2024-2025学年上海市闵行区六校联合教研高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市闵行区六校联合教研高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若实数，满足，则下列不等式中正确的是( )
A. B. C. D.
2.若幂函数为奇函数，且在上单调递增，则满足条件的实数的值是( )
A. B. C. D.
3.下列命题错误的是( )
A.
B. 若，且，，则
C. 若，则
D. 若，则当且仅当时，等号成立
4.数学必修二页介绍了海伦秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作数书九章中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隔，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即，其中、、分别为内角、、的对边若，，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知全集，集合，，则 ______．
6.函数在处的导数是______．
7.已知，函数的最小正周期是，则正数的值为______．
8.函数的单调递增区间是______．
9.设是实数，若函数为奇函数，则 ______．
10.设集合有且只有两个子集，则 ．
11.设是以为周期的函数，且当时，，则______．
12.若“”是“”的充分条件，则的最小值为______．
13.若将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应函数为奇函数，则 ______．
14.函数，的最大值为，则的取值范围为 ．
15.已知定义在上的奇函数的导函数是，当时，
的图像如图所示，则侧关于的不等式的解集为______．
16.已知函数，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围为______．
三、解答题：本题共4小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，为第二象限角，求和的值；
在中，角、、的对边分别为、、，已知，，，求的面积和边．
18.本小题分
已知函数，．
判断函数的奇偶性，并用定义证明；
判断函数的单调性，无需说明理由；
若恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
已知关于的不等式的解集为或．
求，的值；
当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围；
关于的不等式的解集中恰有个正整数，求实数的取值范围．
20.本小题分
已知函数．
Ⅰ当时，求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ若是增函数，求的取值范围；
Ⅲ证明：有最小值，且最小值小于．
参考答案
1.
2.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.或
16.
17.解：由于，为第二象限角，
可得，
所以可得，
又易知；
在中，角、、的对边分别为、、，
由且，可得，
所以的面积为，
由余弦定理，可得，
可得．
18.解：根据题意，为上的奇函数，
证明如下：
函数，其定义域为，关于原点对称，
又，
则为奇函数；
在上单调递增，
证明如下：
设，
则，
又由，，且，
则，，，，
故，则在上单调递增；
由知，为奇函数，
等价于，
由知在上单调递增，
，解得或，
不等式的解集为：；
19.解：依题意，，
解得，；
由可知，，，，
则，
当，即，时，等号成立，
所以的最小值为，
不等式恒成立，即，
解得，
即实数的取值范围为；
，，
不等式的解集中恰有个正整数，
即的解集中恰有个正整数，
即集合中恰有个正整数，
所以，解得：，
即实数的取值范围为．
20.解：Ⅰ当时，，
，
所以，，
所以所求切线方程为，即．
Ⅱ，，
因为函数是增函数，
所以在上恒成立，
则在上恒成立，
所以在区间上恒成立，
因为，当且仅当时，，
所以，
所以，
所以的取值范围为．
Ⅲ证明：由Ⅱ知，当时，是增函数，的最小值为，
当时，由得，该方程有两个正实数根，
设为，且，，，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
在上，单调递增，
所以的极小值为，的最小值为和中的较小者，记为，
当时，，
所以，
当时，，
所以，
，即，
所以，
综上所述，．
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