2023-2024学年上海市宝山区罗店中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年上海市宝山区罗店中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知圆：，：，则两圆的位置关系为( )
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
3.设，，，是空间中给定的个不同的点，则使得成立的点的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4.已知数列为无穷数列若存在正整数，使得对任意的正整数，均有，则称数列为“阶弱减数列”有以下两个命题：数列为无穷数列且为正整数，则数列是“阶弱减数列”的充要条件是；数列为无穷数列且为正整数，若存在，使得数列是“阶弱减数列”，则那么( )
A. 是真命题，是假命题 B. 是假命题，是真命题
C. 、都是真命题 D. 、都是假命题
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.直线经过点和，则此直线的斜率为______．
6.双曲线的右焦点坐标是______．
7.若用数学归纳法证明成立，正整数的第一个取值为______．
8.若和都是平面的法向量，则和的关系是______．
9.设等差数列的前项和为，若，则 ______．
10.已知球的表面积为，则该球的体积为______．
11.已知数列是等比数列，且，，则 ______．
12.若直线截圆所得弦长为，则 ______．
13.已知正四棱锥的体积为，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于______
14.已知是椭圆的右焦点，是椭圆上一动点，，则周长的最大值为______．
15.已知数列为无穷等比数列，若，则的取值范围为______．
16.体积为的正四面体内有一个球，球与该正四面体的各面均有且只有一个公共点，，是球的表面上的两动点，点在该正四面体的表面上运动，当最大时，的最大值是______．
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，四棱锥的底面为菱形，平面，，为棱的中点．
求证：平面；
若，求点到平面的距离．
18.本小题分
已知数列的前项和为，其中，且．
求的通项公式；
求数列的前项和．
19.本小题分
椭圆中心在原点，焦点在轴上，、分别为上、下焦点，椭圆的离心率为，为椭圆上一点且．
若的面积为，求椭圆的标准方程；
若的延长线与椭圆另一交点为，以为直径的圆过点，为椭圆上动点，求的范围．
20.本小题分
从一张半径为的圆形铁皮中截剪出一块扇形铁皮如图阴影部分，成一个深度为米的圆锥筒如图若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为．
求圆锥筒的容积；
在中的圆锥内有一个底面圆半径为的内接圆柱如图，求内接圆柱侧面的最大值以及取最大值时的值．
21.本小题分
已知，曲线、的方程分别为和，与在第一象限内相交于点
若，求的值；
若，定点的坐标为，动点在直线上，动点在曲线上，求的最小值；
已知点、在曲线上，点、关于直线的对称点分别为、，设的最大值为，的最大值为，若，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.共线
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.
16.
17.证明：连接，如图，
底面为菱形，，
为等边三角形，
为的中点，，
，，
平面，平面，
，
，平面；
以为坐标原点，、、所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，，
，
设平面的法向量为，
则，令，则，
，
又，
点到平面的距离为：．
18.解：当，且时，有，
当，且时，有，
两式相减，得，
当时，，适合，
，；
，；
，
因此．
19.解：由椭圆的对称性以及
可知，为椭圆的左顶点或右顶点，
不妨设，
解得，
．
椭圆的离心率为，，
则，，，
设点，
以为直径的圆过点，，
．
又的延长线与椭圆另一交点为，
则、、三点共线，
，
，，
又在椭圆中，
则代入椭圆方程有，解得，
所以，
设椭圆上动点，
则，，
，，
．
20.解：根据题意，设圆锥筒的半径为，容积为，
所裁剪的扇形铁皮的圆心角为，
，解得，
，
．
故圆锥筒的容积为；
设内接圆柱高为，
则有：，
内接圆柱侧面积，
当时内接圆柱侧面积最大值，且其最大值为
21.解：联立，由点在第一象限，
得，由，得，所以；
曲线和关于直线对称，取关于的对称点，
则在曲线上，
，又因为，
所以只需求到上动点的距离的最小值，
令，则，
当时，的最小值为，，
所以当，时，的最小值为；
由可得，，
，，
因此当时，，当时，，
由，得，解得，
所以实数的取值范围为
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