：因为，则其导函数为，
所以，
所以，
因此的图象在点处的切线方程为，所以．
，那么，
当时，，，在上单调递增；
，，在上单调递减．
当时，取得最大值，且为．
由题意可得，解得．
当时，，即在上单调递增．
当时，，与题意不符．
即实数的取值范围为．
17.证明：设的中点为，连接、，
因为，所以，
因为，且，所以，
又B、平面，且，所以平面，
因为平面，所以，
在中，由余弦定理得，，即，
解得或舍，
在和中，可知，，
在中，，即，
又，且、平面，且，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
解：以为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
令，得，
设平面的法向量为，则，
令，得，
设平面与平面夹角为，
则，，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18.解：由于点，是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且，
因此为矩形，
又因为，因此．
因此，根据勾股定理和椭圆定义知，
因此，因此，因此．
又因为，所以解得．
因此，所以椭圆标准方程为．
证明：由于，因此设直线的方程为．
联立方程组可得，整理得．
设，，可得，，
由于，因此直线的方程为．
设点、的纵坐标分别为，，设，那么，同理可得．
因此
．
因此、两点的纵坐标之积为定值．
19.解：设等比数列的公比为，可得，
可得，
由，可得且，
则时，取得最小值为，
，，，，为的所有正因数，符合题意，
即的最小值为；
因为，依题意可知，
由题意可知，，，，
所以，
整理得，
因为，，
所以，
解得或舍去，
所以，
累加得，
又因为，
所以；
证明：由题意知，，，，，
所以，
因为，
所以，
因为，，
所以，
所以．
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