2025届·普通高中名校联考信息卷（月考一）
（高考研究卷）
数学
（考试范围：集合与逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形、向量与复数、数列与立体几何）
考生注意：
1.本试卷共150分，考试时间120分钟.
2.请将答案填在答题卡上.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数满足，则在复平面内对应的点位于（）
A第一象限 B. 第二象限
C第三象限 D. 第四象限
2. 设集合，，则（）
A. B. C. D.
3. 已知向量与是非零向量，且满足在上的投影向量为，，则与的夹角为（）
A. B. C. D.
4. 最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”.如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量（平地降雪厚度器皿中积雪体积除以器皿口面积），已知数据如图（注意：单位），则平地降雪厚度的近似值为（）
A. B. C. D.
5. 定义：满足为常数，）的数列称为二阶等比数列，为二阶公比.已知二阶等比数列的二阶公比为，则使得成立的最小正整数为（）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
6. 已知函数，若满足，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
7. 在中，角所对的边分别为，，若表示的面积，则的最大值为（）
A. B. C. D.
8. 已知函数在区间上的最小值恰为，则所有满足条件的的积属于区间（）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 下列结论正确是（）
A. 若，则
B. 若，则的最小值为2
C. 若，则的最大值为2
D. 若，则
10. 已知定义域在R上的函数满足：是奇函数，且，当，，则下列结论正确的是（）
A. 的周期 B.
C. 在上单调递增 D. 是偶函数
11. 在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，，平面平面ABCD，点M在线段PC上运动（不含端点），则（）
A. 存点M使得
B. 四棱锥外接球的表面积为
C. 直线PC与直线AD所成角为
D. 当动点M到直线BD的距离最小时，过点A，D，M作截面交PB于点N，则四棱锥的体积是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知数列满足，则数列通项公式为__________．
13. 已知函数，若的最小值为，则________．
14. 已知函数，若函数的图象在点和点处的两条切线相互平行且分别交轴于、两点，则的取值范围为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，内角、、的对边分别为、、，已知．
（1）若，，求的面积；
（2）求的最小值，并求出此时的大小．
16. 如图，在正三棱锥中，有一半径为1的半球，其底面圆O与正三棱锥的底面贴合，正三棱锥的三个侧面都和半球相切．设点D为BC的中点，．
（1）用分别表示线段BC和PD长度；
（2）当时，求三棱锥的侧面积S的最小值．
17. 已知函数.
（1）若函数在处的切线与直线垂直，求实数的值.
（2）若函数存在两个极值点，求实数的取值范围.
18. 已知数列满足，记数列的前项和为．
（1）求；
（2）已知且，若数列是等比数列，记的前项和为，求使得成立的的取值范围．
19. 牛顿法( Newton's method)是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设r是的根，选取x．作为r的初始近似值，过点作曲线的切线L，L的方程为.如果，则L与x轴的交点的横坐标记为，称为r的一阶近似值．再过点作曲线的切线，并求出切线与x轴的交点横坐标记为，称为r的二阶近似值．重复以上过程，得r的近似值序列：，根据已有精确度，当时，给出近似解．对于函数，已知.
（1）若给定，求r的二阶近似值；
（2）设
①试探求函数h(x)的最小值m与r的关系；
②证明：.2025届·普通高中名校联考信息卷（月考一）
（高考研究卷）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】A
2.
【答案】D
3.
【答案】A
4.
【答案】C
5.
【答案】B
6.
【答案】A
7.
【答案】D
8.
【答案】C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9.
【答案】AD
10.
【答案】BC
11.
【答案】BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 【答案】
13.
【答案】
14.
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
【解析】
【分析】（1）结合余弦定理与面积公式即可得；
（2）结合三角恒等变换与三角形内角和，将原式中多变量换成单变量，再结合基本不等式即可得.
【小问1详解】
由题意得，
因为，
所以，故，
又，所以．
因为、是的内角，所以为钝角，
所以，所以，
所以是等腰三角形，则，
所以．
【小问2详解】
由（1）可知，中，，
即为钝角，则，
因为，，
所以，
设，
则
，
由，
故，
当且仅当，即，
结合钝角，即当时等号成立，
所以的最小值是5，此时．
16.
【解析】
【分析】（1）连接OP，由题意O为的中心，则可得为直角三角形，设半球与面PBC的切点为E，然后分别在和中求解即可，
（2）由已知条件可得，，令，则上述函数变形为，，然后利用导数可求得结果
【小问1详解】
连接OP，由题意O为的中心，
且面ABC，又面ABC，所以，所以为直角三角形．
设半球与面PBC的切点为E，则且．
在中，，所以．
在中，．
【小问2详解】
由题知，，
化简得，，
令，则上述函数变形为，，
所以，令，得．当时，
，单调递减，当时，
，单调递增，所以当时，
三棱锥的侧面积S的最小值为．
17.
【解析】
【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数的几何意义求参数的取值范围；
（2）首先求函数的导数，函数有两个极值点，转化为有两个零点，设，则，讨论和两种情况下函数的单调性，分析函数的零点，求参数的取值范围.
【详解】（1），
，
则，解得.
（2），
由题设可知有两个不同的零点，且在零点的附近的符号发生变化.
令，则，
若，则，则为上为增函数，
在上至多有一个零点.
当时，若，则，故在上为增函数，
若，则，故在上为减函数，
故，故.
又且，故在上存在一个零点；
下证当时，总有.
令，则，
当时，，故为上的减函数，
故，故成立.
令，则，
故当时，有，
取，则当时，
有，
故，故在上，存在实数，使得，
由零点存在定理及的单调性可知可得在上存在一个零点.
综上可知，实数的取值范围是.
18.
【解析】
【分析】（1）由递推关系首先得结合等差数列求和公式即可求解.
（2）由题意首项得，进一步有通过等比数列求和将原问题转换为求不等式的正整数解集.
【小问1详解】
①
②
②-①得，，得．
当时，①式为，得，也满足上式．
，数列是等差数列，所以．
【小问2详解】
，则数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
，
又，得，
得．
令，即，即．
当时，经验证，（*）式满足要求．
令，则
，
所以当时，，
即当时，式不成立．
使得成立的的取值范围是．
19.
【解析】
【分析】（1）根据给定方法，求出的导数，依次求出即可.
（2）①求出函数，利用导数探讨函数的最小值，结合求出m与r的关系；②由①的结论，构造函数，利用导数探讨函数在上的单调性即可推理得证.
【小问1详解】
函数，求导得，
依题意，，当时，，
同理，而，所以.
【小问2详解】
①由（1）知，，则，
，求导得，
令，求导得，在上单调递增，
函数在上单调递增，，
由，得，且，则，
，当时，，当时，，
于是函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在处取得最小值.
②由①知，，令，求导得，
令，求导得，当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，而，
则当时，恒成立，即函数在上单调递减，
而，因此，所以.
