湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2025届高三上学期11月期中检测数学试题（含答案）

湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2025届高三上学期11月期中检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知平面向量，，，则实数( )
A. B. C. D.
2.若：，：，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.己知是全集的两个子集，则如图所示的阴影部分所表示的集合是( )
A. B.
C. D.
4.若，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知，都是锐角，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知为的外接圆圆心，，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.某中学数学兴趣小组为测量学校附近某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线上的，，三点进行测量．如图，单位：米，点为中点，兴趣小组组长小王在，，三点正上方米处的，，观察建筑物最高点的仰角分别为，，，其中，，，点为点在地面上的正投影，点为上与，，位于同一高度的点，则建筑物的高度为 米．
A. B. C. D.
8.设函数，则关于的不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设函数，，的导数为，则( )
A.
B. 当时，
C. 曲线在点处的切线方程为
D. 当时，
10.某个简谐运动可以用函数，来表示，部分图象如图所示，则( )
A.
B. 这个简谐运动的频率为，初相为
C. 直线是曲线的一条对称轴
D. 点是曲线的一个对称中心
11.已知实数，满足，则( )
A. 当时， B. 当时，
C. 当时， D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，为单位向量，且在上的投影向量为，则 ．
13.若实数，满足，，则的取值范围为 ．
14.设，是双曲线：的左、右焦点，点是右支上一点，若的内切圆的圆心为，半径为，且，使得，则的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，．
求；
若角的平分线交边于点，，求面积的最小值．
16.本小题分
已知函数，且恒成立．
求的值；
设，若，，使得，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数．
若函数在上的最小值为，求的值；
若，函数，求的最小值．
18.本小题分
已知椭圆：的离心率为，点在上，直线与交于不同于的两点，．
求的方程；
若，求面积的最大值；
记直线，的斜率分别为，，若，证明：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标．
19.本小题分
已知函数．
当时，判断在上的单调性，并说明理由；
当时，恒成立，求的取值范围；
设，在的图象上有一点列，直线的斜率为，求证：．
参考答案
1.
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13.
14.
15.
因为，
由正弦定理得，
则，
即，
又，所以，所以，
又，所以，
所以，所以；
如图，由题意及第问知，，
且，
，
，化简得，
，，由基本不等式得，，
当且仅当时，等号成立，
，
，
故的面积的最小值为．


16.
，其中，
由于，，故，
所以，故，
，解得；
由得，不妨取，故，
，，使得，
则只需，
其中时，，故，
则，
令，则，
则，
其中，
因为，所以，，
若，此时在上单调递减，
故，故，
若，此时，令，
故，解得，与取交集得，
若，此时在上单调递增，
故，
令，解得，与取交集得，
综上，．

17.
因为，，故可得，，
若，，在单调递减，的最小值为，不满足；
若，
令，解得，故在单调递增；
令，解得，故在单调递减；
故的最小值为，即，解得，满足；
若，，在单调递增，的最小值为，解得，不满足；
综上所述，．
若，，，
定义域为，，
令，，
故在单调递增，又，，
故存在，使得，也即，且，
且当，，，在单调递减；
当，，，在单调递增；
故的最小值为；
由上述求解可知，，则，令，
则，故在单调递增；
，也即，又，故，即；
又．
故的最小值为．

18.
由题意可知：，解得
所以椭圆的方程为．
若，可知直线的斜率存在，

设直线：，，
联立方程，消去可得，
则，整理可得，
可得，
因为，则，
由，可得，
则，
整理可得，
则，
且，则，可得，
解得，且满足，
可知直线：过定点，
则面积，
令，则，可得，
因为在内单调递增，则，
所以当时，面积取到最大值．
若直线的斜率不存在，设，
可得，可得，
这与相矛盾，不合题意；
可知直线的斜率存在，设直线：，，

可得，
整理可得，
则，
且，则，可得，解得，
设以为直径的圆过定点，
则，
可得，
则，
整理可得，
则，
可得，
注意到上式对任意的均成立，则，解得
所以以为直径的圆过定点．

19.
在上单调递减，理由如下：
当时，，
，，
所以函数在上单调递减，
当时，，所以，
所以，所以在上单调递减．
当时，恒成立，
当时，，
，设，
时，
，设，
当时，，
，
要使恒成立，由于，则需恒成立，
所以恒成立，所以，．
此时，
在上单调递增，，
在上单调递增，，
在上单调递增，
使得恒成立．
综上所述，的取值范围是．
由可知，当，时，恒成立，
即时，恒成立，
下证：，
时，
，
由上述分析可知，，即，则，
所以
，
，即得证．

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