2024-2025学年福建省宁德市高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省宁德市高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.函数的最小正周期为( )
A. B. C. D.
3.在中国传统的十二生肖中，马、牛、羊、鸡、狗、猪为六畜，则“甲的生肖不是马”是“甲的生肖不属于六畜”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
5.在梯形中，，与交于点，则( )
A. B. C. D.
6.将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象若的图象关于点对称，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.若，则的值可以为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若与分别为定义在上的偶函数、奇函数，则函数的部分图象可能为( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，，，点，分别在边，上，点，均在边上，设，矩形的面积为，且关于的函数为，则( )
A. 的面积为 B.
C. 先增后减 D. 的最大值为
11.已知向量，，满足，，，，则( )
A. B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. ______．
13.已知，函数在上单调递增，则的最大值为______．
14.已知函数，，若与的零点构成的集合的元素个数为，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知．
求角；
若，的面积为，求．
16.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
若恒成立，求的取值范围．
17.本小题分
已知函数．
将化成的形式；
求在上的值域；
将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求不等式的解集．
18.本小题分
已知函数，满足，．
若为上的增函数，求的取值范围．
证明：与的图象关于一条直线对称．
若，且关于的方程在内有解，求的取值范围．
19.本小题分
若存在有限个，使得，且不是偶函数，则称为“缺陷偶函数”，称为的偶点．
证明：为“缺陷偶函数”，且偶点唯一．
对任意，，函数，都满足．
若是“缺陷偶函数”，证明：函数有个极值点．
若，证明：当时，．
参考数据：，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由及正弦定理，
得，
因为，，所以，
则有，即，
由，可得；
由的面积，，，
可得，
由余弦定理得，
解得．
16.解：易知的定义域为，
可得，
此时，
又，
所以在点处的切线方程为，
即；
易知，
令，
令，
此时，函数定义域为，
可得，
易知在单调递增，
所以当单调递增，当单调递减，
则，
当时，，
又，
所以当时，；当时，，
所以当时，，当时，，
则当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
此时，
即，
当时，，
此时满足．
综上可得，的取值范围为
17.解：由，
可得
；
即；
因为，
则，
故，
故，
故在上的值域为；
由题意可得，
故，
即，
故，
解得，
故不等式的解集为．
18.解：由，可得，
为上的增函数，
对恒成立，
对恒成立，
即对恒成立，
，
，
当且仅当，即，即时取等号，
，
，
的取值范围为；
证明：，，
，
即，
，
又函数关于对称的函数为，
再把向右方平移个单位得到，
函数与关于对称；
由可得，
又在内有解，
在内有解，
在内有解，
由可知时，为上为单调递增函数，
在上单调递增，
，
在内有解，
令，求导可得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
，又，，
，
的取值范围为．
19.解：证明：因为，
所以，
因为，
所以，
整理得，
解得，
所以为“缺陷偶函数”，且偶点唯一，且为，
证明：因为，
所以对任意，，恒成立，
所以存在常数，使得，
令，
此时，且，
解得，
因为，
所以，
因为是“缺陷偶函数”，
所以，
即，
整理得，
此时，
解得，
则，
因为，
所以有两个不相等的实数根，，
不妨设，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
时，，单调递增，
所以有两个极值点，；
若，
即，
解得，
此时，
当时，要证，
需证，
因为，
所以，
要证，
令，函数定义域为，
可得，
当单调递减；
当单调递增，
所以，
所以，
此时，
所以．
则当时，．
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