2024-2025学年北京市西城区第四中学高三上学期期中考试数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市西城区第四中学高三上学期期中考试数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.不等式的解集为( )
A. B. C. D.
3.已知边长为的正方形中，与交于点，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则当时，有( )
A. 最大值 B. 最小值 C. 最大值 D. 最小值
5.设，则“”是“”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.在平面直角坐标系中，角与角的终边关于轴对称若，则( )
A. B. C. D.
7.近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物的释放对大气臭氧层的破坏作用科学研究表明，臭氧含量与时间单位：年的关系为，其中是臭氧的初始含量，为常数经过测算，如果不对氟化物的使用和释放进行控制，经过年将有一半的臭氧消失如果继续不对氟化物的使用和释放进行控制，再经过年，臭氧含量只剩下初始含量的，约为( ) 参考数据：，
A. B. C. D.
8.已知函数若的值域为，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.已知，记在的最小值为，在的最小值为，则下列情况不可能的是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
10.已知在数列中，，命题对任意的正整数，都有若对于区间中的任一实数，命题为真命题，则区间可以是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知复数，则 ．
12.已知函数若，则 ．
13.已知幂函数的图像经过，，，中的三个点，写出满足条件的一个的值为 ．
14.在中，，．
；
若的最长边的长为，则最短边的长为 ．
15.以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间例如，当，时，，．
给出下列命题：
“函数”的充要条件是“，关于的方程都有实数解”；
“函数”的充要条件是“既有最大值，也有最小值”；
若函数，的定义域相同，且，，则；
若函数，的定义域相同，且，，则．
其中，正确命题的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知函数，其中，记的最小正周期为，．
求的值；
若与轴相邻交点间的距离为，求在区间上的最大值和最小值．
17.本小题分
在中，．
求的大小；
若，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上中线的长．
条件：的面积为；
条件：；
条件：．
注：如果选择的条件不符合要求，第Ⅱ问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18.本小题分
已知函数．
求的单调区间；
若关于的不等式有解，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知椭圆：的左顶点为，的长轴长为，焦距为过定点作与轴不重合的直线交于，两点，直线，分别与轴交于点，．
求的方程；
是否存在点，使得等于定值？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
20.本小题分
已知函数，．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若函数是单调递增函数，求的取值范围；
当时，是否存在三个实数且？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．
21.本小题分
已知集合，其中，，，，是的互不相同的子集记的元素个数为，的元素个数为
若，，，，，写出所有满足条件的集合结论不要求证明；
若，且对任意的，都有，求的最大值；
若给定整数，且对任意，都有，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.取该集合中的任意一个元素均算正确
14.

15.
16.由两角和与差的正弦公式可得，
由于，则的最小正周期为，
，
因为，所以；
因为与轴相邻的两交点间的距离为，
所以的最小正周期为，
所以，即，
当时，，
结合正弦函数的图像与性质可得：当即时，取最小值，
当即时，取最大值．

17.由正弦定理及，
得
因为，所以
由得因为，所以．
所以因为，所以．
选，的面积为，即，即，解得，
因为，由余弦定理得，
即，解得，
由基本不等式得，但，
故此时三角形不存在，不能选，
选条件：，
两边平方得，
由余弦定理得，即，
联立得，所以，
设边上的中线长为，由余弦定理得
．
所以边上的中线的长为．
选条件：．
由知，．
所以
．
所以．
因为，所以．
所以，即．
所以是以为斜边的直角三角形．
因为，
所以．
所以边上的中线的长为．

18.定义域为，
，
设
恒成立
所以在上是减函数，且
则当时，，即，
则当时，，即，
所以的单调递增区间为，的单调递减区间
由知，所以，
令，
，
当时，，当时，，
所以在上的最小值为，
所以若关于的不等式有解，则，
即．

19.由题可知，
得
所以椭圆的方程为
由题可知，直线不能水平，
设直线的方程为，
联立
所以
直线方程为
所以，同理
所以
若，得或
当时，，得或，成立
当时，恒成立，
所以存在点，使得等于定值，或．

20.由题得
所以
所以
所以在点处的切线方程为．
由题得
要使函数是单调递增函数，
则恒成立，
即恒成立，
令
得，
令，得
显然，当时，，所以函数单调递减；
当时，，所以函数单调递增；
故
所以
不存在，理由如下，
由题得
因为，显然当时，，
由可知，在单调递增，
所以在上由唯一的零点
当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增；
所以当时，不存在三个实数且．

21.因为，则和的元素个数均为，
又因为，则，
若，，则或；
若，，则或；
综上或或或．
集合共有个不同的子集，
将其两两配对成组，
使得，则不能同时被选中为子集，
故．
选择的个含有元素的子集：，符合题意．
综上，．
结论：，
令，集合符合题意．
证明如下：
若中有一元集合，不妨设，
则其它子集中都有元素，且元素都至多属于个子集，
所以除外的子集至多有个，故．
若中没有一元集合，但有二元集合，不妨设其它子集分两类：
或，和或，
其中互不相同，互不相同且均不为，．
若，则，有
若，则由得每个集合中都恰包含中的个元素不是，
且互不相同，
因为中除外至多还有个元素，所以．
所以．
若均为三元集合，不妨设将其它子集分为三类：
，
其中．
若，则除，，外，其它元素两个一组与构成集合，
所以．
若，不妨设，
则由得每个集合中都或者有、或者有，
又中除外无其它公共元素，所以．
所以．
综上，．

第1页，共1页