湖南省娄底市名校联考2025届高三上学期11月月考数学试题（含答案）

湖南省娄底市名校联考2025届高三上学期11月月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.设集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量与是非零向量，且满足在上的投影向量为，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
4.最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的数书九章年该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量平地降雪厚度器皿中积雪体积除以器皿口面积，已知数据如图注意：单位，则平地降雪厚度的近似值为( )
A. B. C. D.
5.定义：满足为常数，的数列称为二阶等比数列，为二阶公比已知二阶等比数列的二阶公比为，，，则使得成立的最小正整数为( )
A. B. C. D.
6.已知函数，若满足，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.在中，角所对的边分别为，，若表示的面积，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，在区间上的最小值恰为，则所有满足条件的的积属于区间( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则的最小值为
C. 若，则的最大值为
D. 若，则
10.已知定义域在上的函数满足：是奇函数，且，当时，，则下列结论正确的是( )
A. 的周期 B.
C. 在上单调递增 D. 是偶函数
11.在四棱锥中，底面是矩形，，，平面平面，点在线段上运动不含端点，则( )
A. 存在点使得
B. 四棱锥外接球的表面积为
C. 直线与直线所成角为
D. 当动点到直线的距离最小时，过点，，作截面交于点，则四棱锥的体积是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列满足，则数列的通项公式为 ．
13.已知函数，若，且，的最小值为，则 ．
14.已知函数，若函数的图象在点和点处的两条切线相互平行且分别交轴于、两点，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，已知．
若，，求的面积；
求的最小值，并求出此时的大小．
16.本小题分
如图，在正三棱锥中，有一半径为的半球，其底面圆与正三棱锥的底面贴合，正三棱锥的三个侧面都和半球相切．设点为的中点，．
用分别表示线段和长度；
当时，求三棱锥的侧面积的最小值．
17.本小题分
已知函数．
若函数在处的切线与直线垂直，求实数的值．
若函数存在两个极值点，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知数列满足，记数列的前项和为．
求
已知且，，若数列是等比数列，记的前项和为，求使得成立的的取值范围．
19.本小题分
牛顿法是牛顿在世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，的方程为如果，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值．再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点横坐标记为，称为的二阶近似值．重复以上过程，得的近似值序列：，根据已有精确度，当时，给出近似解．对于函数，已知．
若给定，求的二阶近似值；
设
试探求函数的最小值与的关系；
证明：．
参考答案
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15.解：根据，
可知
又因为，，是内角，，，，
，，，是等腰三角形，，
．
由可知，又，，，
代入化简可得原式，
，，
，
当且仅当“”，即，时等号成立
所以该式的最小值是，此时
16.解：根据题意，正三棱锥的截面图，如图：
半球的底面圆的圆心是底面三角形的内心，，．
则，变形可得，
则，
为等边三角形，则，
中，，则；
根据题意，由的结论，，，
则，
故三棱锥的侧面积，
，
设，，则，其导数，，
在区间上，，单调递增，
在区间上，，单调递减，
则当时，取得最大值，其最大值为，即的最大值为，
故三棱锥的侧面积的最小值为．
17.解：，
，
则，解得．
，
由题设可知有两个不同的零点，且在零点的附近的符号发生变化．
令，则，
若，则，则为上为增函数，
在上至多有一个零点．
当时，若，则，故在上为增函数，
若，则，故在上为减函数，
故，故．
又且，故在上存在一个零点；
下证当时，总有．
令，则，
当时，，故为上的减函数，
故，故成立．
令，则，
故当时，有，
取，则当时，
有，
故，故在上，存在实数，使得，
由零点存在定理及的单调性可知可得在上存在一个零点．
综上可知，实数的取值范围是．

18.解：，
，
得，得．
当时，式为，得，也满足上式．
，数列是首项为的等差数列，所以．
，，则数列是以为首项，为公比的等比数列，
，又因为，
，得，
得．
令，即，即．
当，，时，经验证，式成立．
令，则
，
所以当时，，即，当时，式不成立．
使得成立的的取值范围是．
19.
函数，求导得，
依题意，，当时，，
同理，而，所以．
由知，，则，
，求导得，
令，求导得，在上单调递增，
函数在上单调递增，，
由，得，且，则，
，当时，，当时，，
于是函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在处取得最小值．
由知，，令，求导得，
令，求导得，当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，而，
则当时，恒成立，即函数在上单调递减，
而，因此，所以．

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