2024-2025学年福建省部分学校新高考高三（上）质检数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省部分学校新高考高三（上）质检数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知等比数列为递增数列，若，，则公比( )
A. B. C. D.
4.已知函数，满足，则实数的值为( )
A. B. C. D.
5.在中，角，，的对边分别为，，，已知，则的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
6.如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱若侧面水平放置时，液面恰好过，，，的四等分点处，，当底面水平放置时，液面高为( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线的焦距与其虚轴长之比为：，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.某城市采用摇号买车的方式，有万人摇号，每个月摇上的人退出摇号，没有摇上的人继续进入下月摇号，每个月都有人补充进摇号队伍，每个季度第一个月摇上的概率为，第二个月为，第三个月为，则平均每个人摇上需要的时间为个月．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，为实数，随机变量，且，则( )
A. B. C. D.
10.如图，在棱长为的正方体中，点是正方体的上底面内不含边界的动点，点是棱的中点，则以下命题正确的是( )
A. 三棱锥的体积是定值
B. 存在点，使得与所成的角为
C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
D. 若，则的轨迹的长度为
11.利用不等式“”可得到许多与且有关的结论，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，已知，，点为的外心，点为重心，则 ______．
13.已知，，若对任意实数都有恒成立，则满足条件的一组有序数对为______．
14.已知函数有且只有一个零点，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知为数列的前项和，若．
求证：数列为等比数列；
令，若，求满足条件的最大整数．
16.本小题分
在中，内角，，的对边分别是，，，若，且满足．
求的值；
设，求外接圆的半径．
17.本小题分
如图所示，是的直径，点是上异于，的动点，平面，，分别为，的中点．
求证：平面；
若，二面角的正弦值为，求．
18.本小题分
已知椭圆：的离心率为，且经过点
求椭圆的标准方程；
过点作直线与椭圆相交于，两点，试问在轴上是否存在定点，使得两条不同直线，恰好关于轴对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知．
将，，，按由小到大排列，并证明；
令，求证：在内无零点．
参考答案
1.
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8.
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10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：证明：由可得，
当时，，解得，
当时，，即，
则
，即，
即，即，
又，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
由得，则，
设，
则
令，得，
即，即，
又，，，
所以满足条件的最大整数为为．
16.解：由，结合正弦定理，得．
因为，所以．
由余弦定理，得，
所以，所以，
即，
整理，得，
解得舍负．
由，，得．
又，所以是边长为的正三角形．
由，知，，三点共线，且．
由，知，，三点共线，且．
在中，由余弦定理，得，所以．
由正弦定理，得，
所以，即外接圆的半径为．
17.解：证明：由平面，知，
由是的直径，知，
，
平面，
由，分别是，的中点，知，
平面．
以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，
设，，且，
易知平面的一个法向量，
设平面的一个法向量，则
则，即
取，得，，则，
二面角的正弦值为，则其余弦值为，
，
又，，
解得，．
故BC．
18.解：由题意，
，解得．
椭圆的标准方程为；
在轴上假设存在点，使得，恰好关于轴对称，
设，，
再设直线：，，
联立，得．
则，，
由，可得，
即，
可得．
则，得，即．
故在轴上是否存在定点，使得两条不同直线，恰好关于轴对称．
19.解：设，则，设，则，
因为时，恒成立．
所以在上单调递增，即在上单调递增；
所以，
所以在上单调递增，
从而，
即时，恒有成立．
又，由，知，
所以，即，
综上，．
证明：要证在内无零点，只需证．
由知，，
只需证，
即证，即证，
令，则，设，则，
当时，有，所以在上单调递增，
即在上单调递增，所以，
从而在上单调递增，所以，
所以在内无零点．
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