2024-2025学年北京市顺义区第一中学高三上学期期中考试数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市顺义区第一中学高三上学期期中考试数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则的共轭复数( )
A. B. C. D.
3.如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
4.已知角的终边经过点，则( )
A. B. C. D.
5.下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的是( )
A. B. C. D.
6.在中，若，，，则的大小为( )
A. B. C. D. 或
7.设点，，不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形若，，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为( )
A. B. C. D.
9.函数图象上存在两点，满足，则下列结论成立的是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，若对于任意正数，关于的方程都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数的个数为( )
A. B. C. D. 无数
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的定义域是 ．
12.首项为的等比数列中，，，成等差数列，则公比 ．
13.能说明“若，则，其中”为假命题的一组，的值是 ．
14.如图，这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四个半圆组成，若正方形的边长为，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为 ．
15.如图，在棱长为的正方体中，点，分别在线段和上．
给出下列四个结论：
的最小值为；
四面体的体积为；
有且仅有一条直线与垂直；
存在点，，使为等边三角形．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知函数．
若，且，求的值；
求函数的最小正周期，及函数的单调递减区间．
17.本小题分
在中，已知，请从下列三个条件中选择两个，使得存在，并解答下列问题：
求的大小；
求和的值．
条件：；条件：；条件：．
18.本小题分
某校工会开展健步走活动，要求教职工上传月日至月日微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：
从月日至月日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于的概率；
从月日至月日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于的天数为，求的分布列及数学期望；
如图是校工会根据月日至月日某一天的数据，制作的全校名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位名教职工中排名分别为第和第，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图结论不要求证明
19.本小题分
如图，在多面体中，四边形是边长为的正方形，平面平面，，，．

求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值；
线段上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由．
20.本小题分
已知函数．
若曲线在点处的切线斜率为，求实数的值；
当时，求证：；
若函数在区间上存在极值点，求实数的取值范围．
21.本小题分
已知数列，对于任意的，都有，则称数列为“凹数列”．
已知数列，的前项和分别为，，且，，试判断数列，数列是否为“凹数列”，并说明理由；
已知等差数列，首项为，公差为，且为“凹数列”，求的取值范围；
证明：数列为“凹数列”的充要条件是“对于任意的，，，当时，有”
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.答案不唯一，如，
14.
15.
16.因为，且，
所以，，
所以．
，
所以函数的最小正周期．
由，，
解得，．
所以函数的单调递减区间，．

17.若选择：，，
在中，由正弦定理得．
因为，即，
可知，所以；
若选择：，，
在中，因为由正弦定理得．
在中，，即，
可知，所以；
若选：，，
因为，即，可知；
又因为，即，可知；
两者相矛盾，故不成立．
由可知：不能选．
若选择：在中，，即，可知，
且，可得，
则，
可知，则，
由正弦定理可得，
又因为，所以；
选择：在中，，即，可知，
且，可得，
则，
且，可得，
又因为，则，
由正弦定理可得．

18.设“职工甲和职工乙微信计步数都不低于”为事件
从月日至月日这七天中，月日，月日，月日这三天职工甲和职工乙微信记步数都不低于，所以．
由图可知，天中乙的步数不低于步的天数共天．
的所有可能取值为，
，
的分布列为
月日
由直方图知，微信记步数落在单位：千步区间内的人数依次为
，．
由甲的排名为第，可知当天甲的微信步数在之间，
据折线图知，这只有月日、月日和月日；
而由乙微信记步数排名第，可知当天乙微信记步数在之间，
根据折线图知，这只有月日和月日．
所以只有月日符合要求．

19.解：因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为四边形 是正方形，
所以 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
由得 平面 ，因为 平面 ，所以 ， ， 两两垂直，
以 为原点， 为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为 ， ，
所以 ， ．
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 得 ，
因为 平面 ，所以 为平面 的一个法向量， ，
所以 ，
设平面 与平面 夹角为 ，
所以 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值 ．
线段 上存在点 ，点 为 中点，满足 平面 ，证明如下：
设 ，
因为 ，
所以 ，
由知平面 的一个法向量为 ，
因为 平面 ，
所以 ，解得 ，
所以线段 上存在点 ，点 为 中点，满足 平面 ．

20.解：因为，
所以．
由题知，
解得．
当时，，
所以．
当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增；
所以是在区间上的最小值．
所以．
由知，．
若，则当时，，在区间上单调递增，
此时无极值．
若，令，
则．
因为当时，，所以在上单调递增．
因为，
而，
所以存在，使得．
和的情况如下：
极小值
因此，当时，有极小值．
综上，的取值范围是．

21.由于为等差数列，所以，为等比数列，，任意的，都有，故，所以数列是为“凹数列”，
任意的，都有，
故，所以数列不是为“凹数列”，
因为等差数列的公差为，，所以，
因为数列是凹数列，所以对任意，恒成立，
即，
所以，即，
因为，解得所以的取值范围为．
先证明必要性：因为为“凹数列”所以对任意的，都有，即，所以对任意的，，，当时，有，所以，
又，
所以，所以，必要性成立；
再证明充分性：对于任意的，，，当时，有，
取，，则有，
即，所以为“凹数列”．

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