2024-2025学年北京市西城区第十三中学高三上学期期中考试数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市西城区第十三中学高三上学期期中考试
数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，那么等于( )
A. B. C. D.
2.设是虚数单位，若复数满足，则在复平面内复数对应的点的坐标为( )
A. B. C. D.
3.已知向量满足，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则是( )
A. 奇函数，且在上是增函数 B. 奇函数，且在上是减函数
C. 偶函数，且在上是增函数 D. 偶函数，且在上是减函数
5.已知的展开式中的常数项为，则其展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
6.直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线的一个焦点是，渐近线为，则的方程是( )
A. B. C. D.
8.已知，均为第一象限角，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.随着北京中轴线申遗工作的进行，古建筑备受关注．故宫不仅是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑之一，更是北京中轴线的“中心”图是古建筑之首的太和殿，它的重檐庑殿顶可近似看作图所示的几何体，其中底面题矩形，，四边形是两个全等的等腰梯形，是两个全等的等腰三角形．若，则该几何体的体积为( )
图 图
A. B. C. D.
10.已知点，分别是正方体的棱，的中点，点，分别是线段与上的点，则满足与平面平行的直线有( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 无数条
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.直线的倾斜角为 ．
12.在等差数列中，若，，则 ；使得数列前项的和取到最大值的 ．
13.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为已知太阳的星等是，天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值为
14.已知函数，则的定义域是 ；的最小值是 ．
15.已知函数，给出下列四个结论：
函数是奇函数；
，且，关于的方程恰有两个不相等的实数根；
已知是曲线上任意一点，，则；
设为曲线上一点，为曲线上一点若，则．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知函数的一个零点为．
求的值及的最小正周期；
若对恒成立，求的最大值和的最小值．
17.在中，内角，，所对的边分别是，，已知．
求角的大小；
若，，求的面积．
18.如图，在四棱锥中，，，，点在上，且，．
若为线段中点，求证：平面．
若平面，求平面与平面夹角的余弦值．
19.已知椭圆：的离心率为，且经过点．
求的方程；
过点的直线交于点点与点不重合设的中点为，连接并延长交于点若恰为的中点，求直线的方程．
20.已知函数
求曲线在点处的切线方程；
求证：；
若函数在区间上无零点，求的取值范围．
21.已知数列，，，，的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为．
若数列：，，，，直接写出集合和的值；
若是递减数列，求证：“为等差数列”的充要条件是“”；
已知数列：，，，，，求．
参考答案
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16.解：，
由于，故，
所以，最小正周期为 ．
当时，，
故当时，取最大值，
当时，取最小值，因此，
因此，
故的最大值为，的最小值为．

17.，
由正弦定理，得，
，，即，
，．
根据题意，，
由余弦定理，
得，
根据，可得，
所以三角形的面积公式．

18.解：取的中点为，接，则，
而，故，故四边形为平行四边形，
故，而平面，平面，
所以平面．
因为，故，故，
故四边形为平行四边形，故，所以平面，
而平面，故，而，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则
设平面的法向量为，
则由可得，取，
设平面的法向量为，
则由可得，取，
故，
故平面与平面夹角的余弦值为．

19.解：依题意，解得，
所以椭圆的方程为．
若直线与轴重合，则与原点重合，符合题意，
此时直线的方程为．
若直线与轴不重合，设其方程为，
由消去并化简得，
，
设，则，
则．
因为是的中点，
所以．
因为，所以，
解得，
此时直线经过点，不符合题意，舍去．
综上所述，直线的方程为．

20.解：，则，又，
所以曲线在点处的切线方程为；
证明：因为，所以，
要证明，只需要证明，即证，
令，则，
当时，，此时在上单调递增；
当时，，此时在上单调递减，
故在取极大值也是最大值，故，
所以恒成立，即原不等式成立；
，
当时，，
故当时，在区间上恒成立，符合题意；
当时，，
令，则在区间上恒成立，
所以在单调递减，且，
当时，此时，在区间上恒成立，
所以在区间单调递减，所以在上恒成立，符合题意，
当时，此时，由于且，
所以，
所以，故存在使得，
故当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，
故时，取极大值也是最大值，故，
由，可得，
令，得，所以在上存在零点，不符合题意，舍去，
综上可知，的取值范围为．
21.解：因为数列：，，，，
所以，
所以集合，；
证明：必要性，若为等差数列，且是递减数列，设的公差为，
当时，，所以，，故必要性成立；
充分性：若为递减数列，，则为等差数列，
因为是递减数列，所以，
所以，且互不相等，则，
又因为，
所以，且互不相等，
所以，
则，所以为等差数列，充分性成立；
由题意知：集合中的元素最多为个，即；
对于数列：，，，，，此时，
若存在，则，其中，
则，
若，不妨设，则，
因为，则为偶数，为奇数，矛盾，
故，
所以数列：，，，，得到的彼此相异，
所以．

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