2024-2025学年山西省吕梁市高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年山西省吕梁市高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则( )
A. B. C. D.
3.下列函数中，既是奇函数又是减函数的是( )
A. B. C. D.
4.已知数列的各项均不为，设甲：；乙：数列是等比数列，则甲是乙的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知满足，，且向量在向量上的投影向量为，则( )
A. B. C. D.
6.如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，记的周长为，面积为，则的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
8.当时，曲线与的交点个数为个，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A.
B.
C. 在等差数列中，，，，则
D. 在等差数列中，为其前项和，若，，则
10.若实数，满足，则( )
A. B. C. D.
11.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 有两个零点
C.
D. 若，，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，且，则 ______．
13.对于数列，定义数列为数列的“和数列”，若，数列的“和数列”的通项公式为，则数列的前项和 ______结果保留指数形式
14.在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，且的最小正周期为．
将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若是偶函数，求的最小值；
若，，求的值．
16.本小题分
已知函数．
证明：曲线是轴对称图形；
若函数在上有三个零点，求实数的取值范围．
17.本小题分
民族要复兴，乡村需振兴为响应国家号召，我市城市规划管理局拟将某乡村一三角形区域规划成休闲度假区，通过文旅赋能乡村经济发展度假区按如图所示规划为三个功能区：区域规划为露营区，区域规划为休闲垂钓区，区域规划为自由活动区为安全起见，预在鱼塘四周围筑护栏已知，，，为内一点，．
当时，求护栏的长度的周长；
若，求；
为了容纳更多的游客，露营区的面积要尽可能大，求露营区面积的最大值．
18.本小题分
已知函数．
令，求的单调区间；
若存在，使得，求证：．
19.本小题分
对于无穷数列，“若存在，必有”，则称数列具有性质．
若数列满足判断数列是否具有性质？是否具有性质？
把中满足性质的从小到大一一列出，构成新的数列，若，求证：；
对于无穷数列，设，若数列具有性质，求集合中元素个数的最大值写出表达式即可，结论不需要证明
参考答案
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15.解：
，
由于的最小正周期为，所以，
所以，
将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数，
由于是偶函数，所以，
由于，所以时，取得最小值为．
，
由于，
所以，
所以．
16.证明：由函数，定义域为，
则，
因此可得，
故函数的图象关于，即曲线是轴对称图形．
解：由，
若函数在上有三个零点，
则方程在上有三个实根，
即在上有三个实根，
令，则与的图象在上有三个交点，
又，
当或时，，
则在和上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
又，，
，，
因此可得的图象如图所示，
结合图象，要使与的图象在上有三个交点，
则实数的取值范围为．
17.解：在中，由正弦定理得，
即，
解得，
而为锐角，则，，，
在中，由余弦定理得，
即，
所以的周长，
即护栏的长度为；
令锐角，则，，
在中，由正弦定理得，
则，
在中，由正弦定理得，
则，
于是，
整理得，
所以；
设，则，
在中，由正弦定理得，
则，
于是的面积
，
而，
则当，即时，，
所以为了容纳更多的游客，露营区的面积要尽可能大，露营区面积的最大值为．
18.解：易知，函数定义域为，
可得，
当时，恒成立，
所以在单调递增；
当时，恒成立，
所以在上单调递增；
当时，，
令，
解得，，
因为，
所以，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减
证明：易知定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
因为，
令，，
此时，
所以，
即，
所以，
此时，
即，
此时只需证明即可，
即明，
令，函数定义域为，
令，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，
所以，
即，
所以，在上单调递增，
则．
故．
19.解：因为，
当时，均为奇数，
故若存在，
由题意可得，
由奇数减奇数为偶数，偶数减偶数为偶数，可得为偶数，
与矛盾，
所以数列不具有性质；
因为，，且，，
故数列具有性质；
证明：因为，
，为偶数，
时，均为奇数，故由题设条件知不可能为奇数，
又，，
令，
则；
因为数列具有性质，所以一定存在一组最小的，，且，
满足，即，
由性质的定义可得，，，，，
所以数列中，从第项开始的各项呈现周期性规律，，为一个周期中的各项，
所以数列中最多有个不同的项，
所以中最多有个元素．
又若当，，且数列为周期数列，最小正周期为，
则，，，，
该数列具有性质，
若，，时，，
不妨设，则，所以，
此时等式右侧为奇数，左侧为偶数，矛盾，
所以若或，则，
所以集合中含有个元素．
所以集合中元素个数的最大值为．
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