江苏省泰州市靖江市2025届高三上学期11月期中调研测试数学试题（含答案）

江苏省泰州市靖江市2025届高三上学期11月期中调研测试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.设，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
4.函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
5.若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.设数列的前项之积为，满足，则( )
A. B. C. D.
7.某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型，其中为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为 参考数据：，
A. B. C. D.
8.已知某个三角形的三边长为、及，其中若，是函数的两个零点，则的取值
范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 不存在实数，使得
C. 若向量，则或
D. 若向量在向量上的投影向量为，则的夹角为
10.对于函数，给出下列结论，其中正确的有( )
A. 函数的图象关于点对称
B. 函数在区间上的值域为
C. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象
D. 曲线在处的切线的斜率为
11.已知函数，及其导函数，的定义域均为，若的图象关于直线对称，，，且，则( )
A. 为偶函数 B. 的图象关于点对称
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的单调递增区间为 ．
13.已知是数列的前项和，是和的等差中项，则 ．
14.的内角，，的对边分别为，，，已知，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
当时，求
在“充分条件”、“必要条件”这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
是否存在正实数，使得“”是“”的 若存在，求出的取值范围若不存在，请说明理由．
16.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，设向量，，，且对任意，都有．
求的单调递增区间；
若，，求的面积．
17.本小题分
已知函数，，．
求函数的单调区间；
若且恒成立，求的最小值．
18.本小题分
已知数列前项和为，且
求数列的通项公式；
令，求数列的前项和为；
记，是否存在实数，使得对任意的，恒有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．
19.本小题分
悬链线在建筑领域有很多应用．当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之其倒置时也是一种稳定状态．链函数是一种特殊的悬链线函数，正链函数表达式为，相应的反链函数表达式为．
证明：曲线是轴对称图形；
若直线与函数和的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为，证明：；
已知函数，其中若对任意的恒成立，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：
，
当时，
，
故；
选充分条件时，
，
，
则
即，
所以实数的取值范围是，
选必要条件时，
，
，
则即
故，
所以实数不存在；
综上：
选充分条件时，实数的取值范围是，
选必要条件时，实数不存在．
16.解
由题意得
，且，
所以，因为，所以，
所以，即，所以，
令，解得，
所以的单调递增区间为．
在中，由正弦定理，得，
所以，
由余弦定理得，得，
由解得，
所以的面积为．

17.解：根据题意，
，
当时，由于，恒成立，在上递增；
当 ，时，；时， ，
在上递增，在递减，
综上，当 时，的增区间为，无减区间；
当 时，的增区间为，减区间为；
令，
要使 恒成立，
只要使恒成立，也只要使 ，
，
由于 ，，所以 恒成立，
当 时，；当时，；
所以， ，
解得 ，所以的最小值为 ．

18.解：令，，解得，
，
，两式相减得：，
数列是首项为，公比为的等比数列，
．
由得：，
则，
，
由得，
．
，
当为奇数时，，
由，
即 ，
所以
当为偶数时，，
由，
即 ，
所以，
综上所述，当时，对任意恒有．
19.解：，
令，则，
所以为偶函数，
故曲线是轴对称图形，且对称轴为．
令，得，
当，，单调递增；当，，单调递减，
所以在处取得极小值，
当，；当，．
恒成立，所以在上单调递增，
当，；当，．
所以的大致图象如图所示，
不妨设，由为偶函数可得，
直线与图象有三个交点，显然，
令，整理得，
解得或舍去，
所以，即，
又因为，所以．
设，两边平方得：，
则，所以，
因为单调递增，
所以当，，即，
由，得，即
该不等式组在和时同时满足，即
上述不等式组两边同乘得
当，，；当，，；
当，，；当，，；
经验证，，时满足题意．
综上所述：最大值为．

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