2024-2025学年甘肃省白银市靖远县高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年甘肃省白银市靖远县高三（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.若集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知数列是等比数列，记数列的前项和为，且，，则( )
A. B. C. D.
4.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
5.对于实数，“”是“方程表示双曲线”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为( )
A. B.
C. D.
7.质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施打击，该构件有，两个易损部位，每次打击后，部位损坏的概率为，部位损坏的概率为，则在第一次打击后就有部位损坏只考虑、两个易损部分的条件下，，两个部位都损坏的概率是( )
A. B. C. D.
8.英国数学家布鲁克泰勒发现，当时，，这就是麦克劳林展开式在三角函数上的一个经典应用利用上述公式，估计的值为精确到
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的图象关于直线对称，且函数的图象向右平移个单位长度之后与原来的图象重合，则的值可以为( )
A. B. C. D.
10.设单位向量满足，则下列结论正确的是( )
A. B. 向量的夹角为
C. D. 在的方向上的投影向量为
11.已知函数的定义域为，，，则( )
A. B.
C. 是偶函数 D. 是奇函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数据，，，，，的平均数为，则该组数据的分位数为______．
13.已知动点在抛物线上，，则该动点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为______．
14.如图，在空间几何体中，平面平面，，平面，，，，则几何体的外接球的体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，分别为，，，的中点，．
求证：．
求异面直线与所成角的余弦值．
16.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，求的面积．
17.本小题分
已知函数．
求的单调区间；
若函数在区间上单调递增，求的取值范围．
18.本小题分
已知离心率为的椭圆的右焦点为，点为椭圆上第一象限内的一点，满足垂直于轴，且．
求椭圆的方程；
直线的斜率存在，交椭圆于，两点，，，三点不共线，且直线和直线关于直线对称，证明：直线过定点．
19.本小题分
定义有限集合的元素个数为，如，则已知集合，其中，，，，都是的子集且互不相同，记，，．
若，且，，，写出所有满足条件的集合；
若，且对任意，都有，求的最大值；
若，且对任意，都有，求当满足何种条件时，的最大值为．
参考答案
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15.解：证明：在直三棱柱中，，，，分别为，，，的中点，
．
在直三棱柱中，平面，
四边形为矩形，
又，分别为，的中点，，且，
，，
，，平面，
平面，
平面，．
由知，，，
平面，平面，
平面，，
，．
以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐称系，如图，
由题意得，
，，
，，
异面直线所成角的范围为
异面直线与所成角的余弦值为．
16.解：因为，
整理可得，
即，
整理可得，
由正弦定理得，
由余弦定理可得，
由，可得；
由，可得，
进而可得，
由，可得，
可得，
由正弦定理可知，
又因为，解得，
所以的面积为．
17.解：，，恒成立，
故函数在上单调递增，
即的单调增区间为无单调递减区间．
，在上恒成立，
即，
设，，在上单调递增，故，
故，即．
18.解：由题可得，点在椭圆上，
则，
解得：，，
所以椭圆的方程为：；
证明：由题，如图，设直线的方程为，，，
联立方程组化简得：，
所以，故，
所以，
因为直线和直线关于直线对称，
所以，
所以，
即，
解得，
所以直线的方程为，
所以直线过定点．
19.解：根据题意，若，且，，，
则在集合和中，都只有个元素，
又因为，则，
分种情况讨论：
若，，则或；
若，，则或．
综上，或或或．
根据题意，集合，有个元素，共有个不同的子集，
将其两两配对成组，，使得，，
则，不能同时被选中为子集，故．
选择集合的个含有元素的子集：，，，，符合题意．
综上所述：的最大值为．
根据题意，令，，，，，
若集合符合题意，需要满足以下条件：
若中有一元集合，不妨设，则其他子集中都有元素，且元素都至多属于个子集，
所以除外的子集至多有个，故成立．
若中没有一元集合，但有二元集合，不妨设．
其他子集分两类：
或，，，和或，，，．
其中，，互不相同，，互不相同，且均不为，．
若，则，有，成立，
若，则由，得每个集合中都恰好包含中的个元素不是，且互不相同，
因为中除外至多还有个元素，所以，
所以，成立．
根据题意，若均为三元集合，不妨设，其他子集可分为三类：
，，，，，，，，，，，，其中．
若，则除，，外，其他元素两个一组与构成集合，
所以．
若，可以设，
又由，得每个集合中都有或都有，
又，，，中除元素之外，无其他公共元素，所以．
所以，故需满足，
综上可得，当时符合题意．
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