江苏省南通市2023-2024学年高二（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年江苏省南通市高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列，的通项公式可能是( )
A. B. C. D.
2.圆和圆的位置关系为( )
A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切
3.某校文艺部有名同学，其中高一年级名，高二年级名从这名同学中随机选名组织校文艺汇演，则两个年级都至少有名同学入选的选法种数为( )
A. B. C. D.
4.已知是抛物线：的焦点，点在上，则( )
A. B. C. D.
5.设是等比数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆：，直线经过点与交于，两点若是线段的中点，则的方程为( )
A. B. C. D.
7.已知平行六面体中，，，，则，( )
A. B. C. D.
8.已知是双曲线：的右焦点，直线与交于，两点若的周长为，则的离心率为( )
A. B. C.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列等式中，正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知曲线：，则( )
A. 关于原点对称 B. 关于轴对称
C. 关于直线对称 D. 为的一个顶点
11.已知正方体的棱长为，，分别是棱，的中点，则( )
A. B. 是平面的一个法向量
C. 共面 D. 点到平面的距离为
12.已知数列中，，，在和之间插入个数，和之间插入个数，，和之间插入个数，，使得构成的新数列是等差数列，则( )
A. 的公差为
B. 和之间插入的个数是和
C.
D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.直线：经过的定点坐标为______．
14.写出符合下列两个条件的一个双曲线的标准方程为______．
实轴长为；渐近线方程为．
15.第三届“一带一路”国际高峰论坛于年月在北京召开，某记者与参会的名代表一起合影留念人站成一排若记者不站两端，且代表甲与代表乙相邻的不同排法方式有______种
16.已知圆：，，是上的两个动点，且设，，则的最大值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
记为数列的前项和．
若为等差数列，且，，，求的最小值；
若为等比数列，且，求的值．
18.本小题分
如图，在正四棱柱中，，，分别为和的中点．
证明：；
求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，已知直线经过抛物线：的焦点，与交于，两点，与的准线交于点．
求的值；
若，，成等差数列，求．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，．
求二面角的正弦值；
在棱上确定一点，使异面直线与所成角的大小为，并求此时点到平面的距离．
21.本小题分
已知数列满足，，数列的前项和满足．
求，的通项公式；
设，求数列的前项和．
22.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作不与坐标轴垂直的直线交于，两点，点的坐标为．
证明：；
设点关于轴的对称点为，求的面积的最大值．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.
16.
17.解：设的公差为，
由，，可得，，
解得，，
由，
解得或，
因为，所以的最小值为．
设的公比为，
由，，得，
将代入，得，
所以，，
所以．
18.解：证明：在正四棱柱中，以为正交基底建立空间直角坐标系，如图，
，，则，，，，
，，
，．
由，得，
设平面的法向量，
由，得，
由，得，
令，得，，即，
设直线与平面所成角的大小为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
19.解：因为抛物线的焦点为，
所以，即，
所以的方程为；
设直线的方程为，
由，消得，
设，，则，
又，，所以，
所以；
因为，，成等差数列，
所以，且，
即，
又，解得，，
由，解得，
所以．
20.解：根据题意，分别以，，所在直线为，，轴，建系如图，
，，
，，，，
，，，
设平面与平面的法向量分别为，，
则，，
取，，
，，
二面角的正弦值为；
设，
则．
异面直线与所成角的大小为，
，，
解得，此时，
点到平面的距离为．
21.解：由，得，
因为，所以，
所以，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，即；
由，
得，
，得，
即，
即，
当时，，，所以，
所以，
因为符合上式，所以；
由知，，
所以
，
所以，
，得
，
所以．
22.解：证明：易知，，
不妨设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
要证，
即证直线，的斜率之和，
因为，
又，
所以，
则，的倾斜角互补，
即；
由以及椭圆的对称性可知，直线经过点，
不妨设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，，
所以，
则，
因为点到直线的距离，
所以的面积，
不妨设，，
此时，
当，即时，面积取得最大值，最大值为．
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