2024-2025学年四川省遂宁中学介福校区高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年四川省遂宁中学介福校区高三（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.以角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角终边过点，则( )
A. B. C. D.
3.已知数列满足，则( )
A. B. C. D.
4.下列说法错误的是( )
A. 某校高一年级共有男女学生人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为人的样本，若样本中男生有人，则该校高一年级女生人数是
B. 数据，，，，，，，的第百分位数为
C. 在一元线性回归方程中，若线性相关系数越大，则两个变量的线性相关程度越强
D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于
5.已知角满足，则( )
A. B. C. D.
6.若函数在区间其中上存在零点，则常数的取值范围( )
A. B. C. D.
7.已知函数在区间内恰有条对称轴，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知关于的方程在区间上有解，则实数的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，则 D. 函数的最小值为
10.已知的部分图像如图所示，则( )
A.
B. 的最小正周期为
C. 在内有个极值点
D. 在区间上的最大值为
11.如果项数有限的数列满足，则称其为“对称数列”，设是项数为的“对称数列”，其中，，，是首项为，公差为的等差数列，则( )
A. 若，则 B. 若，则所有项的和为
C. 当时，所有项的和最大 D. 所有项的和不可能为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数则 ______．
13.已知，设函数，则 ______．
14.如图，正方形的边长为，，，，依次将，，，分为：的两部分，得到正方形，依照相同的规律，得到正方形、、、一只蚂蚁从出发，沿着路径爬行，设其爬行的长度为，为正整数，且与恒满足不等式，则的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，函数．
Ⅰ求的最小正周期
Ⅱ若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围．
16.本小题分
为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机对名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在名男性驾驶员中，平均车速超过的有人，不超过的有人在名女性驾驶员中，平均车速超过的有人，不超过的有人．
完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为平均车速超过的人与性别有关；
平均车速超过人数 平均车速不超过人数 合计
男性驾驶员人数
女性驾驶员人数
合计
以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取辆，记这辆车中驾驶员为女性且车速不超过的车辆数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的数学期望．
参考公式：，其中．
参考数据：
17.本小题分
已知数列的首项为，且满足，数列满足，且．
求，的通项公式；
设数列的前项和为，求．
18.本小题分
已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；如图，四边形中，，，为的内角，，的对边，且满足．
Ⅰ证明：；
Ⅱ若，设，，，求四边形面积的最大值．
19.本小题分
设函数，．
已知对任意恒成立，求实数的取值范围；
已知直线与曲线，分别切于点，，其中．
求证：；
已知对任意恒成立，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：Ⅰ，
的最小正周期．
Ⅱ由题知在区间上恰有两个不同的实数根，
即函数在区间上的图象与直线恰有两个交点，
令，，，
作出的图象与直线，如图．
由图知，当时，的图象与直线有两个交点，
实数的取值范围为．
16.解：根据题意，填写列联表如下；
平均车数超过
人数 平均车速不超过
人数 合计
男性驾驶员人数
女性驾驶员人数
合计
计算，
所以有的把握认为平均车速超过与性别有关；
根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取辆，
驾驶员为女性且车速不超过的车辆的概率为，
所以的可能取值为，，，，且，
．
17.解：证明：，
，，
，
当时，上式成立，
，
又，，
，
数列是以为首项，公差为的等差数列，
，
；
由得，
，
，
得，，
．
18.解：Ⅰ由题意知：，解得
，
，
，
，
Ⅱ因为，，所以，所以为等边三角形，
，
，，
当且仅当，即时取最大值，的最大值为
19.解：由已知可得 ，其中 ，
设 ，其中 ，则 ，
当 时， ，即 在 上单调递增，
当 时， ，即 在 上单调递减，
所以， ；
令 ，其中 ，则 ，
当 时， ，即函数 在 上单调递减，
当 时， ，即函数 在 上单调递增，
所以， ，
综上所述，实数 的取值范围是 ．
证明：因为 ， ，则 ， ，
所以，直线 可表示为 ，即 ，
直线 的方程也可表示为 ，即 ，
故有 ，所以， ，
所以， ，即 ，
设 ，其中 ，则 ，
令 ，其中 ，
则 对任意的 恒成立，
所以，函数 在 上单调递增，
又因为 ， ，
所以，存在 ，使得 ，
当 时， ，即函数 在 上单调递减，
当 时， ，即函数 在 上单调递增，
因为 ，则 ， ，所以，函数 在 上无零点，
因为 ，
所以，存在 ，使得 ，
所以 ，则 ；
由可知， ，当 时， ，
由 可得 ，
设 ，其中 ，
则 对任意的 恒成立，
所以，函数 在 上单调递增，
所以， ，
所以， ，解得 ，
故实数 的最大值为 ．

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