2024-2025学年海南省海口中学高一（上）期中数学试卷（A卷）（含答案）

2024-2025学年海南省海口中学高一（上）期中
数学试卷（A卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则集合的真子集的个数为( )
A. B. C. D.
2.函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数的定义域为，则的定义域为( )
A. B. C. D.
4.关于函数的结论正确的是( )
A. 值域是 B. 单调递增区间是
C. 值域是 D. 单调递增区间是
5.命题“，”为真命题的充要条件是( )
A. B. C. D.
6.函数，若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知定义在上的函数满足，且在上是增函数，不等式对于恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.记表示，中最大的数，记，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在下列命题中，真命题有( )
A. ， B. ，是有理数
C. ，，使 D. ，
10.已知二次函数为常数，且的部分图象如图所示，则( )
A.
B.
C.
D. 不等式的解集为
11.已知实数，，满足，且，则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，且，则的最小值为______．
13.已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，，则 ______．
14.已知函数称为高斯函数，表示不大于的最大整数，如，，若，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知全集，集合，，．
分别求，；
若，求的取值范围．
16.本小题分
已知函数．
已知，若，求实数取值范围；
求在上的最小值；
求中函数的最大值．
17.本小题分
某水产养殖户投资万元建一个龙虾养殖基地，已知年内付出的各种维护费用之和满足二次函数，且第一年付出的各种维护费用为万元，第二年付出的各种维护费用为万元，龙虾养殖基地每年收入万元．
扣除投资和各种维护费用，求该龙虾养殖基地年共获得的纯利润之和用只含有的表达式表示；
若干年后该水产养殖户为了投资其他项目，对该龙虾养殖基地有两种处理方案：
年平均利润最大时，以万元出售该龙虾养殖基地；
纯利润总和最大时，以万元出售该龙虾养殖基地．
问该水产养殖户会选择哪种方案？请说明理由．
18.本小题分
函数是定义在上的奇函数，且．
求的解析式；
判断并证明的单调性；
解不等式．
19.本小题分
对于在平面直角坐标系第一象限内的两点，作如下定义：若，则称点领先于点．
试判断点是否领先于点，并说明理由；
若点领先于点，试证明：点领先于点
对，，点领先于点，且点领先于点，求符合条件的正整数组成的集合中元素的个数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，
所以；
因为或，
所以或或；
解：因为，
所以，
当时，则有，解得，
当时，则有，解得；
综上，且，
所以的取值范围为且．
16.解：已知函数，
因为，，
所以，即，解得；
故实数的取值范围为；
函数的对称轴为，
当，即时，在上单调递增，故；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
故；
当，即时，在上单调递减，故；
综上所述在上的最小值为；
由可知：
当时，在上单调递增，的最大值为；
当时，在上单调递增，
在上单调递减，的最大值为；
当时，在上单调递减，的最大值为；
综上所述，的最大值为．
17.解：由题意得，解得，
．
方案：年平均利润，
当，即时，取最大值．
年平均利润最大时，以万元出售该基地共获利润万元．
方案：纯利润总和，
当时，纯利润总和最大，为万元，
纯利润总和最大时，以万元出售该基地共获利润万元，
两种方案盈利相同，但方案时间比较短，所以选择方案．
18.解：根据题意，函数是定义在上的奇函数，
则，解可得；
又由，则有，解可得；
则；
由的结论，，在区间上为增函数；
证明：设，
则，
又由，
则，，，，
则，
则函数在上为增函数；
根据题意，，
解可得：，
即不等式的解集为
19.解：对于在平面直角坐标系第一象限内的两点，作如下定义：若，则称点领先于点，
由条件，证是否成立，即证，
即证，即证，即证，该式显然正确，
所以点领先于点；
证明：要证点领先于点，即证，
即证，
即证，由条件点领先于点知该式显然成立，即证；
由条件知，，有，
即，，有，
先考虑变量，需要恒成立，所以，有，
再考虑变量，存在即可，所以，解得，
又因为，故，易知该集合中有个元素，
则符合条件的正整数组成的集合中元素的个数为个．
第1页，共1页