吉首一中2024年下学期期中考试
高一年级数学试卷
2024年11月
时量：120分钟满分：150分
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，，若，则（）
A. B. C. D.
2. 命题“，”的否定为（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. ：，：，则是的（）
A必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 必要条件
4. 不等式的解集为
A. 或 B.
C. D. 或
5. 已知，则函数的解析式为（）
A B.
C. D.
6. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C D.
7. 若，，且，则的最小值是（）
A. 16 B. 14 C. 10 D. 8
8. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”.已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，那么下列结论正确的是（）
A. 若，，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10. 关于的不等式的解集为，下列说法正确的是（）
A.
B. 不等式的解集为
C.
D. 的最大值为
11. 已知定义域为的函数为奇函数，的图象关于直线对称，则（）
A. 的图象关于点中心对称 B. 为奇函数
C. 是周期为4的函数 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 满足的集合的个数为______________．
13. 函数的定义域为，则函数的定义域为________
14. 设，是一元二次方程的两个实根，则的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，.
（1）若：，：，且是的必要条件，求实数的取值范围；
（2）若，使，求实数的取值范围.
16. 已知函数
（1）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.
17. 狗牯脑茶是江西珍贵名茶之一，产于罗霄山脉南麓支脉，吉安市遂川县汤湖镇狗牯脑山，该山形似狗头，取名“狗牯脑”所产之茶即从名之．某茶叶种植户欲生产狗牯脑茶，经过市场调研，生产狗牯脑茶需投入年固定成本3万元，每生产x（）吨另需投入流动成本万元，已知在年产量不足12吨时，，在年产量不少于12吨时，，每千克狗牯脑茶售价140元，通过市场分析，该茶叶种植户的狗牯脑茶当年能全部售完．
（1）写出年利润（单位：万元）关于年产量x（）（单位：吨）的函数解析式（年利润＝年销售收入－年固定成本－流动成本）；
（2）年产量为多少吨时，该茶叶种植户在狗牯脑茶的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？
18. 已知定义在区间上函数为奇函数.
（1）求实数的值；
（2）判断并证明函数在区间上单调性；
（3）解关于的不等式.
19. 已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数．
（1）若，，求并判断集合A是否为的恰当子集；
（2）已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由；
（3）若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值．1
吉首一中 2024 年下学期期中考试
高一年级数学试卷
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1.
【答案】C
2.
【答案】C
3.
【答案】B
4.
【答案】C
5.
【答案】B
6.
【答案】B
7.
【答案】D
8.
【答案】C
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分.
9.
【答案】ACD
10.
【答案】AD
11.
【答案】ACD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.
第 1 页
1
【答案】7
13.
3
【答案】 1,
2
14.
【答案】8
四、.解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 【解析】
【分析】（1）由题意得B A，然后利用集合关系列不等式组求解即可；
2
（2）由题意m x 3x 4 ， x [0,3]，然后利用二次函数求最小值即可求解.
min
【小问 1 详解】
因为 p 是 q的必要条件，所以B A，
m 1 0
又 A {x | 0 x 3}，B {x | m 1 x m 1}，所以 ，解得1 m 2，
m 1 3
所以实数m 的取值范围 1, 2 ；
【小问 2 详解】
2
由 x A，使 x2 m 4 3x ，得m x 3x 4 ， x [0,3]，
min
2
2 3 25令 y x 3x 4 x ， x [0,3]，
2 4
当 x 0或 3 时， y 取得最小值 4，所以m 4 .
因此，实数m 的取值范围是 (4, ) .
16.
【解析】
【分析】（1）移项后转化为 x2 mx 2 m 0在 上恒成立，利用 判别式即可解决；
（2）根据对称轴和区间 在数轴上的位置关系进行分类讨论，转化为最值问题即可解决.
【小问 1 详解】
f x mx 即为 x2 mx 2 m 0，此不等式在 上恒成立，
第 2 页
1
2
则Δ m 4 2 m 0 ，解得 2 2 3 m 2 2 3；
所以m 的取值范围是 2 2 3, 2 2 3 .
【小问 2 详解】
f x x2 2mx 2 m 0 在 上恒成立，
若0 m 1，函数在 0,1 先减后增，则 f x f m m2 2m2 2 m 0 ， 2 m 1，所以
min
0 m 1
若m 0，函数在 0,1 单调递增，则 f x f 0 2 m 0 ，m 2，所以m 0，
min
若m 1，函数在 0,1 单调递减，则 f x f 1 1 2m 2 m 0，m≤1，此时无解，
min
综上所述，实数m 的取值范围是 ,1 .
17.
【解析】
【分析】（1）根据给出的计算公式，分段写出函数解析式；
（2）分段求函数的最大值，再进行比较.
【小问 1 详解】
由题意知，1 吨狗牯脑茶售价为 14 万元，当 x 4,12 时，
g x 14x x2 6x 47 3 x2 20x 50，
324 324
当 x 12, 27 时， g x 14x 15x 93 3 x 90 ，
x x
x2 20x 50, x 4,12
故年利润 g x （万元）关于年产量 x（吨）的函数解析式为 g x 324 ．
x 90, x 12,27
x
【小问 2 详解】
当 x 4,12 2时，g x x2 20x 50 x 10 50 ，当 x 10 时，g x 取得最大值 g 10 50．
324 324 324
当 x 12, 27 时， g x x 90 90 x 90 2 x 90 36 54．
x x x
324
当且仅当 x ，即 x 18时取等号，即当 x 18时， g x 取得最大值 g 18 54．
x
∵50＜54，
∴当年产量为 18 吨时，该茶叶种植户在狗牯脑茶的生产中所获年利润最大，最大年利润是 54 万元.
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1
18.
【解析】
x
【分析】（1）由题意，利用 f 0 a 0 ，再检验 f x 是奇函数即可；
x2 1
（2）利用单调性的定义进行证明即可；
（3）结合奇偶性和单调性解不等式即可.
【小问 1 详解】
因为 f x 定义在 上的奇函数，
x 1,1 ，都有 ，
令 x 0，可得 f 0 a 0 ，解得a 0，
x
则 f x ，
x2 1
x x
又 f x f2 2 x ，
x 1 x 1
x
所以 f x 是奇函数，所以a 0；
x2 1
【小问 2 详解】
f x 是 上的增函数；
证明：设 1 x1 x2 1，
x x
则 f x1 f x2
1 2
x2 2
1 1 x2 1
x1 x2 1 x1x2
x2 1 x2
.
1 2 1
又 1 x1 x2 1，则 x1 x2 0，1 x1x2 0，
则有 f x1 f x2 0，即 f x1 f x2 ，
故函数 f x 在 上单调递增；
【小问 3 详解】
因为 f x 为奇函数，可得 f t 1 f t ，
第 4 页
1
t 1 t
1
又 f x 在 上单调递增，所以 1 t 1 1，解得0 t ，
2
1 t 1
1
所以原不等式的解集为 t 0 t .
2
19.
【解析】
【分析】（1）由定义求 A*并判断集合 A 是否为 S5 的恰当子集；
（2）已知 A 1,a,b,7 a b *是 S7 的恰当子集，则有 A 1,2,3,4,5,6 ，列方程求 a，b 的值并检验；
（3）证明n 10 时，存在 A 是 S10 的恰当子集；当n 11时，不存在 A 是 S11的恰当子集，
【小问 1 详解】
若 n 5，有 S5 1,2,3,4,5
*
，由 A 1, 2,3,5 ，则 A 1,2,3,4 ，
*
满足 A 5 S5 ，集合 A 是 S5 的恰当子集；
【小问 2 详解】
A 1,a,b,7 a b *是 S7 的恰当子集，则 A 1,2,3,4,5,6 ，
7 1 6 A* ，由5 A* 则7 a 5或b 1 5，
7 a 5时，a 2，此时b 5， A 1, 2,5,7 ，满足题意；
b 1 5时，b 6，此时a 3， A 1,3,6,7 ，满足题意；
a 2，b 5或a 3，b 6 .
【小问 3 详解】
若存在 A 是 Sn 的恰当子集，并且 A 5，
* *
当 n 10 时， A 1,2,3,7,10 ，有 A 1,2,3,4,5,6,7,8,9 ，满足 A 10 S10 ，
所以 A 1,2,3,7,10 是 S10 的恰当子集，
*
当 n 11时，若存在 A 是 S A 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 *11的恰当子集，并且 A 5，则需满足 ，由10 A ，
则有1 A且11 A；由9 A*，则有2 A或10 A，
2 A时，设 A 1,2,a,b,11 3 a b 10 *，经检验没有这样的a,b满足 A 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ；
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1
当10 A时，设 A 1,a,b,10,11 2 a b 9 ，经检验没有这样的a,b满足
A* 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ；，
因此不存在 A 是 S11的恰当子集，并且 A 5，
所以存在 A 是 Sn 的恰当子集，并且 A 5，n 的最大值为 10.
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