北京市第二中学2024-2025学年高三上学期期中测试
数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】A
2.
【答案】D
3.
【答案】B
4.
【答案】C
5.
【答案】A
6.
【答案】A
7.
【答案】A
8.
【答案】B
9.
【答案】A
10.
【答案】D
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.
11.
【答案】
12.
【答案】 ①. ②.
13.
【答案】16
14.【答案】
15.
【答案】①③
三、解答题：本题共6小题，共85分.
16.
【解析】
【分析】(1)利用正弦定理将已知条件边化角，化简即可.
(2) 若选择①②，可以确定的三个角，但无法确定边长，不符合题意；
若选②③，利用正弦定理求边长，根据角度关系求，即可求出面积；
若选①③，利用余弦定理求边长，再求出，即可求面积.
【小问1详解】
因为，
由正弦定理可得，
因为，所以，即，
因为，则；
【小问2详解】
若选择①②，由，可得，由于已知条件未给出任意一边的长度，满足条件的三角形有无数个，并不唯一确定，不符合题意.
若选择②③，由正弦定理，及，，得，所以，
因为，所以，，
，
所以．
若选择①③，由余弦定理得，及，
得，解得，
所以，所以．
17.
【解析】
【分析】（1）由题意结合线面平行的判定定理即可证得题中的结论；
（2）建立空间直角坐标系，利用两个半平面的法向量可得二面角的余弦值；
（3）假设点Q存在，利用直线的方向向量和平面的法向量计算可得点Q的存在性和位置.
【小问1详解】
因为四边形PDCE为矩形，所以N为PC的中点，连接FN，
在中，F、N分别为PA、PC的中点，所以，
因为平面DEF，平面DEF，
所以平面DEF；
【小问2详解】
因为PD垂直于梯形ABCD所在的平面，又AD、DC在平面ABCD内，
所以，
又，所以，
如图以D为原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面PBC法向量为，
则，即，解得，令，则，
所以平面PBC的一个法向量为，
设平面ABP的法向量为，
，令，则，
所以平面ABP的一个法向量为，
，
因为二面角的平面角是钝角，所以二面角的平面角余弦值为，
【小问3详解】
设存在点Q满足条件，
由，设，
则
，
因为BQ与平面BCP所成角的大小为，
所以，
解得，又，所以，即Q点E与重合，
故在线段EF上存在一点Q，且.
18.
【解析】
【分析】（1）利用古典概型的概率公式计算即可求解；
（2）根据题意可得的可能取值为，求出所对应的概率，即可列出分布列，利用随机变量的期望公式即可求解；
（3）根据已知条件得出，再利用方差的性质即可求解.
【小问1详解】
依题意支持方案二的学生中，男生有人、女生人，所以抽到的是女生的概率.
【小问2详解】
记从方案一中抽取到女生为事件，从方案二中抽取到女生为事件，
则，，
则的可能取值为、、，
所以，
，
所以的分布列为：
所以.
【小问3详解】
依题意可得，所以，
即.
19.
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由直线的点斜式方程即可得出结果；
（2）求导并对导函数整理变形，再对参数进行分类讨论即可得出函数的单调性；
（3）分别讨论出函数的单调性，并根据零点个数限定出极值的符号，解不等式即可得出a的取值范围．
【小问1详解】
当a＝1时，，得，
，则，
所以切线方程为：，
即；
【小问2详解】
由题，可得，
当时，当时，，此时在上单调递减，
当时，，此时在上单调递增，
当时，的解为，，
①当，即时，恒成立，则在上单调递增；
②当，即时，
在区间，上，满足，在区间上，满足，
此时在，上单调递增；在上单调递减；
③当，即时，
在区间，上，满足，在区间上，满足，
即在，上单调递增；在上单调递减；
综上可知，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，，上单调递增，在上单调递减；
【小问3详解】
①当时，在上单调递减，在上单调递增，
则最多两个零点，不合题意；
②当时，，知在上单调递增，在上单调递减，上单调递增；
可得在处取得极大值，在处取得极小值；
且时，，时，，要使得有三个零点，
则必有，即，此时可得a无解；
③当时，，则在上单调递增；则最多一个零点，不合题意；
④当时，，知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
可得在处取得极小值，在处取得极大值；
且时，，时，，要使得有三个零点，
则必有，即，解得且；
综上得a的取值范围是．
20.
【解析】
【分析】（1）由轴可表示出P点坐标，再由以及离心率可解出的值，得出椭圆标准方程.
（2）设，联立直线方程与椭圆标准方程后可得关于x的一元二次方程，根据A，D坐标可表示出直线AD方程，从而得到直线与y轴交点坐标，最后结合韦达定理可求出当直线AD与y轴交点为定点时t的取值.
【小问1详解】
如图所示，
由题意得，因为轴，所以P点横坐标，
代入椭圆方程可得纵坐标，即P.
又因为,所以，又，
，联立三式可得，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
由题意得，设，联立直线方程与椭圆标准方程：
，
所以，，
又由题意，所以直线AD方程：
,
令，得
.
因为直线AD与y轴的交点为定点E，
即当t为某一取值时，的取值与和无关.
令，
则可得
由于等式的成立与均无关，
故，
即，
于是
，
解得.
21.
【解析】
【分析】（1）根据“好子集”的定义，就的所有非空子集一一判断即得；
（2）将集合中的元素从小到大排列，分析判断得出时，和奇偶性相反，和奇偶性必相同，按定义有，推得结论；
（3）记，证中包含1的好子集个数为，同理中包含1的好子集个数为，推得所求的为的包含1，2024的所有好子集的个数，利用（ 2）的 结论，即可计算出结果.
【小问1详解】
的全部非空子集为，，，，，，，，，，，，，，，
其中好子集有，，，，，，，，，，，共有11个.
所以.
【小问2详解】
将的元素从小到大排列，即，，其中.
首先对任意的，
若和奇偶性相同，则，所以，而，
集合中和中间没有项，故产生矛盾!
即对任意，和奇偶性相反，则对任意的，和奇偶性必相同，
于是由题意，因，则，
而且，所以.
即对任意的，，即.
由的任意性知，是一个等差数列.
【小问3详解】
记.首先证明中包含1的好子集个数为.
的好子集分为两类：包含1的和不包含1的.
因为中不包含1的好子集每个元素均减去1即为的好子集，
的每个好子集每个元素均加上1即为的好子集，所以的不包含1的好子集与的好子集一一对应，
其个数为.故包含1的好子集个数为.
同理可证：中包含1的好子集个数为，这也恰是中包含1但不包含的好子集个数.
于是中包含1且包含的好子集的个数为
故题目所求的为的包含1，2024的所有好子集的个数.
显然，是好子集.
若好子集中除了1，2024外至少还有一个元素，则由（2）可知，中元素从小到大排列可以构成一个等差数列，
设为.设公差为，因为，
而，所以为的小于的正约数，故.
而每一个都唯一对应一个的包含1，2024的好子集，这样的子集有5个.
因此.北京市第二中学2024-2025学年高三上学期期中测试
数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知i是虚数单位，复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2. 命题：“”的否定为（）
A. B.
C. D.
3. 在平面直角坐标系中，角顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则（）
A. B. C. D. 3
4. 已知圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的体积为（）
A. B. C. D.
5. 已知向量，，若与共线，则（）
A. B. C. D.
6. 已知函数则不等式的解集是（）
A. B. C. D.
7. 设为非零向量，，则“夹角为钝角”是“”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知函数的最小正周期为，若将其图象沿x轴向右平移个单位，所得图象关于对称，则实数的最小值为（）
A. B. C. D.
9已知函数，且，则（）
A. B. 0 C. 100 D. 10200
10. 已知数列是各项为正数的等比数列，公比为q，在之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，在之间插入n个数，使这个数成等差数列，公差为，则（）
A. 当时，数列单调递减 B. 当时，数列单调递增
C. 当时，数列单调递减 D. 当时，数列单调递增
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 的二项展开式中的常数项为_________.（结果用数值表示）
12. 已知点在抛物线上，则抛物线的焦点坐标为______；点到抛物线的准线的距离为______.
13. 设为数列的前项和，若，则______.
14. 已知分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线与交于两点（点A在第一象限），延长交于点，若，则双曲线的离心率为_________．
15. 如图，棱长为2正方体中，，分别是线段和上的动点.对于下列四个结论：
①存在无数条直线平面；
②线段长度的取值范围是；
③三棱锥的体积最大值为；
④设，分别为线段和上中点，则线段的垂直平分线与底面的交点构成的集合是圆.
则其中正确的命题有______.
三、解答题：本题共6小题，共85分.
16. 在中，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
17. 如图所示的几何体中，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，为PA的中点，，四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点.
（1）求证：平面DEF；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在线段EF上是否存在一点，使得BQ与平面BCP所成角的大小为？若存在，求出FQ的长；若不存在，请说明理由.
18. 开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程.某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，现随机抽取100个学生进行调查，获得数据如下表：
男 女
支持方案一 24 16
支持方案二 25 35
假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立.
（1）从样本中抽1人，求已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率；
（2）从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设为抽出两人中女生的个数，求的分布列与数学期望；
（3）在（2）中，表示抽出两人中男生的个数，试判断方差与的大小.（直接写结果）
19. 已知函数．
（1）当a＝1时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若有三个零点，求a的取值范围．
20. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为为上一点，为坐标原点，轴，且.
（1）求的标准方程；
（2）若直线与交于A，B两点，过点作直线的垂线，垂足为，当直线AD与轴的交点为定点时，求的值.
21. 若集合的非空子集满足：对任意给定的，若，有，则称子集是的“好子集”.记为的好子集的个数.例如：的7个非空子集中只有不是好子集，即.记表示集合的元素个数.
（1）求的值；
（2）若是的好子集，且.证明：中元素可以排成一个等差数列；
（3）求的值.
