福建省龙岩市一级校联盟2025届高三上学期11月期中联考数学试题（含答案）

福建省龙岩市一级校联盟2025届高三上学期11月期中联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”为假命题，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
3.设为等差数列的前项和，已知，，则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知正数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法假设二维空间中有两个点，，为坐标原点，定义余弦相似度为，，余弦距离为已知点，，若，的余弦距离为，则( )
A. B. C. D.
6.已知等比数列的公比为，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
7.已知函数若对任意，都有，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知，定义运算@@，其中是函数的导数若@，设实数，若对任意，恒成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，，则( )
A.
B. 当时，
C. 当时，
D. 在上的投影向量的坐标为
10.已知函数的定义域为，对任意都有，且，，则( )
A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称
C. D. 为偶函数
11.已知函数，则( )
A. 是以为周期的函数
B. 存在无穷多个零点
C. 的值域为
D. 至少存在三个不同的实数，使得为偶函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数满足，则 ．
13.已知函数，曲线在点处的切线方程为，则 ．
14.黎曼猜想由数学家波恩哈德黎曼于年提出，是至今仍未解决的世界难题黎曼猜想研究的是无穷级数，我们经常从无穷级数的部分和入手已知正项数列的前项和为，且满足，则 其中表示不超过的最大整数
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求的最小正周期及单调递增区间
将的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的最大值和最小值．
16.本小题分
已知数列的前项和为，，，等差数列的前项和为，，．
求和的通项公式
设求数列的前项和．
17.本小题分
在中，内角，，所对的边分别是，，，，．
求角
如图，已知为平面内一点，且，，，四点共圆，，求四边形周长的最大值．
18.本小题分
已知函数．
求的单调区间
设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围．
19.本小题分
南宋的数学家杨辉善于把已知形状、大小的几何图形求面积、体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题在他的专著详解九章算法商功中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等公式如图，“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，，第层球数比第层球数多，将第一层至第层的球数依次排成一列，构成数列
求的通项公式
求函数的最小值
若数列满足，，证明：．
参考答案
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15.解：由题意得，
所以的最小正周期为．
令，，得，，
所以的单调递增区间为．
将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象．
令，由，可得
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以在上的最大值为，最小值为．
16.解：因为，
所以当时，，
又，所以．
当时，，
式减去式得，所以．
又，，所以，，
所以是以为首项，为公比的等比数列，所以．
设等差数列的公差为，因为，，
可得解得，
所以，即的通项公式为．
因为可得
则数列的前项和，
令，
，
所以，
所以，
所以，
所以数列的前项和．
17.解：，
由正弦定理可得C.
因为，所以，
则，
且，因为，所以，
又因为，则，可得，所以．
因为，，所以，
又，所以由余弦定理可得，
所以，即．
因为，，，四点共圆，，
所以．
在中，由余弦定理可得，
所以，
所以．
由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，则，
所以当时，四边形的周长取得最大值，最大值为．
18.解：由，
得．
令，解得，．
当时，．
当时，，单调递增
当时，，单调递减
当时，，单调递增．
当时，，恒成立，在上单调递增．
当时，．
当时，，单调递增
当时，，单调递减
当时，，单调递增．
综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为．
因为对任意，均存在，使得，
所以，，，
当时，取得最大值，最大值为．
由得，当时，在上单调递增，
即当时，取得最大值，
所以，解得，即
当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，取得最大值．
设，，
则，
单调递增，所以成立，所以无解．
综上所述，的取值范围为．
19.解：根据题意，，，，，，
则有，，，，
当时，
，
又也满足，所以．
因为，定义域为，
则，
令，得；
且时，，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，即．
证明：由可知当时，，
令，则，
所以，
所以，
令，
则，
所以
，
所以，
所以．
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