陕西省2025届高三高考适应性检测（一）数学试题（含答案）

陕西省2025届高三高考适应性检测（一）数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则 ．
A. B. C. D.
2.已知其中为虚数单位，则复数( )
A. B. C. D.
3.已知平面向量满足，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.已知等腰直角三角形的斜边长为，将该三角形绕所在直线旋转一周形成一个几何体，则这个几何体的体积为( )
A. B. C. D.
6.某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分分数为整数，满分分，从中随机抽取一个容量为的样本，发现数据均在内现将这些分数分成组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示观察图形，则下列说法错误的是( )
A. 频率分布直方图中第三组的频数为人
B. 根据频率分布直方图估计样本的众数为分
C. 根据频率分布直方图估计样本的中位数为分
D. 根据频率分布直方图估计样本的平均数为分
7.已知函数，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的奇函数满足，当时，，则在区间内的所有零点之和为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的有( )
A. 若随机变量，，则
B. 若，则
C. 已知回归直线方程为，且，，则
D. 已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是，，，，，，若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为
10.已知函数在处取得极大值，则下列结论正确的是 参考数据：
A.
B.
C. 在处取得极小值
D. 在区间的最小值为
11.年卡塔尔世界杯会徽如图的正视图近似伯努利双纽线定义在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹成为双纽线，已知点是双纽线上一点，下列说法正确的有 ．
A. 双纽线关于原点中心对称；
B. ；
C. 双纽线上满足的点有两个；
D. 的最大值为．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设为双曲线上一点，两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一四象限若，则的面积为 ．
13.若直线与曲线相切，则 ．
14.安排甲、乙、丙、丁、戊名大学生去杭州、宁波、金华三个城市进行暑期社会实践，每个城市至少安排一人，则不同的安排方式共有 种；其中学生甲被单独安排去金华的概率是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角的对边分别为、、，若，且．
求证：成等比数列；
若的面积是，求边的长．
16.本小题分
已知椭圆的离心率为，且过点
求椭圆的标准方程
已知直线满足且与椭圆相交于不同的两点，，若以线段为直径的圆始终过点，试判断直线是否过定点若是，求出该定点的坐标若不是，请说明理由．
17.本小题分
如图，在直角梯形中，，，，点是边的中点，将沿折起，使平面平面，连接，，得到如图所示的几何体．
求证：平面；
若，二面角的平面角的正切值为，求二面角的余弦值．
18.本小题分
已知函数．
当时，求的单调区间；
当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；
若，证明：．
19.本小题分
若数列的相邻两项或几项之间的关系由函数确定，则称为的递归函数设的递归函数为．
若，，证明：为递减数列
若，且，的前项和记为．
求
我们称为取整函数，亦称高斯函数，它表示不超过的最大整数，例如，若，求
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：证明：，
在中，由正弦定理得，，
，，则，
成等比数列；
，则 ，
由知，，联立两式解得，
由余弦定理得，，
．

16.解：由题意得，，又，解得，，，
所以椭圆的标准方程为．
设，，
联立得，，
则，，，
因为以线段为直径的圆经过点，所以，
，，
，即，解得或，
满足，因为，所以，直线方程为，恒过点，
所以直线过定点，定点为．
17.解：因为平面平面，平面平面，
又，所以平面，
因为平面，所以，
又因为折叠前后均有，，
所以平面；
由可知平面，所以二面角的平面角为，
又平面，平面，所以，
依题意，
因为，所以，设，则，
由题意知，所以，即，
解得，故，，
，
如图所示，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，由知平面的法向量，
设平面的法向量，
由得，令，得，，
所以，
所以，
由图知二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．

18.解：由题意可知，当时，，，
则，令，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
由条件得，
令，则，
当，即时，在上，，即单调递增，
所以，即，
在上为增函数，，
时满足条件．
当时，令，
解得，在上，，单调递减，
当时，有，即，
则在上为减函数，，不合题意．
综上，实数的取值范围为．
由得，当且时，，即，
要证不等式，只需证明，
只需证明，只需证，
设，则，
所以当时，恒成立，故在上单调递增，
又．恒成立，原不等式成立．
19.证明：若，显然．
又，，
所以，则，
同理，，，
所以，．
因为，，
所以，，
所以，所以是递减数列
解：由题意得，
又，所以，所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
则．
由得，
所以，
当时，，所以
当时，．
所以当时，，
所以当时，，
又，所以，
所以，，所以，
所以．
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