2024-2025学年黑龙江省哈尔滨九中高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨九中高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则的实部与虚部之和为( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列的前项和为，且，则( )
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系中，若的终边经过点，则的值为( )
A. B. C. D.
5.如图，四边形表示水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，，，，，则( )
A. B. C. D.
6.若曲线的一条切线方程是，则( )
A. B. C. D.
7.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为，面积为的扇形，则该圆锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.在学习完“错位相减法”后，善于观察的同学发现对于“等差等比数列”此类数列求和，也可以使用“裂项相消法”求解例如，故数列的前项和记数列的前项和为，利用上述方法求( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量，的夹角为，且，若，，则下列结论正确的是( )
A. B. 与可以作为平面内向量的一组基底
C. D. 在上的投影向量为
10.在中，内角所对的边分别为，已知，为线段上一点，则下列判断正确的是( )
A. 为钝角三角形
B. 的最大内角是最小内角的倍
C. 若为中点，则
D. 若，则
11.设数列的前项和为，若，则称数列是数列的“均值数列”已知数列是数列的“均值数列”，且，则下列结论正确的是( )
A.
B. 设数列的前项积为，则有最大值，无最小值
C. 数列中没有最大项
D. 若对任意，成立，则或
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，且的终边在第二象限，则 ．
13.已知函数在处取得极大值，则 ______．
14.已知数列满足，，则 ______；设数列的前项和为，则 ______第二个空结果用指数幂表示
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求的最小正周期；
将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求不等式的解集．
16.本小题分
数列满足，．
求数列通项公式．
设，求数列的前项和．
17.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
求角；
若点在边上，且，求面积的最大值．
18.本小题分
南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”在他的专著详解九章算法商功中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式如图，“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球第层球数是第层球数与的和，设各层球数构成一个数列
求数列的通项公式；
证明：当时，；
若数列满足，对于，证明：．
19.本小题分
定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数已知函数
当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由
是否存在使的极值差比系数为若存在，求出的值若不存在，请说明理由
若，求的极值差比系数的取值范围．
参考答案
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15.解：
，故 ；
因为 ，向左平移 个单位长度，得到函数的图象，
所以 ，
故要使 ，
需满足 ，
解得 ，
故 的解集为

16.解：由，，可得，
则数列是首项和公差为的等差数列，
可得，即为；
，
当为偶数时，数列的前项和；
当为奇数时，；
所以．
17.解：在中，，
，整理得，
，，，
；
，
，
，
．
在中，，
由余弦定理得：，即，当且仅当时等号成立，
．
18.解：根据题意，，，，，，
则有，，，，
当时，
，
又也满足，所以．
证明：设，，
则，
所以在上单调递增，则，
即，即当时，．
证明：由可知当时，，
令，则，
所以，
所以，
令，
则，
所以
，
所以，
所以．
19.解：当时，，
所以，
当时，，当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，极小值为，
所以，
因此是极值可差比函数．
的定义域为，，即，
假设存在，使得的极值差比系数为，
则，是方程的两个不等正实根，
解得，
不妨设，则，
由于
，
所以，从而，
得，，
令，，
所以在上单调递增，有，
因此式无解，即不存在使的极值差比系数为．
由知极值差比系数为，即，
不妨设，令，，极值差比系数可化为，
，
又，解得，
令，，
设，，
所以在上单调递减，
当时，，
从而，所以在上单调递增，
所以，即
故的极值差比系数的取值范围为．
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