2024-2025学年江苏省无锡一中艺术班高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省无锡一中艺术班高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
3.若二次函数在区间上存在一个零点，则的取值范围是( )
A. B.
C. D. 或
4.已知函数，，则函数的图像是( )
A. B.
C. D.
5.已知函数在定义域上是减函数，则实数的取值可以为( )
A. B. C. D.
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.“”是“幂函数在上是减函数”的一个条件．
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
8.地震里氏震级是地震强度大小的一种度量地震释放的能量单位：焦耳与地震里氏震级之间的关系为已知两次地震的里氏震级分别为级和级，若它们释放的能量分别为和，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设正实数，满足，则( )
A. 的最大值是 B. 的最小值为
C. 最小值为 D. 最小值为
10.下列命题正确的是( )
A. 命题：“，都有”的否定为“，使得”
B. 设定义在上函数，则
C. 函数的单调递增区间是
D. 已知，，，则，，的大小关系为
11.下列四个结论中，正确的结论是( )
A. 与表示同一个函数
B. 定义在上的偶函数满足：，且对任意，，都有，则的解集是
C. 设函数，则对，，恒成立
D. 已知，，则的取值范围的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算： ______．
13.若，则 ______．
14.已知函数是偶函数，当时，，则当时， ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设集合，，．
，求；
若，求的取值范围．
16.本小题分
函数是一次函数，且，求的解析式；
已知函数的定义域为，且，判断的单调性，并用函数单调性的定义进行证明．
17.本小题分
已知函数，．
，用表示，中的最小者，记作，当时，分别用图象法和解析法表示函数，并写出的单调递增区间；
已知，求在上的最小值．
18.本小题分
随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施．某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度单位：千米小时和车流密度单位：辆千米所满足的关系式：研究表明：当隧道内的车流密度达到辆千米时造成堵塞，此时车流速度是千米小时．
若车流速度不小于千米小时，求车流密度的取值范围；
隧道内的车流量单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆小时满足，求隧道内车流量的最大值精确到辆小时，并指出当车流量最大时的车流密度精确到辆千米参考数据：
19.本小题分
设函数且是定义在上的奇函数．
求的值；
若，求使不等式对一切恒成立的实数的取值范围；
若函数的图象过点，求在上的最小值．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：当时，，
又因为，
所以；
因为，所以，
若，则，
解得，
若，则，
解得，
综上所述，的取值范围是，．
16.解：函数是一次函数，且，
设，则，
，
，解得，或，或；
，即，．
，，且，有
，
由于，，，，即，
所以函数在区间上单调递增．
17.解：时，，
当时，，解得，负值舍去，
当时，，解得或舍去，
画出的图象，如图所示，
解析法表示，，
由图象可得，单调递增区间为和；
，
当，即时，此时最小值为；
当，即时，此时最小值为；
当，即时，此时最小值为；
综上所述：．
18.解：由题意知当辆千米时，千米小时，
代入，解得，所以，
当时，，符合题意；当时，令，解得，所以．
所以，若车流速度不小于千米小时，则车流密度的取值范围是．
解：由题意得，
当时，为增函数，所以，当时等号成立；
，
当且仅当，即时等号成立．
所以，隧道内车流量的最大值约为千米小时，此时车流密度约为辆千米．
19.解：因为是定义在上的奇函数，
所以，解得，
当时，，
所以，
所以为奇函数，
所以；
由得，
若，则，结合且，解得，
因为时，函数为单调增函数，函数为单调减函数，
则为单调递增函数，
等价于，
可得，
则依题意有对一切恒成立，
则，解得，
即实数的取值范围为；
函数的图象过点，，结合且，解得，
，
，，
设，由知为单调递增函数，
所以当时，，
记，，
当，即时，在上单调递减，
所以；
当，即时，
在上单调递减，在上单调递增，
所以；
当，即时，在上单调递增，
所以；
综上，当时，最小值为；
当时，最小值为；
当时，最小值为．
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