2023-2024学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年山东省泰安市高三（上）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，若，则实数( )
A. B. C. D.
2.设复数，在复平面内对应的点关于实轴对称，且，则( )
A. B. C. D.
3.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知向量，若，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.已知在处的极大值为，则( )
A. B. C. 或 D. 或
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.已知，则下列不等关系正确的是( )
A. B.
C. D.
8.设椭圆：的左，右焦点分别为，，直线过点，若点关于的对称点恰好在椭圆上，且，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：与圆：，则下列结论正确的是( )
A. 直线恒过定点
B. 直线与圆相交
C. 若，直线被圆截得的弦长为
D. 若直线与直线垂直，则
10.已知函数的图象的一个对称中心为，则下列结论正确的是( )
A. 的最小正周期为
B.
C. 在上单调递增
D. 图象向右平移个单位长度后关于轴对称
11.如图，在矩形中，，，点是的中点，将沿翻折到位置，连接，，且为中点，，在翻折到的过程中，下列说法正确的是( )
A. 平面
B. 存在某个位置，使得
C. 当翻折到二面角为直二面角时，到的距离为
D. 当翻折到二面角为直二面角时，与平面所成角的正弦值为
12.已知曲线：在点处的切线与曲线：相切于点，则下列结论正确的是( )
A. 函数有个零点
B. 函数在上单调递增
C.
D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知正数，满足，则 ______．
14.已知正项数列的前项积为，且满足，则 ______．
15.已知球的体积为，其内接圆锥与球面交线长为，则该圆锥的侧面积为______．
16.已知椭圆：的左，右焦点分别为，，点在内，点在上，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，为所在平面内一点，且，，为锐角．
若，求；
若，求．
18.本小题分
如图所示，在直三棱柱中，，，为中点，且，．
求证：；
求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
已知数列满足，正项数列满足当时，记，，，，，．
证明：，，，是等比数列；
求．
20.本小题分
某果农种植了亩桃，有多个品种，各品种的成熟期不同，从五月初一直持续到十月底根据以往的经验可知，上市初期和后期会因供不应求使价格连续上涨，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数：；；表示时间，以上三式中，均为常数，且．
为准确研究其价格走势，应选择哪个价格模拟函数，并说明理由；
若，，
求出所选函数的解析式注：且，其中表示月份下半月，表示月份上半月，，表示月份下半月；
若上市初期月份上半月以元销售，为保证果农的收益，计划价格在元以下期间进行促销活动，请你预测该果农应在哪个时间段进行促销活动，并说明理由
21.本小题分
已知函数．
若恒成立，求的范围；
讨论的零点个数．
22.本小题分
已知双曲线：的一条渐近线的倾斜角为，右焦点到渐近线的距离为．
求双曲线的方程；
设动直线：与相切于点，且与直线相交于点，点为平面内一点，直线，的倾斜角分别为，证明：存在定点，使得．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.或
16.
17.解：因为，
所以，
因为，所以，
又，，所以，即，
由上可知，，
因为，，所以，
因为，所以，
又，所以，
在中，由余弦定理知，，
所以．
设，则，，
在中，，
在中，由正弦定理知，，
所以，
所以，
所以，
所以．
18.解：证明：因为，为中点，所以，
又，所以由余弦定理得，，所以，
所以，
由直棱柱性质有，平面，平面，
所以，又，
所以平面，又在上，所以平面，
所以F.
过作侧棱的平行线，交于点，则平面，
则在处有、、两两互相垂直，以为原点，
、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则依题意有，，，，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
所以，
设平面与平面的夹角为，
则．
平面与平面夹角的余弦值为．
19.证明：为递减数列，
，
，
，又，
，，，是以为首项，为公比的等比数列；
解：，
，
，，
设
，
则，
得：
，
，
．
20.解：对于函数，，
在上恒成立，
在上单调递增，不具有先升后降再升的特点，
对于函数，，其不具有先升后降再升的特点，
对于函数，，
，
设方程两根为，，不妨设，
，，，，，
在和上，单调递增，在上，单调递减，
函数符合先升后降再升的特点，故选；
由及，
得，解得，
且，
设，
则，
在，上单调递增，在上单调递减，
又，
，
，
，
，
当时，，
该果农应在月初到月底进行促销活动．
21.解：因为恒成立，所以恒成立，
令，则，
因为，，所以，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，即，
所以，的取值范围为．
令，得，
所以，解得或，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又当时，且，当时，，
如图，作出函数的图象如下．
当时，函数，的图象有个交点，且；
当时，函数，的图象有个交点；
当时，函数，的图象有个交点．
综上，当或时，函数的零点个数为；
当或时，函数的零点个数为；
当时，函数的零点个数为．
22.解：因为椭圆的渐近线方程为，
右焦点到渐近线的距离为，所以，
所以双曲线的方程是．
证明：由，得．
因为动直线与双曲线有且只有一个公共点，
所以，所以．
此时，所以，
由，得．
假设平面内存在定点满足条件，由图形对称性知，点必在轴上．
设，要使，则，则对满足式的，恒成立．
因为，
由，得，
所以
因为式对满足式的，恒成立，
所以，解得．
故存在定点，使得．
第1页，共1页