延庆区2024-2025学年第一学期期中试卷
高一数学
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】D
2.
【答案】D
3.
【答案】B
4.
【答案】D
5.
【答案】C
6.
【答案】D
7.
【答案】A
8.
【答案】A
9.
【答案】C
10.
【答案】B
第II卷（非选择题）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11.
【答案】
12.
【答案】大于
13.
【答案】
14.
【答案】 ①. ②.
15.
【答案】①④
三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.
【解析】
【分析】（1）解一元二次方程即可得解集.
（2）对分类讨论即可得方程的解集.
（3）利用换元法令，把原方程化为一元二次方程，结合的取值范围即可得到原方程的解集.
（4）利用代入消元法即可得到方程组的解集.
【小问1详解】
由得，，
解得，故方程的解集为.
【小问2详解】
当时，方程无解，解集为，
当时，解方程得，方程解集为.
【小问3详解】
令，则方程可化为，
解方程得，（舍），
，故方程解集为.
【小问4详解】
由得，，解得,
方程组的解为，，
故方程组解集为.
17.
【解析】
【分析】（1）根据条件，因式分解得到，再利用一元二次不等式的解法，即可求解；
（2）根据条件，变形得到，再因式分解得，即可求解；
（3）先变形成，再等价于且，即可求解；
（4）先利用绝对值不等式的解法，求的解，再求的解，再求交集，即可求解.
【小问1详解】
由，得到，所以或，
故不等式的解集为或.
【小问2详解】
由，即，得到，所以，
故不等式的解集为.
【小问3详解】
由，得到，等价于且，所以或，
故不等式的解集为或.
【小问4详解】
由，得到，即，
对，因为，所以的解集为，
故不等式组的解集为.
18.
【解析】
【分析】（1）把代入，利用韦达定理列式，再逐一变形计算各个式子的值.
（2）利用判别式及韦达定理列出不等式组求解.
【小问1详解】
当时，方程，，则，
①；
②；
③.
【小问2详解】
由方程的两根同号，得，解得，
所以实数的取值范围是.
19.
【解析】
【分析】（1）根据条件可得，即可得，由解析式可直接求出定义域，即可求解；
（2）利用奇偶函数的判断方法，即可求解；
（3）利用，即可得，再任取一点，通过证明其关于对称的点也在的图象上，即可求解.
【小问1详解】
因为函数过点，则，得到，
所以，定义域为.
【小问2详解】
函数为偶函数，证明如下，
因为的定义域为，关于原点对称，
又，所以为偶函数.
【小问3详解】
因为，
设是图象上任意一点，关于的对称点为，
因为，所以，
即点也在图象上，所以的图像关于对称.
20.
【解析】
【分析】（1）利用二次函数的对称轴可求函数的单调性，求出最大值和最小值即可得到函数的值域.
（2）讨论函数的单调性，利用定义域和对称轴的关系可求得参数的取值范围.
（3）计算的取值范围，利用二次函数的单调性和对称轴可比较大小.
【小问1详解】
当时，，对称轴为直线，
在上为减函数，在上为增函数，
，
故函数的值域为.
【小问2详解】
函数，对称轴为直线，
当函数在上是单调增函数时，，，
当函数在上是单调减函数时，，，
综上得，实数的取值范围为.
【小问3详解】
当时，，对称轴为直线，
在上为减函数，在上为增函数，且，
∵，
∴，故.
21.
【解析】
【分析】（1）根据完美子集定义去计算验证是否当且仅当时，即可得解；
（2）先计算，接着由得方程，解该方程得或，再结合元素互异性分类讨论和这两种情况即可得解.
【小问1详解】
是A的完美子集，不是A的完美子集，理由如下：
对于，因为，
所以，
所以当且仅当时，，
所以是A的完美子集；
对于，因为，
所以
，
令，
所以存在无数组解使得，
如当时，，
所以不是A的完美子集.
【小问2详解】
因为，
所以，
所以
，
因为不是A的完美子集，所以存在，使得，
即存在使得，
解方程组得，
由集合互异性可得且，故且，
所以解得或，且由得，
若，则有，
所以存在无数组解使得，
如当时，，
所以不是A的完美子集，符合题意；
当且时，则由得，
所以由得，又得，故，不符合题意；
综上的值为.延庆区2024-2025学年第一学期期中试卷
高一数学
本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟
第I卷（选择题）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1已知集合，，则（）
A. B. C. D.
2. 若集合，，则（）
A. B. C. D.
3. 已知全集且，则集合中的元素有（）
A. 2个 B. 4个 C. 5个 D. 7个
4. 已知集合满足 ，则有（）
A2个 B. 4个 C. 5个 D. 7个
5. 若和，则和的大小关系为（）
A. B. C. D.
6. 设，且，，则（）
A. B. C. D.
7. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）
A. B.
C. ， D.
8. 已知函数的定义域为，则“为奇函数”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 已知函数有两个零点，在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
10. ，设取，，三个函数值中的最小值，则的最大值为（）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第II卷（非选择题）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 函数的定义域是______.
12. 已知奇函数满足，则______.
13. 已知，，且是的必要不充分条件，则的取值范围是______
14. 已知，则的最大值是______，当且仅当______时，等号成立.
15已知函数，给出下列四个结论：
①函数是偶函数；
②函数的增区间为；
③不等式的解集是；
④当时，令，则的最小值为.
其中所有正确结论的序号是______.
三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 求下列方程（组）的解集：
（1）
（2）
（3）
（4）
17. 求下列不等式（组）的解集：
（1）
（2）
（3）
（4）
18. 已知关于的方程，.
（1）当时，若方程的两根为与，求下列各式的值：
①;②;③;
（2）若该方程的两根同号，求实数的取值范围.
19. 已知函数过点.
（1）求函数解析式及定义域；
（2）判断函数的奇偶性并证明；
（3）令，求的解析式，并证明的图像关于对称.
20. 已知函数.
（1）当，时，求函数值域；
（2）若函数在上是单调函数，求实数的取值范围；
（3）当时，比较与的次小.
21. 设集合，对于集合A中的任意元素和及实数，定义：当且仅当时；.若A的子集满足：当且仅当时，，则称为A的完美子集.
（1）集合，，分别判断这两个集合是否为A的完美子集，并说明理由；
（2）集合，若不是A的完美子集，求的值.
