2024-2025年度第一学期
北京育才学校高二数学
期中考试试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.
1. 圆的半径为
A. B. C. D.
2. 椭圆的焦点坐标为（ ）
A. ， B. ，
C， D. ，
3. 圆与圆的位置关系为（）
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
4. 在棱长为2的正方体中，O是底面的中心，E，F分别是的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于（ ）
A B. C. D.
5. 圆关于原点对称的圆的方程为（）
A. B.
C. D.
6. 如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，那么实数k的取值范围（）
A. B. C. D.
7. 已知点是圆上一点，则点到直线的距离的最小值为（）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8. “”是“直线与直线垂直”的（）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 已知直线与圆交于两点，且（其中为坐标原点），则实数的值为
A. B. C. 或 D. 或
10. 在空间直角坐标系中，已知，，其中，则的最大值为（）
A. 3 B. C. D. 4
二、填空题：本大题共5题，每小题6，共25分
11. 写出一个圆心在直线上，且经过原点的圆的方程：______．
12. 过点的直线将的面积分为相等的两部分，求直线方程______.
13. 如图，在正方体中，为的中点，则直线与平面所成角的正切值为______.
14. 已知点，点在圆上，则的取值范围是______；若与圆相切，求切线的方程______.
15. 数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线：恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：
①曲线经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线上任意一点到坐标原点距离都不超过2；
③曲线围成区域的面积大于；
④方程表示的曲线在第二象限和第四象限
其中正确结论的序号是______.
三、解答题：本大题共6小题，共85分.
16. 在平面直角坐标系中，已知，，，线段AC的中点为M.
（1）求过点M与直线BC平行的直线方程；
（2）求△ABC的面积.
17. 已知圆过原点和点，圆心在轴上.
（1）求圆的方程；
（2）直线经过点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程.
18. 如图，四边形为梯形，，四边形为平行四边形.
（1）求证：平面；
（2）若平面，，，，求：
（ⅰ）二面角的余弦值；
（ⅱ）点到平面的距离.
19. 已知椭圆（）的右焦点为，且过点，直线过点且交椭圆于A、两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若线段的垂直平分线与轴的交点为.
（ⅰ）求直线的方程.
（ⅱ）若点，求的面积.
20. 如图，在长方体中，，，分别是棱，，的中点.
（1）判断直线与平面的位置关系，并证明你的结论；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在线段上是否存在一点，使得点到平面距离是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
21. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，，已知平行四边形两条对角线长度之和等于4．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）过作互相垂直的两条直线、，与动点的轨迹交于、，与动点的轨迹交于点、，、的中点分别为、；证明：直线恒过定点，并求出定点坐标；
（3）在（2）的条件下，求四边形面积的最小值．2024-2025年度第一学期
北京育才学校高二数学
期中考试试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.
1.
【答案】B
2.
【答案】B
3.
【答案】B
4.
【答案】B
5.
【答案】C
6.
【答案】B
7.
【答案】C
8.
【答案】A
9.
【答案】C
10.
【答案】D
二、填空题：本大题共5题，每小题6，共25分
11.
【答案】（答案不唯一）
12.
【答案】
13.
【答案】##
14.
【答案】 ①. ②. 或
15.
【答案】②④
三、解答题：本大题共6小题，共85分.
16.
【解析】
【分析】（1）由点，求出AC的中点坐标和BC的斜率，进而求出方程，
（2）由（1）可知BC的斜率求出BC的直线方程，再点A到直线BC的距离，根据面积公式，求出结果.
【小问1详解】
∵，，
∴AC的中点坐标，又直线BC的斜率，
∴过M点和直线BC平行的直线方程为，
即.
【小问2详解】
由（1）可知BC的斜率，
直线BC的方程为，即，
∴点A到直线BC的距离，
又B、C两点间距离，
∴△ABC的面积.
17.
【解析】
【分析】（1）设圆的圆心坐标为，由已知列出方程，求得，进而求得半径，即可得出结果；
（2）设出直线方程，利用垂径定理，列方程求出直线的斜率即可得出结果.
【小问1详解】
设圆的圆心坐标为.依题意，在，解得
从而圆的半径为，所以圆的方程为.
【小问2详解】
依题意，圆C的圆心到直线的距离为4，
显然直线符合题意.
当直线的斜率存在时，设其方程为，即
所以解得，所以直线的方程为
综上，直线的方程为或.
18.
【解析】
【分析】（1）利用平行四边形的性质与判定结合线面平行的判定证明即可；
（2）根据题意判定线线垂直，构造合适的空间直角坐标系，利用面面夹角及点面距离公式计算即可.
【小问1详解】
过C作交于G点，
因为，所以四边形为平行四边形，则，
又四边形为平行四边形，所以，
所以，则四边形为平行四边形，
即，
易知平面，平面，
所以平面；
【小问2详解】
因为平面，平面，
所以，
又，所以三条线两两垂直，
即可以以A为中心建立如图所示的空间直角坐标系，
则，所以，
设平面的一个法向量为，则，
令，即，
（ⅰ）易知平面的一个法向量为，
二面角的一个平面角为锐角，
设二面角的一个平面角为，
则；
（ⅱ）易知，则点到平面的距离.
19.
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的性质并代入所过点坐标计算即可；
（2）（ⅰ）先排除直线l斜率不存在的情况，设其点斜式方程，联立椭圆方程结合韦达定理、直线垂直的斜率积计算即可；（ⅱ）由上的结论及弦长公式、点到直线的距离公式计算即可.
【小问1详解】
根据题意有，解之得，所以椭圆的方程；
【小问2详解】
（ⅰ）显然若l斜率不存在，其垂直平分线与横轴重合，不符合题意；
不妨设直线的方程为，的中点为C，
设，
l与椭圆方程联立有，整理得，
则，
所以，
易知，解之得，
即，整理得直线的方程为或；
（ⅱ）由弦长公式可知
，
由直线的对称性知点P到两条直线l的距离相同，即，
所以的面积为.
20.
【解析】
【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面夹角即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面夹角即可；
（3）假设存在点Q，利用空间向量研究点面距离计算参数即可.
【小问1详解】
如图建立空间直角坐标系，则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，取，即，
则，
连接与交于N点，即直线与平面相交于N点，
则直线与平面的位置关系为相交，直线与平面的夹角的正弦值；
【小问2详解】
由上知，设平面的一个法向量为，
则，取，即，
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为；
【小问3详解】
设存在满足题意，不妨设，
则，
易知，设平面的一个法向量为，
则，取，即，
而，
所以点到平面的距离是，所以不存在.
21.
【解析】
【分析】(1)根据几何位置关系可得，再根据椭圆定义求解；
(2)利用韦达定理表示出坐标，从而表示出的直线方程即可求解；
(3)利用韦达定理表示出弦长，进而可表示面积，利用二次函数的性质可求面积的最小值.
【小问1详解】
取点，则有，所以四边形是平行四边形，
所以，因为，所以，
所以动点的轨迹为椭圆（左右顶点除外），所以，，
所以，所以动点的轨迹方程为．
【小问2详解】
当垂直于轴时，的中点，
直线为轴，与椭圆，无交点，不合题意，
当直线不垂直于轴时，不妨设直线的方程为，
，，
由，得，
所以△，
所以，，
所以，
所以，
因为，以代替，得，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，
由椭圆的对称性得，若存在这样的定点必在轴上，
令，则，
所以，
所以直线恒过定点，
当时，，，
所以直线恒过定点，
综上所述，直线恒过定点．
【小问3详解】
由（2）得，，
所以
，
同理可得，
所以四边形面积，
令，则，
所以，
因为，所以，
当，即时，，所以，
所以四边形的面积最小值为．
