2024-2025学年上海市黄浦区卢湾高级中学高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市黄浦区卢湾高级中学高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，，，，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
2.已知函数在区间内的图象为连续不断的一条曲线，则“”是“函数在区间内有零点”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知三棱锥的顶点都在半径为的球面上，，，，则三棱锥体积的最大值为( )
A. B. C. D.
4.已知是定义在上的偶函数，若、且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知集合，，则______．
6.直线的倾斜角为______．
7.已知，若为虚数单位，则 ______．
8.的展开式中的系数为______结果用数字表示
9.已知，是第四象限角，则 ______．
10.已知若定义在上的函数是奇函数，则实数的值为______．
11.将一个斜边长为的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为 ．
12.数据，，，，，，，的第百分位数为______．
13.若向量，满足，且，，则向量与夹角为______．
14.新冠病毒爆发初期，全国支援武汉的活动中，需要从医院某科室的名男医生含一名主任医师、
名女医生含一名主任医师中分别选派名男医生和名女医生，要求至少有一名主任医师参加，则不同的选派方案共有______种．用数字作答
15.已知公比大于的等比数列满足，，记为在区间中的项的个数，的前项和为，则 ______．
16.设点在椭圆上，点在直线上，则的最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在中，，．
若，求和外接圆半径的值；
若的面积，求的值．
18.本小题分
如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形．
求证：平面平面；
设，若四棱锥的体积为，求点到平面的距离．
19.本小题分
流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病某市去年月份曾发生流感，据统计，月日该市的新感染者有人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加人由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从月日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少人．
若，求月日至月日新感染者总人数；
若到月日止，该市在这天内的新感染者总人数为人，问月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天的新感染者人数．
20.本小题分
已知椭圆的一个焦点为，点在椭圆上，过点作一直线交椭圆于、两点，且坐标原点关于点的对称点记为．
求椭圆的方程；
求面积的最大值；
设点为点关于轴的对称点，求证：、、三点共线．
21.本小题分
定义：如果函数和的图像上分别存在点和关于轴对称，则称函数和具有关系．
判断函数和是否具有关系；
若函数和不具有关系，求实数的取值范围；
若定义域都为区间的两个函数和具有关系，求实数的取值范围．
参考答案
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17.解，，
，
在中，由正弦定理，得，即，
，，
，又，
，；
由得，
于是，
当时，由余弦定理，得，即
当时，由余弦定理，得，即．
或．
18.证明：因为底面是正方形，
所以，
又平面，且平面，
所以，
因为，、平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面．
解：因为四棱锥的体积为，
所以，即，
所以，
由勾股定理知，，
所以是等边三角形，其面积为，
设点到平面的距离为，
因为，
所以，即，
所以点到平面的距离为．
19.解：记月日新感染者人数为，则数列是等差数列，
，公差为，又，
则月日至月日新感染者总人数为人；
记月日新感染者人数为，
月日新感染者人数最多，当时，，
当时，，
因为这天内的新感染者总人数为人，
所以，
解得，即，
解得或舍，
此时，
所以月日新感染者人数最多为人．
20.解：根据题意可得，解得，，
所以椭圆的方程为；
由题可得原点关于点的对称点的坐标为，
设过点的直线的方程为，，，
所以，得，
其中，，，
则，
所以，
令，，则，
所以，当且仅当，即，时取等号，
则直线的方程为时，面积的最大值为；
证明：设，则，，
由
，
所以，与共线，即，，三点共线．
21.解：由已知得，化简得，
解得，故此时函数和具有关系；
由已知得在上无解，
显然不满足上式，故当且仅当时取等号，
故时，原方程无解，即函数和不具有关系，
即所求的范围是；
由已知得在上有解，
即在上有解，令，，
，，
再令，
当时，，且，故此时，
当时，易知时，，
此时，故在上递增，故在上恒成立，
即在上恒成立，故在单调递增，
而，且时，，
故，即，解得即为所求，
故所求的范围是．
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