安徽省“智学大联考·皖中名校联盟”2025届高三11月期中联考数学试卷（含答案）

安徽省“智学大联考·皖中名校联盟”2025届高三11月期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，则阴影部分表示的集合为( )
A. B.
C. D.
2.若复数，则( )
A. B. C. D.
3.已知平面向量，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.我们把分子、分母同时趋近于的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，则( )
A. B. C. D.
5.下列四个数中最大的是( )
A. B. C. D.
6.在平行四边形中，，与相交于点若，，以，为基底，则( )
A. B. C. D.
7.已知集合与集合，集合，则集合的元素个数为( )
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中，为曲线上位于第一象限内的一点，为在轴上的射影，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知二次函数为常数，且的部分图象如图所示，则( )
A.
B.
C.
D. 不等式的解集为
10.若，，则下列结论正确的有( )
A. B. C. D.
11.“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径，点是圆内的定点，且，弦，均过点，则下列说法正确的是( )
A. B. 的取值范围是
C. 当时，为定值 D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是 ．
13.已知函数与函数在公共点处的切线相同，则实数的值为______．
14.如图，为线段的中点，以为圆心，长度为半径作半圆，为半圆上一点，以为边作正三角形，若，则四边形面积的最大值为__________；
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在生活中，喷漆房和烤漆房是重要的工业设备，它们在我们的生活中起着至关重要的作用。喷漆房的过滤系统主要作用是净化空气能把喷漆过程中的有害物质过滤掉，过滤过程中有害物质含量单位：与时间单位：间的关系为，其中，为正常数，已知过滤消除了的有害物质．
过滤后还剩百分之几的有害物质
要使有害物质减少，大约需要过滤多少时间精确到
参考数据：
16.本小题分
已知函数．
讨论在区间上的单调性；
若在上有两个极值点 ，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知向量， ．
若，求；
若，设函数；
求的值域；
当取最小值时，求与垂直的单位向量的坐标．
18.本小题分
已知在锐角中，，，为边上一点，且 ．
证明；
求的值；
求．
19.本小题分
丹麦数学家琴生是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果若，，，为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凸函数”也可设可导函数在上的导函数为，在上的导函数为，当时，函数在上为“凸函数”若，，，为上任意个实数，满足，则称函数在上为“凹函数”当且仅当时等号成立也可设可导函数在上的导函数为，在上的导函数为，当时，函数在上为“凹函数”这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式．
证明函数，为凹函数
在中，求证：
设均为大于的实数，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由可知，当时，，当时，，
则有，解得，所以，
故当时，．，即过滤后还剩的有害物质．
要使有害物质减少，则，，
因为，所以，，
所以，
故要使有害物质减少大约需要过滤小时．
16.解： ，，
当，即时，恒成立，则在上单调递增；
当，即或时，令，得或，
令，得，
综上所述：当时，单调递增区间是，无单调递减区间
当或时，的单调递增区间是和单调减区间是；
因为在有两个极值点，，
所以在有两个不等零点，，
所以，解得，
所以实数的取值范围为

17.解：因为，，且，
则，
即，
整理得，所以．
因为，则，，
可得
．
设，
因为，则，
可得，，
设，
因为的图象开口向上，对称轴为，
由二次函数性质可得：， ，
所以的值域为；
当取最小值时，即，此时，，
设，由题意可得，解得或
所以或．

18.解：证明：因为，且，
所以，
即，
所以，
又因为为锐角三角形，所以，
所以，
由正弦定理得
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
因为，
所以，
所以 ，
又因为，所以，因为，
所以，
又因为为锐角，所以，
所以，
又因为为锐角，所以；
因为，
所以，
即，
则，
故 ，
在中，由余弦定理得，
解得，
所以．

19.解：，
，
，
，
，
函数在为凹函数．
由可知函数在为凹函数，
所以由琴生不等式，
可得，
，当且仅当时等号成立
证明：令，由可得，
且 ，
构造函数，，
，
，
为凹函数，
即，
将及 分别带入左右式得：
，
即

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