2024-2025学年上海市杨浦区控江中学高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市杨浦区控江中学高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.双曲线的一条渐近线方程为( )
A. B. C. D.
2.在正方体中，是的中点，则在下列直线中，与直线相交的是( )
A. 直线
B. 直线
C. 直线
D. 直线
3.设，若关于的等式恒成立，则满足条件的有序实数对的对数是( )
A. B. C. D.
4.已知函数的图像为曲线关于命题“任取平面上的一点，与曲线关于点对称的曲线总能表示函数”和命题“存在倾斜角的直线，使得与曲线关于对称的曲线能表示函数”的真假判断，下列说法正确的是( )
A. 和都是真命题 B. 和都是假命题
C. 是真命题，是假命题 D. 是假命题，是真命题
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.设，不等式的解集为______．
6.已知全集，，则 ______．
7.已知复数满足其中是虚数单位，则 ______．
8.设，若向量与向量平行，则 ______．
9.曲线在点处的切线方程为______．
10.的展开式中常数项是______用数字作答
11.设，函数是奇函数若，，则 ______．
12.设等差数列的公差不为，其前项和为若，则 ______．
13.设，函数若关于的方程恰有一解，则的取值范围为______．
14.设对于样本数据，，，，，若该样本的第百分位数是一个整数，则符合题意的的个数为______．
15.在空间中，是一个定点，已知圆锥上的所有点到的距离都不超过，则当该圆锥的体积取得最大值时，底面半径为______．
16.在平面直角坐标系中，已知椭圆：以及圆：，若点、分别在、上，点满足，则的最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在直四棱柱中，底面是菱形，且．
求证：直线；
求二面角的大小．
18.本小题分
在中，角、、所对的边分别为、、，已知．
若，，求；
若，，求的周长．
19.本小题分
为迎接我校校庆，文创中心组织师生共同准备了书签及明信片这两种校庆纪念品，每种纪念品均分为手绘款和普通款两类校庆当日，志愿者小江负责在弦歌台服务点发放纪念品在做准备工作时，小江清点了服务点已有的各类纪念品的份数，发现缺失手绘款明信片，准备向文创中心申请补领，其余纪念品的份数如下表所示：
书签 明信片
手绘款
普通教
设每位抵达的校友可以随机抽取份纪念品，小江补领了手绘款明信片张记事件：首位抵达的校友抽到手绘款纪念品，事件：首位抵达的校友没有抽到明信片，分别计算、，并判断事件，是否独立；
设每位抵达的校友可以随机抽取份纪念品若小江希望事件“首位抵达的校友恰好抽到一张明信片，且恰好抽到一份手绘款纪念品”发生概率大于，且考虑到纪念品总数有限，希望补领的手绘款明信片的张数尽可能地少，则他应该申请补领多少张手绘款明信片？
20.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，过的直线与抛物线及圆的四个交点依次为、、、．
若点的纵坐标为，求；
证明为定值，并求出该定值；
过、分别作抛物线的切线、，且、交于点，求与的面积之和的最小值．
21.本小题分
设函数的定义域为对于闭区间，若存在，使得对任意，均有成立，则记；若存在，使得对任意，均有成立，则记
设，分别写出及；
设，若对任意闭区间，均有不等式成立，求的最大值；
已知对任意闭区间，与均存在，求证：“是上的严格增函数或是上的严格减函数”的充要条件是“对任意两个不同的闭区间，，与至少有一个成立”．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解证明：因为底面是菱形，所以，
又因为四棱柱为直四棱柱，所以底面，
底面，所以，又，，平面，
所以平面，又平面，
所以．
取中点，因为，且底面是菱形，则，
以为原点，直线为轴，直线为轴，直线为轴建立空间直角坐标系，如图：
则不妨设，，，，
，，
设平面的法向量，
则，则，
令，得，
平面的法向量为，
所以二面角的平面角的余弦值为，
所以二面角的大小为．
18.解：，，，
由余弦定理公式可得：
，，
；
，
由正弦定理可得，又，
，又，，时有两解为锐角或钝角，
当为锐角时，，
，，，
，
，
，
此时三角形周长为；
当为钝角时，，
，
，
，
此时三角形周长为，
的周长为或．
19.解：依题意，
书签 明信片
手绘款
普通教
，
，
，
因为，
所以事件，不独立．
设手绘款明信片的张数为，首位抵达的校友恰好抽到一张明信片，且恰好抽到一份手绘款纪念品为事件，
小江希望事件“首位抵达的校友恰好抽到一张明信片，且恰好抽到一份手绘款纪念品”发生概率大于，
则，解得，
考虑到纪念品总数有限，希望补领的手绘款明信片的张数尽可能地少，且为整数，
所以手绘款明信片的张数为．
20.解：因为抛物线的焦点，准线方程为：，
所以．
证明：由已知直线的斜率存在，
设其方程为：，
令，，
所以，，
所以，，
由，
得，
显然，
则，，，
所以，
即为定值．
由，
可得，
则切线的方程为
切线的方程为
可得：，
即，
则，
由可得，
同理由可得
联立可得，
则，
点到直线的距离为，
所以，
则与的面积之和为：
，
令，
则，
即，
在恒成立，
即函数单调递增，
则当，即当时，即直线的方程为时，
则与的面积之和的最小值为．
21.解：，
由二次函数的性质知，在上单调递增，在上单调递减，
，，
当时，，
当时，．
，
，
又，
令，即，可得或，令，即，可得，
在，上单调递增，在上单调递减，
当趋近，趋近，当趋近穷，趋近，
又，，，
作出函数的图象，如下图：
当时，在时，，
则，不成立，
当时，在时，，，
则成立，
由图象，结合题意要使在有与，
且对任意闭区间，均有不等式成立，
的最大值为．
证明：充分性：
当与其中一式成立时，
不可能为常值函数，先任取，
总有或，
假设存在，使得，
记，，
则，
存在，则或，
不妨设，则，
否则当，，
此时，，矛盾，
进而可得，
则，，
．
必要性：
即对任意两个不同的闭区间，，与至少有一个成立，证明为上的严格减函数，
任取，需考虑如下情况：
情况一：若，则，
否则，
记，，，
则，
，
同理若，，，
，
根据可得：
情况二：若，则，
否则，
，由此矛盾，
，同情况一可得矛盾，
情况三：若，同上述可得，
，，
情况四：若，同上述可得，，，
情况五：若，同上述情况二可证明恒成立．
情况六：若，同上述情况一可证明恒成立．
即为上的严格增函数．
第1页，共1页