2023-2024学年江苏省连云港市东海县高一（下）期中数学试卷（含答案）

2023-2024学年江苏省连云港市东海县高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为( )
A. B. C. D.
2.在中，“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.设，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
4.设为实数，向量，，且，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
5.在中，已知，，且最大边的长为，则的最小边为( )
A. B. C. D.
6.将函数的图象向右平移个单位长度后得到曲线若曲线关于原点对称，则的最小值是( )
A. B. C. D.
7.已知，则( )
A. B. C. D.
8.在中，，，是以为直径的圆上任意一点，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，，是三个非零向量，则下列命题正确的有( )
A.
B.
C. 不与垂直
D.
10.已知，是关于的方程的两根，其中，若为虚数单位，则( )
A. B.
C. D.
11.在锐角中，角、、的对边分别为、、，且满足，，则下列说法正确的有( )
A. 外接圆面积是
B. 面积的最大值是
C. 周长的取值可以是
D. 内切圆半径的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的零点为______．
13.某人在高出海面的山顶处，测得海面上的航标在正东方向，俯角为，航标在南偏东的方向上，俯角为，若航标、间的距离为米，则山的海拔高度为______米
14.已知中，，，在边上，且，是边上的中点若与交于点，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知点，，，且点满足．
若点在直线上，求的值；
若，求．
16.本小题分
已知锐角，满足，．
求的值；
求的值．
17.本小题分
已知满足．
求；
若为的角平分线，，，求的周长．
18.本小题分
已知向量，，设函数．
求函数的最小正周期；
解不等式；
若对，都有成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知中，角，，的对边为，，，是边上的中点．
若．
求；
若，，求的面积；
若，，，试探究存在时，，满足的条件．
参考答案
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15.解：根据题意，因为点在直线上，故可设点，
又由点，，，
则，，，
由，可得，
即，解可得：；
由已知，
所以，
因为，所以，
解得，
所以，
因此，．
16.解：因为，，所以，
所以，
，
所以
；
因为，
所以
，
又因为为锐角，所以．
17.解：在中，由正弦定理可得，
即，
由余弦定理可得，
所以，
因为，所以；
因为，，
设边上的高为，
因为为的角平分线，所以，
所以的面积，
的面积：，
因此，即，
在中，由余弦定理：
，
所以，
而，，所以，
又因为，
民，
解得，
所以的周长为：．
18.解：，
即，
所以函数的最小正周期；
，
则，
所以，，解得，，
所以的解集为，
因为
，
对，都有成立，
则，
即对成立，
令，由知时，，
则问题转化为对成立，
即对成立，
故，当且仅当时，等号成立，即，
所以，
故的取值范围为
19.解：在中，因为，
由正弦定理可得，
所以，
因为，得，
所以，
故；
在中，由余弦定理得，即，
因为是边上的中点，
所以，即，
得，
所以的面积为；
如图所示，在中，由余弦定理得，即；
因为是边上的中线，
所以，两边平方有，
将式代入，得，与同号，
当时，，存在，
当时，，
由可得，
因为，
所以，即，
当为锐角时，，，，式为，
令，，知在上单调递减，所以，
当为钝角时，，，，式为，
令，，知在上单调递增，所以，
所以，当时，，存在；
当为锐角时，，存在；
当为钝角时，，存在．
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