2024-2025学年江苏省镇江市扬中第二高级中学高三（上）期中数学模拟试卷（1）（含答案）

2024-2025学年江苏省镇江市扬中第二高级中学高三（上）期中
数学模拟试卷（1）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则的元素个数为( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.若等比数列的前项和为，且，，则( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知函数的一条对称轴为，且在上单调，则的最大值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数为奇函数，为偶函数，且当时，，则( )
A. B. C. D.
7.如图，在四边形中，的面积为，则长为( )
A. B.
C. D.
8.已知函数，，若方程有且仅有个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，，则( )
A. B. C. D.
10.已知函数，则以下说法正确的是( )
A. ，使得为偶函数
B. 若的定义域为，则
C. 若在区间上单调递增，则的取值取值范围是
D. 若的值域是，则
11.定义：两个向量的叉乘的模，则下列命题正确的是( )
A. 若平行四边形的面积为，则
B. 在正中，若，则
C. 若，，则的最小值为
D. 若，，且为单位向量，则的值可能为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，圆与轴的正半轴的交点为，点、在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，，若，则的值为______．
13.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作孙子算经卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：被除余且被除余的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为______．
14.与曲线和曲线均相切的直线的方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，且．
求的值；
求的值．
16.本小题分
设为数列的前项和，已知，．
求的通项公式；
求数列的前项和．
17.本小题分
锐角三角形中，，，分别是角，，的对边，已知，，点是的中点，点在线段上，且，线段与线段交于点．
求角的大小；
若，求的值；
若点是三角形的重心，求的最小值．
18.本小题分
已知三棱柱，，，，，为线段，上的点，且满足．
求证：平面；
求证：；
设平面平面，已知二面角的正弦值为，求的值．
19.本小题分
已知函数，．
讨论的单调性；
若对任意的，都有成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，
所以．
因为，
所以，
又因为，
所以，，
所以，
又，
所以由，
解得，
所以，
又，，
故，
所以．
16.解：，，可得时，，即，
当时，由，可得，两式相减可得，
当时，上式显然成立，
当时，，
则，
上式对，都成立，
所以，；
，
，
，
上面两式相减可得
，
化为．
17.解：由，可得，
整理得，由余弦定理得，结合，可得；
根据，可得，
由为中点，得，
结合与共线，可得，整理得，
由得，由，可得，
结合与共线，可得，整理得．
组成方程组，解得，，所以；
由得，可得，
因为为的重心，为边上的中线，所以，
所以．
根据，可得，所以．
因为
，当且仅当时，等号成立．
因此，当、时，有最小值，此时取得最小值．
18.证明：过，分别作交于点，交于点，
因为，所以，所以且，
因为，所以，所以，所以四边形为平行四边形，
所以，因为平面，平面，所以平面；
证明：因为，，，
所以，
所以，所以，所以；
解：取中点，连接，，
因为为等边三角形且，则，
所以，在中，，由≌，所以，
在中，为中点，所以，所以，
所以，所以，
如图，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，
即，
因为，设，则，
即，故，
又因为，同理可得，
所以，，
设平面的法向量为，所以，
令，得，
因为平面的一个法向量为，
设二面角的的平面角为，则，
则
，
化简得，
解得或．
19.解：，
当，即时，的符号草图为：
在，单调递增，在单调递减；
当，即时，的符号草图为：
在上单调递增；
，即时，的符号草图为：
在，单调递增，在单调递减，
综合可得：当时，在，单调递增，在单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，单调递增，在单调递减．
对任意的，都有成立，
对任意的，都有成立，
对任意的，都有成立，
设，
则对任意的，都有成立，
在单调递增，
在上恒成立且不恒等于，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
或，
或，
解得，
实数的取值范围为．
第1页，共1页