2024-2025学年云南省昆明市云南大学附中高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年云南大学附中高三（上）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为虚数单位，复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知：，：，则是的条件．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知向量，满足，，且，则( )
A. B. C. D.
4.在一次射击比赛中，甲、乙两名选手的射击环数如下表，则下列说法正确的是( )
甲 乙
A. 甲选手射击环数的极差小于乙选手射击环数的极差
B. 甲选手射击环数的平均数等于乙选手射击环数的平均数
C. 甲选手射击环数的方差小于乙选手射击环数的方差
D. 甲选手射击环数的第百分位数大于乙选手射击环数的第百分位数
5.已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为( )
A. B. C. D.
6.、、是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是( )
A. B.
C. D.
7.在椭圆上任取一点，过点作轴的垂线段，垂足为，点满足，当点在上运动时，则点的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
8.已知，是函数的两个零点，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则下列说法正确的有( )
A. 函数为偶函数 B. 函数的最小值为
C. 函数的最大值为 D. 函数在上有两个极值点
10.已知为抛物线：的焦点，的准线为，直线与交于，两点在第一象限内，与交于点，则( )
A.
B.
C. 以为直径的圆与轴相切
D. 上存在点，使得为等边三角形
11.已知函数，其中实数，，且，则( )
A. 当时，没有极值点
B. 当有且仅有个零点时，
C. 当时，为奇函数
D. 当时，过点作曲线的切线有且只有条
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列的前项和为，，，则 ______．
13.在中，角，，所对的边分别为，，，其中，为锐角，的外接圆半径为，且满足，则角等于______．
14.哈三中年度上学期高二年级十月月考中有这样一道题目：已知，是两个随机事件，且，，给出个命题如下：
若，则事件，对立；
若事件与独立，则成立；
若，则事件，相互独立，且；
由于印刷原因，其中命题漏印了．
若老师说某考生在个命题中任选两个命题，其中真命题的个数的方差为，则中真命题的个数为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，为侧棱上靠近的三等分点，底面，且．
在侧棱上是否存在点，使得点，，，四点共面？若存在，指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由；
求二面角的余弦值．
16.本小题分
已知函数，，．
设曲线在处的切线为，若与曲线相切，求；
设函数，讨论的单调性．
17.本小题分
为了调研某地区学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地区随机选取了所学校进行研究，得到如下数据：
Ⅰ从这所学校中随机选取所，已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过人，求该校参与“单板滑雪”超过人的概率；
Ⅱ已知参与“自由式滑雪”人数超过人的学校评定为“基地学校”现在从这所学校中随机选取所，设“基地学校”的个数为，求的分布列和数学期望；
Ⅲ现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这个动作技巧进行集训并专门对这个动作进行了多轮测试规定：在一轮测试中，这个动作中至少有个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”在此集训测试中，李华同学个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响，每轮测试也互不影响如果李华同学在集训测试中想获得“优秀”的次数的均值达到次，那么至少要进行多少轮测试？结论不要求证明
18.本小题分
通过两角和的正、余弦公式和二倍角公式，可以推导出三倍角公式例如：．
根据上述过程，推导出关于的表达式；
求的值；
求的值．
19.本小题分
已知双曲线：的左、右焦点分别为，，且，过作其中一条渐近线的垂线，垂足为，延长交另一条渐近线于点，且，
求的方程；
如图，过作直线不与轴重合与曲线的两支交于，两点，直线，与的另一个交点分别为，，求证：直线经过定点．
参考答案
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13.
14.或
15.解：取上靠近的三等分点，连接，，
因为为侧棱上靠近的三等分点，
所以，所以，
又底面为正方形，所以，
所以，所以，，，四点共面；
因为底面为正方形，所以，
因为底面，底面，
所以，，
所以、、两两垂直，
故以为原点，以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
，
则，，，，
，，
设平面的法向量为，
则，即
取，则，，则，
易得平面的法向量为，
因为二面角是锐角，所以二面角的余弦值为．
16.解：，，且，
所以曲线在处的切线为，
则，得，
因为与相切，
所以，得舍或；
的定义域为，
则，
因为，
令，得或，
时，，当和时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，
所以当和时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
当时，，当时取等号，函数在上单调递增，
综上所述，时，的单调增区间为，，单调减区间为；
时，的单调增区间为，没有减区间；
时，的单调增区间为，，单调减区间为．
17.解：Ⅰ设参与“自由式滑雪”人数超过人的学校为事件，参与“单板滑雪”超过人的学校为事件，则，，，
所以；
Ⅱ由题知，“基地学校”有个，则的可能取值为，，，
所以，
，，
所以的分布列为


所以；
Ⅲ因为李华同学一次测试达到优秀的概率，
则设李华同学测试获得优秀的次数为，则，
因为，解得，
因为，所以至少要进行轮测试．
18.解：
．
因为，所以，
即，可得，
因为，所以，可得，
整理得，
因为，所以．
由得，
所以
．
19.解：易知双曲线的渐近线，渐近线，
不妨设在上，在上，是线段的中垂线，
易知，
所以，
由双曲线对称性可得，
所以，
此时，，
在中，，
解得，
所以，
则的方程为；
证明：不妨设，，，，直线的方程为，
则直线，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
又，
所以，
此时，
所以，
同理得，
则
，
此时直线，
令，
解得，
故直线过定点．
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