2024-2025学年上海市浦东新区进才中学高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市浦东新区进才中学高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线、、、相应的依次为( )
A.
B.
C.
D.
2.已知集合，，若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知，则“对任意，，”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知、、是三角形的三边，对于代数式，有下列说法：有最小值，有最大值，则( )
A. 和均为真命题 B. 和均为假命题
C. 为真命题，为假命题 D. 为假命题，为真命题
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.函数的定义域为集合，集合，则 ______．
6.已知指数函数的图像经过点，则该指数函数的解析式为______．
7.已知，化简 ______．
8.若，则这是一个______命题填“真”或“假”．
9.已知，则实数 ______．
10.幂函数的图象关于轴对称，则实数______．
11.若关于的不等式对任意恒成立，则的最小值为______．
12.不等式与不等式解集相同，则 ______．
13.已知实数，满足，则的最小值为______．
14.，，若，则的取值范围为______．
15.若集合中有且只有个元素，且这个元素恰为直角三角形的三边，则______．
16.设函数，集合，则下列命题正确的有______．
当时，集合；
当时，；
当，则的取值范围是；
若其中，则．
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数其中，且．
若，求的值．
求关于的方程的解．
18.本小题分
已知，求证：；
证明：是无理数．
19.本小题分
随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度单位：千米小时和车流密度单位：辆千米所满足的关系式：研究表明：当隧道内的车流密度达到辆千米时造成堵塞，此时车流速度是千米小时．
若车流速度不小于千米小时，求车流密度的取值范围；
隧道内的车流量单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆小时满足，求隧道内车流量的最大值精确到辆小时，并指出当车流量最大时的车流密度精确到辆千米．
20.本小题分
已知函数．
若不等式的解集为，求的值；
当时，若存在，使得，求的取值范围；
若对任意恒成立，求实数的取值范围．
21.本小题分
若函数对任意的均有，则称函数具有性质．
判断函数是否具有性质，并说明理由；
全集为，函数，试证明具有性质；
具有性质，且，求证：对任意，均有．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.真
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：因为，
所以，
所以，
所以，
所以．
因为，
则，即，
所以．
18.证明：，
，，，
，
，
所以．
假设是有理数，
则，其中为既约分数，
则，
则，
这与为偶数，为奇数相矛盾，
所以假设不成立，所以是无理数．
19.解：当时，，符合题意；
当时，令，解得，
所以，
所以若车流速度不小于千米小时，则车流密度的取值范围是；
由题意得设，
当时，为增函数，所以，当时等号成立；
当时，
，
因为，所以，
因为，当且仅当，即时不等式取等号，
所以，
所以，
又因为，
所以隧道内车流量的最大值为辆小时，此时车流密度约为辆千米．
20.解：由已知得的解集为，
可得，即，
又解集为，
故有，，
故；
当时，，
若存在，使得，
即成立，，
令，
因为，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为，
所以时，结论成立，
故使有解的实数的范围为；
恒成立恒成立，
则或恒成立，
化简得或恒成立，
当时，解得或，
不符合题意；
当时，解得或，
不符合题意；
当时，
解得或，
要使不等式解集为，
则，
所以，解得；
当时，解得或，不符合题意；
当时，解得或，不符合题意；
综上可知，的取值范围是．
21.解：若，
则，
因为，所以取不到等号，
所以，
即任意的成立，
即函数具有性质；
证明：若为有理数时，具有性质，理由如下：
，
，
所以恒成立，
即对于任意有理数恒成立，故具有性质；
当为无理数时，具有性质，理由如下：
，
故具有性质，
综上所述，当时，均有，
故函数具有性质；
假设为，，，中首个大于的值，
则，
由于具有性质，
所以，
所以，
这与矛盾，
故假设不成立，
所以对任意，均有．
第1页，共1页