2024-2025学年山东省青岛市黄岛区高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省青岛市黄岛区高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为坐标原点，点，，，，则( )
A. B. C. D.
2.如图，正方形的边长为，取正方形各边的中点，，，，作第个正方形，然后再取正方形各边的中点，，，，作第个正方形，依此方法一直继续下去则从正方形开始，连续个正方形面积之和为，则( )
A. B. C. D.
3.已知平面向量、满足，若，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
4.设集合，，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.若正数，满足，则的最小值是( )
A. B. C. D.
6.如图，已知函数，点，是直线与函数的图象的两个交点，若，则( )
A.
B.
C.
D.
7.年月日，第五次全国经济普查正式启动甲、乙、丙、丁、戊名普查员分别去城东、城南、城西、城北四个小区进行数据采集，每个小区至少去一名普查员，若甲不去城东，则不同的安排方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.定义在上的函数满足：，，，当时，，
则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知二项式，则其展开式中( )
A. 的系数为 B. 各项系数之和为
C. 二项式系数最大项是第项 D. 系数最大项是第项或第项
10.数列满足，，则( )
A. 数列为等差数列 B.
C. D.
11.在中，角，，所对的边分别为，，，，已知点是所在平面内一点，点在上，点为中点，，则( )
A. 若，则的面积为
B. 若在方向上的投影向量为，则的最小值为
C. 若点为中点，则
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数为上增函数，写出一个满足要求的的解析式______．
13.记为正项数列的前项积，，则 ______．
14.某警察学院体育比赛包括“射击”、“游泳”、“折返跑”、“百米接力”、“伤员搬运”、“米障碍”六个项目，规定：每个项目前三名得分依次为，，，其中，选手的最终得分为各场得分之和最终甲、乙、丙三人包揽了每个项目的前三名，在六个项目中，已知甲最终得分为分，乙最终得分为分，丙最终得分为分，且丙在“射击”这个项目中获得了第一名，那么 ______，“游泳”这个项目的第二名是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求的最大值及相应的取值集合；
设函数，若在区间上单调递增，求的取值范围．
16.本小题分
记数列是公差不为的等差数列，，且是和的等比中项．
求数列的通项公式；
数列满足：，，，
求证：为等比数列；
(ⅱ)求取最大值时的值．
17.本小题分
在中，记角，，所对的边分别为，，，．
求；
若，为中点，，分别在线段，上，且，，求面积的最小值及此时对应的的值．
18.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
求证：当时，函数只有两个零点；
若对任意的实数，，曲线与直线总相切，则称函数为“函数”当时，若函数是“函数”，求．
19.本小题分
给定正整数，，设，，，是，，，中任取个互不相同的数构成的一个递增数列对，如果是奇数，则是奇数，如果是偶数，则是偶数，就称，，，为“数列”．
若，，写出所有“数列”；
对任意“数列”，，，，，证明：注：表示不超过的最大整数；
确定“数列”的个数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.答案不唯一
13.
14. 乙
15.解：；
当，整理得，函数取得最大值；
故当时，函数取得最大值为．
由于，
令，整理得，
由于在区间上单调递增，故，整理得．
故实数的取值范围为．
16.解：设的公差为，则，
，即，
，，
．
证明：，，
而，
，
，，
，
为等比数列且公比为，首项为．
由可得，
，
当时，，
当时，，
，
取最大值时．
17.解：由及正弦定理，
得，
因为，
所以，
由于，所以，
所以，
又因为，所以；
因为，，所以是边长为的正三角形，
由题可得：，，，
在中，由正弦定理有：，
所以，
在中，由正弦定理有：，
所以，
因为，所以，
因为
，
因为，所以，所以，
所以
所以当，即时，取得最小值，为．
18.解：易知函数的定义域为，
可得，
当时，，
所以在上单调递减；
当时，
令，
解得，
易知函数在上单调递增，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
证明：令，
解得，
当时，，
此时方程无解，
即无零点，
若有零点，
此时零点只能在区间上，
当时，易知，
设，函数定义域为，
可得，
设，函数定义域为，
因为，
所以在上单调递增，
又，
当时，，
所以，使得，
当时，；当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
又，
所以，
当时，，
所以在内存在唯一零点，
当时，，
则在内存在唯一零点，
所以当时，只有两个零点，
故当时，函数只有两个零点；
当时，是“函数”，
可得，
设函数与直线的切点为，
易知，
此时，
则，
因为，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以是方程的根，
设，
可得，
易知，
又函数在上单调递增，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
则是方程的唯一根．
故．
19.解：“数列”如下：，，；，，；，，；，，．
证明：因为，，
若，则，
所以；
因为，，
所以；
若，则，
所以，
因为，，所以，即，
所以．
定义数列，，，
显然，，
且数列单调递增，所以是“数列”，
记表示，，，中任取项构成的单调递增数列的全体，
对于中的任意数列，，，，令，
因为，所以，
于是．
所以，，单调递增数列，
又因为为偶数，所以与同奇同偶，
所以，，是“数列”，
所以，任与中的个元素的子集一一对应，
综上，“数列”的个数为．
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