2024-2025学年广东省清远市高三（上）质检数学试卷（一）（含答案）

2024-2025学年广东省清远市高三（上）质检数学试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知是虚数单位，若，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知向量，且，则的值为( )
A. B. C. D.
4.函数在区间上的最小值为( )
A. B. C. D.
5.下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
6.设函数在区间上单调递减，则正数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.记函数，设，甲：；乙：，则甲是乙的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，下列说法正确的是( )
A. 函数的最小正周期是
B. 把函数的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象
C. 函数的图象关于点中心对称
D. 函数的图象在区间上单调递增
10.现有一组各不相同且从小到大排列的样本数据，，，，，，下列说法正确的是( )
A. ，，，，，的下四分位数为
B. ，，，，，，的中位数为
C. ，，，，，的平均数小于，，，，，的平均数
D. ，，，，的方差是，，，，，的方差的倍
11.设与其导函数的定义域均为，，若，的图象关于对称，在上单调递减，且，则( )
A. 为偶函数 B. 的图像关于原点对称
C. D. 的极小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.市高三年级万名男生的身高单位：近似服从正态分布，则身高超过的男生约有______人参考数据：，，
13.已知函数是定义在上的奇函数，当时，则 ______；当时， ______．
14.已知函数相邻两条对称轴之间的距离为，且，则在上的零点个数为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，已知，，．
求的值；
求的面积．
16.本小题分
已知每门大炮击中目标的概率都是，现有门大炮同时对某一目标各射击一次．
当时，求给好击中目标次的概率精确到；
如果使目标至少被击中一次的概率超过，至少需要多少门大炮？
17.本小题分
如图，在直四棱柱中，底面为矩形，，，点，，分别在棱，，上，，．
若，证明：平面平面；
若，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知函数图象的对称中心为．
求和的值；
若对于任意的，都有恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知椭圆的离心率为，短轴长为，过圆心在原点，半径为的圆上一动点作椭圆的两条切线，，切点分别为，，延长与圆交于另一点，延长与四交于另一点．
求椭圆的标准方程；
假设向量的夹角为，定义：．
(ⅰ)证明：；
(ⅱ)求的取值范围．
参考答案
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15.解：由已知有，
根据正弦定理，得，所以，
由余弦定理，，
可得，
所以，解得负值舍去，
故；
因为，，
所以，
所以．
16.解：根据题意，当时，即有门大炮同时对某一目标各射击一次，
若恰好击中目标次，该概率；
根据题意，假设门大炮同时对某一目标各射击一次，
若目标至少被击中一次，其概率，
若目标至少被击中一次的概率超过，即，
变形可得，
又由是正整数，必有，
即至少需要门大炮同时对某一目标各射击一次．
17.证明：由题意，在直四棱柱中，
，
所以，
所以，，
又因为，，
故EF，，
因为平面，平面，平面，平面，
所以平面，平面，
又因为，
所以平面平面．
解：以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，
设平面的法向量为，
则，所以，
令，得，所以，
又，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为．
18.解：由，
因为函数图象的对称中心为，
所以，
所以，
化简可得：，即，
因此，．
由可知，对于任意的，都有恒成立，即恒成立．
令，可得，
令，即，即，
当时，，则在上单调递增，，符合题意；
当时，，则，
则，在上单调递增，，符合题意；
当时，，则，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在：单调递增，
所以，
令，，则，
所以在上单调递减，所以，不合题意；
综上所述，．
19.解：因为椭圆的短轴长为，
所以，
因为离心率，
又，
联立，
解得，，
则椭圆的标准方程为；
证明：设，
当直线，的斜率都存在时，
设过与椭圆相切的直线方程为，
联立，消去并整理得，
此时，
即，
设直线，的斜率分别为，，
此时，
又，
所以，
则，
即为圆的直径，
所以，
故；
当直线或的斜率不存在时，
设，
此时直线的方程为，
所以，，
此时满足，
所以，
综上，；
(ⅱ)设点，，
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
此时，
即，
此时，
所以直线的方程为，
整理得，
经验证，当直线的斜率不存在时，直线的方程为或也满足，
同理可得直线的方程，
因为在直线，上，
所以，
则直线的方程为，
因为在圆上，
所以，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
所以
，
因为点到直线的距离，
令，
此时，
又，
所以的面积的取值范围为，
因为．
所以的取值范围为．
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