华中师大一附中2024-2025学年度上学期高三期中检测
数学试题
时限：120分钟满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.
【答案】A
2.
【答案】A
3.
【答案】C
4.
【答案】C
5.
【答案】D
6.
【答案】B
7.
【答案】B
8.
【答案】B
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.
【答案】ACD
10.
【答案】BD
11
【答案】ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.
【答案】
13.
【答案】
14.
【答案】2
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理结合两角和差的正弦公式化简即可得解；
（2）根据角平分线性质，求得和，再将转化为与的关系，利用基本不等式求解即可.
【小问1详解】
因为，
由正弦定理得，
则，
即，
又，所以，所以，
又，所以，
所以，所以；
【小问2详解】
如图，由题意及第（1）问知，，
且，
∴，
∴，化简得，
∵，，∴由基本不等式得，∴，
当且仅当时，等号成立，
∴，
∴，
故的面积的最小值为.
16.
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换得到，其中，根据，求出，故，解得；
（2），，使得，则只需，求出，换元得到，分，和，求出，从而得到不等式，求出的取值范围.
【小问1详解】
，其中，
由于，，故，
所以，故，
，解得；
【小问2详解】
由（1）得，不妨取，故，
，，使得，
则只需，
其中时，，故，
则，
令，则，
则，
其中，
因为，所以，，
若，此时在上单调递减，
故，故，
若，此时，令，
故，解得，与取交集得，
若，此时在上单调递增，
故，
令，解得，与取交集得，
综上，.
17.
【解析】
【分析】（1）利用导数分析含参函数在区间上的单调性，结合函数最小值，即可求得参数值；
（2）求得，令，利用导数研究其隐零点，从而判断的单调性，再结合隐零点满足的条件，即可求得函数的最小值.
【小问1详解】
因为，，故可得，，
①若，，在单调递减，的最小值为，不满足；
②若，
令，解得，故在单调递增；
令，解得，故在单调递减；
故的最小值为，即，解得，满足；
③若，，在单调递增，的最小值为，解得，不满足；
综上所述，.
【小问2详解】
若，，，
定义域为，，
令，，
故在单调递增，又，，
故存在，使得，也即，且，
且当，，，在单调递减；
当，，，在单调递增；
故的最小值为；
由上述求解可知，，则，令，
则，故在单调递增；
，也即，又，故，即；
又.
故的最小值为.
18.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见详解，定点
【解析】
【分析】（1）根据题意结合离心率列式求，即可得椭圆方程；
（2）可知直线的斜率存在，设直线：，联立方程结合韦达定理可得，进而求面积，结合单调性求最值；
（3）可知直线的斜率存在，设直线：，联立方程结合韦达定理可得，假设过定点，根据数量积运算求解即可.
【小问1详解】
由题意可知：，解得，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
若，可知直线的斜率存在，
设直线：，，
联立方程，消去y可得，
则，整理可得，
可得，
因为，则，
由，可得，
则，
整理可得，
则，
且，则，可得，
解得，且满足，
可知直线：过定点，
则面积，
令，则，可得，
因为在内单调递增，则，
所以当时，面积取到最大值.
【小问3详解】
若直线的斜率不存在，设，
可得，可得，
这与相矛盾，不合题意；
可知直线的斜率存在，设直线：，，
可得，
整理可得，
则，
且，则，可得，解得，
设以为直径的圆过定点，
则，
可得，
则，
整理可得，
则，
可得，
注意到上式对任意的均成立，则，解得，
所以以为直径的圆过定点.
19.
【解析】
（1）利用多次求导的方法来判断出在上的单调性.
（2）利用多次求导的方法，结合恒成立，列不等式来求得的取值范围.
（3）根据（2）的结论，得到，求得的不等关系式，然后根据分组求和法以及等比数列的前项和公式证得不等式成立.
小问1详解】
在上单调递减，理由如下：
当时，，
，，
所以函数在上单调递减，
当时，，所以，
所以，所以在上单调递减.
【小问2详解】
当时，恒成立①，
当时，②，
，设，
时，
，设，
当时，，
，
要使①恒成立，由于②，则需恒成立，
所以恒成立，所以，.
此时，
在上单调递增，，
在上单调递增，，
在上单调递增，
使得恒成立.
综上所述，的取值范围是.
【小问3详解】
由（2）可知，当，时，恒成立，
即时，恒成立，
下证：，
时，
，
由上述分析可知，，即，则，
所以
，
，即得证.华中师大一附中2024-2025学年度上学期高三期中检测
数学试题
时限：120分钟满分：150分命题人：
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 已知平面向量，，，则实数（）
A. B. 1 C. D. 2
2. 若：，：，则是（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 己知是全集的两个子集，则如图所示的阴影部分所表示的集合是（）
A. B.
C D.
4. 若，，，则（）
A. B. C. D.
5. 已知，都是锐角，，，则（）
A. B. C. D.
6. 已知为的外接圆圆心，，，则的最大值为（）
A. 4 B. 6 C. D.
7. 某中学数学兴趣小组为测量学校附近某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线上的，，三点进行测量．如图，（单位：米），点为中点，兴趣小组组长小王在，，三点正上方2米处的，，观察建筑物最高点的仰角分别为，，，其中，，，点为点在地面上的正投影，点为上与，，位于同一高度的点，则建筑物的高度为（）米．
A. 20 B. 22 C. 40 D. 42
8. 设函数，则关于的不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设函数，，的导数为，则（）
A.
B. 当时，
C. 曲线在点处的切线方程为
D. 当时，
10. 某个简谐运动可以用函数（，），来表示，部分图象如图所示，则（）
A.
B. 这个简谐运动的频率为，初相为
C. 直线是曲线的一条对称轴
D. 点是曲线的一个对称中心
11. 已知实数，满足，则（）
A. 当时， B. 当时，
C. 当时， D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，为单位向量，且在上的投影向量为，则______．
13. 若实数，满足，，则的取值范围为______．
14. 设，是双曲线：（，）的左、右焦点，点是右支上一点，若的内切圆的圆心为，半径为，且，使得，则的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，内角，，的对边分别为，，，．
（1）求；
（2）若角平分线交边于点，，求面积的最小值．
16. 已知函数，且恒成立．
（1）求的值；
（2）设，若，，使得，求实数的取值范围．
17已知函数．
（1）若函数在上的最小值为，求的值；
（2）若，函数，求的最小值．
18. 已知椭圆：的离心率为，点在上，直线与交于不同于A的两点，．
（1）求的方程；
（2）若，求面积的最大值；
（3）记直线，的斜率分别为，，若，证明：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标．
19. 已知函数．
（1）当时，判断在上单调性，并说明理由；
（2）当时，恒成立，求的取值范围；
（3）设，在的图象上有一点列，直线的斜率为，求证：．
