2024-2025学年云南省昆明市五华区高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年云南省昆明市五华区高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数满足，则在复平面内对应的点为，则( )
A. B.
C. D.
2.已知，都为单位向量，若在上的投影向量为，则( )
A. B. C. D.
3.在正方体中，下列说法错误的是( )
A. B. 与所成角为
C. 平面 D. 与平面所成角为
4.在践行“乡村振兴”战略的过程中，某地大力发展特色花卉种植业某农户种植一种观赏花，为了解花卉的长势，随机测量了枝花的高度单位：，得到花枝高度的频率分布直方图，如图所示，则( )
A. 样本花卉高度的极差不超过
B. 样本花卉高度的中位数不小于众数
C. 样本花的高度的平均数不小于中位数
D. 样本花卉高度小于的占比不超过
5.设等比数列的公比为，则““是“数列为递增数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知圆台的母线长为，高为，体积为，则圆台的侧面积为( )
A. B. C. D.
7.已知、为直线上的两个定点，，为上的动点在平面直角坐标系中，、，以为圆心，为半径作圆；以为圆心，为半径作圆，则两圆公共点的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
8.已知函数和两点，，设曲线过原点的切线为，且，则所在的大致区间为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的最大值为，其部分图象如图所示，则( )
A.
B. 函数为偶函数
C. 在上有个零点，则
D. 当时，函数的值域为
10.已知函数，则( )
A.
B. 若，则的极大值点为
C. 若至少有两个零点，则
D. 在区间上单调递增
11.抛物线：的准线为，过焦点的直线与交于，两点，分别过，作的垂线，垂足分别为，，记，，的面积分别为，，，则( )
A. 为锐角三角形 B. 的最小值为
C. ，，成等差数列 D. ，，成等比数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ______．
13.在正项数列中，，且，则 ______．
14.甲口袋中有标号为、、的三张卡片，乙口袋中有标号为、、、的四张卡片，从两个口袋中不放回地随机抽出三张卡片，每个口袋至少抽一张，则抽到的三张卡片中至少有一张标号为偶数的不同抽法共有______种用数字作答
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角、、所对的边分别是、、，且．
求角；
已知的角平分线交于点，若，，求．
16.本小题分
如图，在多面体中，，，均垂直于平面，，，，．
求证：平面；
求二面角的正弦值．
17.本小题分
一项没有平局的对抗赛分为两个阶段，参赛者在第一阶段中共参加场比赛，若至少有一场获胜，则进入第二阶段比赛，否则被淘汰，比赛结束；进入第二阶段比赛的参赛者共参加场比赛在两个阶段的每场比赛中，获胜方记分，负方记分，参赛者参赛总分是两个阶段得分的总和，若甲在第一阶段比赛中每场获胜的概率都为，在第二阶段比赛中每场获胜的概率都为，每场比赛是否获胜相互独立已知甲参赛总分为分的概率为．
求；
求甲参赛总分的分布列和数学期望．
18.本小题分
设椭圆：的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率．
求的方程；
设点为上一动点，过作不与坐标轴垂直的直线．
若与交于另一点，为中点，记斜率为，斜率为，证明：为定值；
若与相切，且与直线相交于点，以为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若否，请说明理由．
19.本小题分
行列式最早起源于对线性方程组的研究，起初是一种速记的表达式，发展到现在已经成为一种非常有用的数学工具已知表示二阶行列式，规定；表示三分行列式，规定设．
求；
以为切点，作直线交的图象于异于的另一点，其中若，当时，设点的横坐标构成数列
求的通项公式；
证明：．
参考答案
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15.解：因为，
由正弦定理可得，
又，则，
则，
整理得，
因为、，则，
可得，则，
故；
因为，，
所以，
因为，
即，
即，
整理可得．
16.解：证明：过点在平面内作一条直线与垂直，
则以为原点，直线为轴，过点作直线的垂线为轴，直线为轴如图建立空间直角坐标系，
，，
，
，
，，，
，，，
，
即，
，，
又，平面，平面，
平面；
由可知：，，，，
设平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，，
，，
即，，
则可取，，
即，，
设二面角为，则，
．
17.解：甲参赛总分为分有两种情况：
第一种情况是在第一阶段两场比赛一胜一负概率为，
然后在第二阶段三场比赛一胜两负概率为，
第二种情况是在第一阶段两场比赛全胜概率为，
然后在第二阶段三场比赛全负概率为，
所以，
解得或，
因为，
所以；
甲参赛总分的可能取值为，，，，，，
包括：在第一阶段两场全输，
则，
包括：在第一阶段一胜一负概率为，
然后在第二阶段三场全输概率为，
所以，
由可知，
包括：在第一阶段两场全胜概率为，
然后在第二阶段一胜两负概率为，此时，
也包括在第一阶段一胜一负概率为，
然后在第二阶段两胜一负概率为，此时，
则，
包括：在第一阶段两场全胜概率为，
在第二阶段两胜一负概率为，此时，
也包括在第一阶段一胜一负概率为，
然后在第二阶段三场全胜概率为，此时，
则，
包括：在第一阶段两场全胜概率为，
然后在第二阶段三场全胜概率为，
所以，
所以的分布列为：
所以．
18.解：因为椭圆的右焦点为，右顶点为，
则，，，
因为，
即，
即，
整理可得，
可得，
即，
解得，
即椭圆的方程为．
证明：设点、，
则点，
因为直线不与坐标轴垂直，则，，
所以，，
因为，
将这两个等式作差可得，
所以；
解：设，
先证明出椭圆在点处的切线方程为，
联立，
可得，
整理可得，
即，
即，
解得，
所以椭圆在点处的切线方程为，
因为直线与直线交于点，
则，
联立，
可得，
即点，
由对称性可知，以为直径的圆过轴上的定点，
则，
且，，
则，
所以，
解得，
因此，以为直径的圆过定点．
19.解：由题意可得：．
由可知：，，
则切点，切线斜率：，
故切线方程为，
即，
与联立得：，
化简得，
故，
上式亦满足由作切线而得到的的横坐标，故，且，
即，，
则是以为首项，以为公比的等比数列，
故，
故，即；
证明：构造，，则，
故在上单调递减，故，
可得当时，，
则，
故，
，
，
将上式累加可得
，
故．
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