2024-2025学年天津市红桥区高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津市红桥区高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
3.设，是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
4.已知圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，则这个圆锥的底面半径为( )
A. B. C. D.
5.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
6.已知函数的图象关于对称，则( )
A. B. C. D.
7.已如，，是半径为的球的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为 ( )
A. B. C. D.
8.已知，则的最小值为( )
A. B. C. D.
9.在平面直角坐标系中，，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知是虚数单位，则 ______．
11.的展开式中常数项为______．
12.函数的定义域是______．
13.若直线：截圆所得的弦长为，则的值为 ．
14.已知菱形的边长为，对角线与相交于点，，为边上动点，则的最小值为______．
15.已知函数，若在区间上存在个不同的数，，，，，使得成立，则的最大值为______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在中，内角，，，所对的边分别是，，，已知，．
求的值；
求的值；
求的值．
17.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知，．
求；
若的面积为，求．
18.本小题分
如图，已知四棱柱，底面为梯形，，底面，，其中，，是的中点，是的中点．
求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值；
求点到平面的距离．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，．
求证：；
求二面角的余弦值；
求直线与平面所成角的正弦值；
20.本小题分
已知函数，．
求的最小正周期；
求的单调区间；
求在区间上的最大值与最小值．
参考答案
1.
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15.
16.解：由已知及正弦定理得：
，
又，解得；
由已知，得，则，
则；
由及，得，
所以，，
则．
17.解：因为，所以由余弦定理得，
而，因此．
又因为，所以，即，解得，
而，因此．
由知：，，因此．
因为的面积为，所以，即，解得．
又因为由正弦定理得，，所以，
即，
即，解得舍去．
18.解：证明：在四棱柱中，底面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，，，
则，，，
设平面的法向量，，
则，则，
不妨令，可得，
因为，所以，
且平面，即平面F.
设平面的法向量，
则，则，
不妨令，可得，
于是，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
由，平面的一个法向量，
则点到平面的距离为．
19.解：证明：因为平面平面，平面平面，平面，，
所以平面，平面，
所以；
取的中点，因为，所以，
因为面面，面面，面，
所以平面，又，故，
以，，的正方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，即，得，
令，得，
因为平面的一个法向量为，
则，
因为二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为；
因为，且平面的法向量为，
因为，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
20.解：由题意可得
，
所以的最小正周期为；
令，，
则，，
所以的单调增区间为，
令，，
则，，
所以的单调减区间为；
因为，
则，
且在区间上单调递减，上单调递增，
而，
所以的最大值为，最小值为．
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