2024-2025学年浙江省名校联盟高三（上）月考数学试卷（三）（含答案）

2024-2025学年浙江省名校联盟高三（上）月考数学试卷（三）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则的元素个数为( )
A. B. C. D. 无数
2.已知为复数，则是的条件．
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分又不必要
3.函数的最小正周期为( )
A. B. C. D.
4.若，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知向量，满足，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
6.数列满足，则下列，的值能使数列为周期数列的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
7.将名学生随机分为个小组，每组名学生，则学生甲乙在同一组的概率为( )
A. B. C. D.
8.设，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于函数，下列说法正确的有( )
A. 函数可能没有零点 B. 函数可能有一个零点
C. 函数一定是中心对称图形 D. 函数可能是轴对称图形
10.已知点是抛物线：与圆：的交点，点为抛物线的焦点，则下列结论正确的有( )
A. 的最小值为
B. 圆与抛物线至少有两条公切线
C. 若圆与抛物线的准线相切，则轴
D. 若圆与抛物线的准线交于，两点，且，则
11.设点为正方体的上底面上一点，下列说法正确的有( )
A. 存在点，使得与平面所成角为
B. 存在点，使得点，分别到平面的距离之和等于
C. 存在点，使得点，分别到平面的距离之和等于
D. 存在点，使得与平面所成角为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数在处取得最大值，则 ______．
13.已知：当无穷大时，的值为，记为运用上述结论，可得 ______．
14.表示不超过的最大整数，设，，则 ______； ______用，表示．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在一次联考中，经统计发现，甲乙两个学校的考生人数都为人，数学均分都为，标准差都为，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数学分数不服从正态分布．
甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从分及以下的学生中抽取人进行访问，学生小考分为分，求他被抽到的概率大约为多少；
根据统计发现学校乙得分不低于分的学生有人，得分不高于分的有人，试说明乙学校教学的特点；
参考数据：若，则，，，．
16.本小题分
设，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线于，两点，且．
求的长用，表示；
若双曲线的离心率，求证：．
17.本小题分
设函数．
求函数在处的切线方程；
若恒成立，求证：的最大值与最小值之差大于．
18.本小题分
在四棱锥中，，，底面，点在上，且．
求证：；
若，，点在上，平面，求的值；
若，二面角的正切值为，求二面角的余弦值．
19.本小题分
在数列中，，，对满足的任意正整数，，，，都有成立．
若数列是等比数列，求，满足的条件；
若，，设．
求数列的通项公式；
求证：．
参考答案
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14.
15.解：根据题意可得校学生数学得分，
又，，
可得，则，
所以分数在分及以下的学生有人，
所以所求概率为；
根据题干所给的参考数据可得，
又，
所以，
所以甲校不低于分的概率为，
得分不高于分的概率为，
所以甲校分不低于分与不高于分都有人
故乙校教学高分人数更多，分以上学生更多，低分人数更少．
16.解：因为，
所以，两点均在双曲线右支上，
设，
此时，
易知，，
因为，
所以，
由余弦定理得，
解得，
所以；
证明：在中，由正弦定理得，
所以，
由知，
所以，
因为，
所以，
因为，
又，
所以，
所以，
则为锐角．
故．
17.解：函数，
，
切线斜率，
又，
函数在处的切线方程为，
；
证明：令，则，
恒成立等价于恒成立，
，
当，则，在上单调递增，而，不符合题意．
当，由得，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
，
令，则，
又，
即，
即，，
解得，
若，则，在上单调递减，
若，则，在上单调递增，
而，，，
的最大值与最小值之差大于．
18.解：证明：连接，
因为底面，，平面，
所以，，即，
又，，所以，
所以，故，
又，
所以，，
又，所以，
因为底面，，平面，
所以，，
又，
所以；
连接交于点，连，
因平面，平面平面，平面，
所以，故，
因为，，
所以，故四边形是圆内接四边形，
又，所以，
因，，点为的中点，
所以，，
故，设，
则，，
在中，，
由余弦定理可得，
所以，于是；
以点为原点，，，为，，轴正方向建立如图所示的坐标系，
则，
所以，
设为平面的法向量，
则，所以，
故，令，则，
所以为平面的一个法向量，
过点作于，
因为底面，平面，
所以，，，平面，
所以平面，平面，
所以，
故二面角的平面角为，
由已知，
所以，于是 ，，
又，所以，又，
所以，故，
所以点的横坐标为，纵坐标为，
所以点的坐标为，
所以，，
设平面的法向量，
则，所以，
两式相减得，
令，则，
所以为平面的一个法向量，
所以，
观察可得二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为 ．
19.解：在数列中，，，对满足的任意正整数，，，，
都有成立，又数列是等比数列，
设其公比为，由等比数列的性质可得，即有，
可令，，，则，
故，，即，满足的条件为；
由，可令，，，
得，
结合，，故，可得，
两边同时加上，可得，
故是以为首项，公比为的等比数列，
由等比数列的通项公式，可得，即；
证明：由知，故；
先证，即证，
即证，即证，
而恒成立，
故总成立，
当为奇数时，，
即；
当为偶数时，，
而 ，
即；
综合上述，可知．
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