(共24张PPT)
鲁教版 八年级上
第一章 因式分解
2 提公因式法
第1课时 公因式是单项式的因式分解
01
基础题
02
综合应用题
03
创新拓展题
目 录
CONTENTS
练点1 公因式
1. [2024·烟台莱州市期中]多项式12 m3 n2＋8 m2 n －20 m2 n3
的公因式是( A )
A. 4 m2 n B. 4 m2 n2
C. 2 mn D. 8 m2 n
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2. [2023·永州]2 a2与4 ab 的公因式为 .
2 a
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练点2 提单项式公因式分解因式
3. 把多项式 x2－ x 提取公因式 x 后，余下的部分是( B )
A. x B. x －1
C. x ＋1 D. x2
【点拨】
x2－ x ＝ x ( x －1)，则把多项式 x2－ x 提取公因式 x
后，余下的部分是 x －1.
B
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4. [2024·威海期末]用提公因式法分解因式正确的是( C )
A. 12 abc －9 a2 b2 c2＝3 abc (4－3 ab )
B. 3 x2 y －3 xy ＋6 y ＝3 y ( x2－ x ＋2 y )
C. a2＋ ab － ac ＝ a ( a ＋ b － c )
D. x2 y ＋5 xy － y ＝ y ( x2＋5 x )
【点拨】
12 abc －9 a2 b2 c2＝3 abc (4－3 abc )；
3 x2 y －3 xy ＋6 y ＝3 y ( x2－ x ＋2)；
x2 y ＋5 xy － y ＝ y ( x2＋5 x －1).
C
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5. 分解因式：
(1)[2023·菏泽] m2－4 m ＝ ；
(2)[2023·温州]2 a2－2 a ＝ ；
(3) a2＋ ab － a ＝ .
m ( m －4)
2 a ( a －1)
a ( a ＋ b －1)
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6. [母题·教材P5例1·2023·济南期中]把下列各式进行因
式分解：
(1) x2＋ xy ；
【解】 x2＋ xy ＝ x ( x ＋ y ).
(2)3 ax －12 bx ＋3 x ；
【解】3 ax －12 bx ＋3 x ＝3 x ( a －4 b ＋1).
(3)6 ab3－2 a2 b2＋4 a3 b .
【解】6 ab3－2 a2 b2＋4 a3 b ＝2 ab (3 b2－ ab ＋2 a2).
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7. n 为正整数，若2 an－1－4 an＋1的公因式是 M ，则 M 等于
( C )
A. an－1 B. 2 an
C. 2 an－1 D. 2 an＋1
【点拨】
∵2 an－1－4 an＋1＝2 an－1(1－2 a2)，
∴2 an－1－4 an＋1的公因式是2 an－1，即 M ＝2 an－1.
C
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8. [荣德原创题]把多项式 x2 y5－ xynz 因式分解时，提取的公
因式是 xy5，则 n 的值可能为( A )
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
【点拨】
把多项式 x2 y5－ xynz 因式分解时，提取的公因式是
xy5，则 n ≥5.
A
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9. [新视角·结论开放题]一个二次二项式分解后，其中的一个
因式为 x －3，请写出一个满足条件的二次二项式：
.
10. [母题·教材P6习题T2(3)]若 x ＋ y ＝3， xy ＝2，则 x2 y ＋
xy2的值是 .
11. 计算：(－2)2 025＋(－2)2 026＝ .
【点拨】
(－2)2 025＋(－2)2 026＝(－2)2 025×(1－2)＝ 22 025.
x2－3 x (答案不唯一)
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22 025
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12. [情境题·生活应用]李明妈妈正要用如图①所示的蒸笼热
饭，李明发现这个蒸笼一排最多可以摆放3个大小不同的
圆形碗(如图②，3个碗碗口的圆心正好和蒸笼的圆心在
一条直线上)，则这3个碗口的周长之和为 .
(结果保留π)
22π cm
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【点拨】
设这3个碗的碗口的直径分别为 d1， d2， d3，由题意
可知， d1＋ d2＋ d3＝22 cm，则3个碗口的周长之和为π d1
＋π d2＋π d3＝π( d1＋ d2＋ d3)＝22π cm.
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13. 已知3 x3 ym－ n 与18 xm＋ ny5的公因式为3 x2 y4，求
m ， n 的值.
【解】∵3 x3 ym－ n 与18 xm＋ ny5的公因式为3 x2 y4，
∴解得
∴ m ， n 的值分别为3，－1.
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14. [母题·教材P7习题T4]用简便方法计算：
(1)123×6.28＋6.28×132－155×6.28；
【解】123×6.28＋6.28×132－155×6.28
＝6.28×(123＋132－155)
＝6.28×100
＝628.
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(2)4.2×202.4＋0.87×2 024－2.9×202.4.
【解】4.2×202.4＋0.87×2 024－2.9×202.4
＝4.2×202.4＋8.7×202.4－2.9×202.4
＝202.4×(4.2＋8.7－2.9)
＝202.4×10
＝2 024.
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15. [2024·青岛月考]如图，小明准备设计一个长方形的手工
作品，已知长方形相邻两边的长分别为 a ， b ( a ＞ b )，
周长为20，面积为16，求 a2 b － ab2的值.
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【解】∵长方形相邻两边的长分别为 a ， b ( a ＞ b )，周
长为20，面积为16，
∴2( a ＋ b )＝20， ab ＝16，
∴ a ＋ b ＝10，
∴( a － b )2＝( a ＋ b )2－4 ab ＝102－4×16＝36，
∵ a ＞ b ，∴ a － b ＝6，
∴ a2 b － ab2＝ ab ( a － b )＝16×6＝96.
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【点拨】
根据长方形的周长和面积公式求出 a ＋ b 和 ab 的
值，根据完全平方公式的变形得到 a － b 的值，再对所
求的多项式进行因式分解，整体代入求值即可.
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16. [新考法·整体代入法](1)已知 ab2＝6，求 a3 b6－ a2 b4－ ab2
的值；
【解】 a3 b6－ a2 b4－ ab2
＝ ab2( a2 b4－ ab2－1)
＝ ab2[ ab2( ab2－1)－1]，
∵ ab2＝6，
∴原式＝6×[6×(6－1)－1]＝6×29＝174.
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(2)已知2 x － y ＝ ，且 xy ＝2，求2 x4 y3－ x3 y4的值；
【解】2 x4 y3－ x3 y4
＝ x3 y3(2 x － y )
＝( xy )3(2 x － y )，
∵2 x － y ＝ ， xy ＝2，
∴原式＝23× ＝1.
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【解】∵( x ＋ y )2＝5，( x － y )2＝41，
即 x2＋2 xy ＋ y2＝5①， x2－2 xy ＋ y2＝41②，
∴由①＋②，得2( x2＋ y2)＝46；
由①－②，得4 xy ＝－36，
∴ x2＋ y2＝23， xy ＝－9，
∴ x3 y ＋ xy3＝ xy ( x2＋ y2)＝－9×23＝－207.
(3)已知 x ， y 满足( x ＋ y )2＝5，( x － y )2＝41，求 x3 y ＋
xy3的值.
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17. [新视角·猜想验证题](1)填空：
①33－4×32＋5×3＝ ；
②34－4×33＋5×32＝ ；
③35－4×34＋5×33＝ .
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(2)猜想下列各式的结果并验证第②个等式：
①32 025－4×32 024＋5×32 023＝ ；
②3 n＋2－4×3 n＋1＋5×3 n ＝ .
【解】②验证如下：3 n＋2－4×3 n＋1＋5×3 n ＝9×3 n
－12×3 n ＋5×3 n ＝(9－12＋5)×3 n ＝2×3 n .
2×32 023
2×3 n
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17(共39张PPT)
第1章 因式分解
1.2 提公因式法
第1课时 直接提公因式法
1
学习目标
2
课时导入
3
感悟新知
4
随堂检测
5
课堂小结
公因式
提公因式法
一、因式分解的概念
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式 .
二、整式乘法与分解因式之间的关系.
互为逆运算
回顾与思考
多项式ab＋bc各项都含有相同的因式吗？多项式3x2＋x呢？多项式mb2＋nb－b呢？尝试将这几个多项式分别写成几个因式的乘积，并与同伴交流.
知识点
公因式
1
公因式的定义：
一个多项式各项都含有的相同因式 ,叫做这个多项式各项的公因式 .
特别解读
1.公因式必须是多项式中每一项都含有的因式. 只在某项或某些项中含有而其他项中没有的因式不能成为公因式的一部分.
2. 公因式可以是单项式，也可以是多项式．
3. 若多项式各项中含有互为相反数的因式，则可将互为相反数的因式统一成相同的因式.
怎样确定多项式各项的公因式？
系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；
字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母；
指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂；
例1
指出下列多项式各项的公因式：
(1)3a2y－3ya＋6y； (2) xy3－ x3y2；
(3)a(x－y)3＋b(x－y)2＋(x－y)3；
(4)－27a2b3＋36a3b2＋9a2b.
(1)3，6的最大公约数是3，所以公因式的系数是3；有相同字母y，并且y的最低次数是1，所以公因式是3y.
(2)多项式各项的系数是分数，分母的最小公倍数是
27，分子的最大公约数是4，所以公因式的系数
解：
是 ；两项都有x，y，且x的最低次数是
1，y的最低次数是2，所以公因式是
(3)观察发现三项都含有x－y，且x－y的最低次数是2，所以公
因式是(x－y)2.
(4)此多项式的第一项是“－”号，应将“－”提取变为－(27a2b3－36a3b2－9a2b)．多项式27a2b3－36a3b2－9a2b各项系数的最大公约数是9；各项都有a，b，且a的最低次数是2，b的最低次数是1，所以这个多项式各项的公因式是－9a2b.
归纳
找准公因式要“五看”，即：一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项的系数的最大公约数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的次数：各相同字母的指数取次数最低的；四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看作整体，不要拆开；五看首项符号，若多项式中首项是“－”，一般情况下公因式符号为负．
1 . 多项式8x2y2－14x2y＋4xy3各项的公因式是( )
A．8xy B．2xy C．4xy D．2y
B
2. 式子15a3b3(a－b)，5a2b(b－a)的公因式是( )
A．5ab(b－a) B．5a2b2(b－a)
C．5a2b(b－a) D．以上均不正确
C
3. 下列各组式子中，没有公因式的是( )
A．4a2bc与8abc2
B．a3b2＋1与a2b3－1
C．b(a－2b)2与a(2b－a)2
D．x＋1与x2－1
B
4. 下列多项式的各项中，公因式是5a2b的是( )
A．15a2b－20a2b2
B．30a2b3－15ab4－10a3b2
C．10a2b2－20a2b3＋50a4b5
D．5a2b4－10a3b3＋15a4b2
A
议一议
(1)多项式2x2＋6x3中各项的公因式是什么？
(2)你能尝试将多项式2x2＋6x3因式分解吗？与同伴交流.
知识点
提公因式法
2
确定一个多项式的公因式时，要从____________
和__________________分别进行考虑 .
数字系数
字母及其指数
公因式的系数应取各项系数的最大公约数.
公因式中的字母取各项相同的字母，而且各项相同字母的指数取其次数最低的.
数字系数
字母及其指数
例2
(1)3x＋x3＝x·3＋x·x2＝x(3＋x2);
(2)7x3－21x2＝7x2·x－7x2·3＝7x2(x－3);
(3)8a3b2－12ab3c＋ab＝ab·8a2b－ab·12b2c＋ab·1
＝ab(8a2b－12b2c＋l)；
解：
把下列各式因式分解：
(1)3x＋x3； (2)7x3－21x2;
(3)8a3b2－12ab3c＋ab； (4)－24x3＋12x2－28x.
(4)－24x3＋12x2－28x
＝－( 24x3－12x2＋28x)
＝－(4x·6x2－4x·3x＋4x·7)
＝ －4x(6x2－3x＋7).
当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“－”号，使括号内第一项的系数成为正数.在提出“－”号时，多项式的各项都要变号.
想一想
提公因式法因式分解与单项式乘多项式有什么关系
例 3
导引：(1)题每一项都含有公因数978，把978作为公因式提出；(2)题先对所求式提取公因式，再整体代入计算．
利用提公因式法解答下列各题：
(1)计算：978×85＋978×7＋978×8；
(2)已知2x－y＝ ，xy＝2，求2x4y3－x3y4的值．
解：
(1)原式＝978×(85＋7＋8)＝978×100＝97 800.
(2)2x4y3－x3y4＝x3y3(2x－y)＝(xy)3(2x－y)．
当2x－y＝ ，xy＝2时，原式＝23× ＝
归纳
(2)题运用整体思想，利用提公因式法化简，得到与已知条件相关的因式，再整体代入求解．
1. 把下列各式因式分解：
(1)ma＋mb； (2)5y3＋20y2；
(3)6x－9xy； (4)a2b－5ab；
(5)4m3－6m2； (6)a2b－5ab＋9b；
(7)－a2＋ab－ac； (8)－2x3＋4x2－6x.
解：
(1) ma＋mb＝m(a＋b)．(2) 5y3＋20y2＝5y2(y＋4)．
(3) 6x－9xy＝3x(2－3y)．(4) a2b－5ab＝ab(a－5)．
(5) 4m3－6m2＝2m2(2m－3)．
(6) a2b－5ab＋9b＝b(a2－5a＋9)．
(7) －a2＋ab－ac＝－a(a－b＋c)．
(8) －2x3＋4x2－6x＝－2x(x2－2x＋3)．
2. 将3a(x－y)－b(x－y)用提公因式法分解因式，应提出的公因式是( )
A．3a－b B．3(x－y)
C．x－y D．3a＋b
C
3. 多项式x2＋x6提取公因式后，剩下的因式是( )
A．x4 B．x3＋1
C．x4＋1 D．x3－1
C
4. 把多项式a2－4a分解因式，结果正确的是( )
A．a(a－4)
B．(a＋2)(a－2)
C．a(a＋2)(a－2)
D．(a－2)2－4
A
5. 下列多项式因式分解正确的是( )
A．8abx－12a2x2＝4abx(2－3ax)
B．－6x3＋6x2－12x＝－6x(x2－x＋2)
C．4x2－6xy＋2x＝2x(2x－3y)
D．－3a2y＋9ay－6y＝－3y(a2＋3a－2)
B
6. 已知x2－2x－3＝0，则2x2－4x的值 为( )
A．－6 B．6
C．－2或6 D．－2或30
B
7. 如果多项式－ abc＋ ab2－a2bc的一个因式是－ ab，那么另一个因式是( )
A．c－b＋5ac B．c＋b－5ac
C．c－b＋ ac D．c＋b－ ac
A
8 . 因式分解：x2－2x＋(x－2)＝ _____________.
9 .已知x2＋3x－2＝0，则2x3＋6x2－4x＝________.
10.若ab＝2，a－b＝－1，则代数式a2b－ab2的值等于________．
(x＋1)(x－2)
0
－2
练点1 公因式
1. [2024·烟台莱州市期中]多项式12 m3 n2＋8 m2 n －20 m2 n3
的公因式是( A )
A. 4 m2 n B. 4 m2 n2
C. 2 mn D. 8 m2 n
A
2. [2023·永州]2 a2与4 ab 的公因式为 .
2 a
练点2 提单项式公因式分解因式
3. 把多项式 x2－ x 提取公因式 x 后，余下的部分是( B )
A. x B. x －1
C. x ＋1 D. x2
【点拨】
x2－ x ＝ x ( x －1)，则把多项式 x2－ x 提取公因式 x
后，余下的部分是 x －1.
B
1、确定公因式的方法：
(1)定系数 (2)定字母 (3)定指数
2、提公因式法分解因式步骤(分两步)：
第一步，找出公因式；第二步，提取公因式.
3、提公因式法分解因式应注意的问题：
(1)公因式要提尽；(2)小心漏掉1;
(3)提出负号时,要注意变号.
因式分解：－14x3－21x2＋28x.
易错点：首项符号为“－”时，在利用提公因式法分解因式的过程中出现符号错误
－14x3－21x2＋28x＝－7x(2x2＋3x－4)．
解：
一个多项式中第一项含有“－”时，一般要将“－”一并提出，但要注意括在括号里面的各项要改变符号．本题易出现－14x3－21x2＋28x＝－7x(2x2－3x＋4)的错误．
易错总结：
知识是力量，
梦想是翅膀。(共28张PPT)
第1章 因式分解
1.2 提公因式法
第2课时 变形后用提公因式法
1
学习目标
2
课时导入
3
感悟新知
4
随堂检测
5
课堂小结
多项式的变形原则
用提公因式法分解因式
什么是公因式？
提公因式法的一般步骤是什么？
回顾与思考
做一做
请在下列各式等号右边的括号前填入“＋”或“－”，
使等式成立：
(1) 2－a＝_____(a－2)； (2) y－x＝_____(x－y )；
(3) b＋a＝_____(a＋b)； (4)(b－a)2＝____(a－b)2；
(5) －m－n＝____(m＋n); (6)－s2＋t2＝___(s2－t2).
知识点
多项式的变形原则
1
添括号法则：
(1)添上括号和“＋”号，括到括号里的各项都不 变.
(2)添上括号和“－”号，括到括号里的各项都改变符号.
例 1
把a(x－y)－b(y－x)提公因式后，所得的另一个因式是( )
A．a－b B．a＋b
C．x＋y D．x－y
导引：因为y－x＝－(x－y)，所以若将－b(y－x)转化为＋b(x－y)，则多项式出现公因式x－y，由此可确定剩余的因式．
B
归纳
根据x－y与y－x互为相反数，将y－x化成－(x－y)，从而使原式出现公因式，体现了数学上的转化思想的运用．
1. 在下列各式中，从左到右的变形正确的是( )
A．y－x＝＋(x－y)
B．(y－x)2＝－(x－y)2
C．(y－x)3＝(x－y)3
D．(y－x)4＝(x－y)4
D
2. －m(m＋x)(x－n)与mn(m－x)(n－x)的公因式是( )
A．－m
B．m(n－x)
C．m(m－x)
D．(m＋x)(x－n)
B
3. 观察下列各组式子：
①2a＋b和a＋b； ②5m(a－b)和－a＋b；
③3(a＋b)和－a－b；④x2－y2和x2＋y2.
其中有公因式的是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
B
4. (x＋y－z)(x－y＋z)与(y＋z－x)(z－x－y)的公因式是( )
A．x＋y－z B．x－y＋z
C．y＋z－x D．不存在
A
例2
解： (1) a(x－3)＋2b(x－3)＝(x－3)(a＋2b)；
(2) y(x＋1)＋y2(x＋1)2＝y(x＋1)[1＋y(x＋1)]
＝y(x＋1)(xy＋y＋1).
把下列各式因式分解：
(1) a(x－3)＋2b(x－3); (2)y(x＋1)＋y2(x＋1)2.
知识点
用提公因式法分解因式
2
例 3
解：a(x－y)＋b(y－x)
＝a(x－y)－b(x－y)
＝(x－y)(a－b)；
把下列各式因式分解：
(1)a(x－y)＋b(y－x)； (2)6(m－n)3－12(n－m)2.
6(m－n)3－12(n－m)2
＝6(m－n)3－12[－(m－n)]2
＝6(m－n)3－12(m－n)2
＝ 6(m－n)2(m－n－2).
例4
下面用提公因式法分解因式的结果是否正确？
说明理由．若不正确，请写出正确的结果．
(1)3x2y－9xy2＝3x(xy－3y2)；
(2)4x2y－6xy2＋2xy＝2xy(2x－3y)；
(3)x(a－b)3(a＋b)－y(b－a)3＝(a－b)3[x(a＋b)－y]．
导引：
(1)中括号内的多项式还有公因式，没有分解完；
(2)中漏掉了商是“1”的项；
(3)中(a－b)3与(b－a)3是不同的，符号相反，另外中括号内没有化简．
解： (1)不正确，理由：公因式没有提完全；
正确的是：3x2y－9xy2＝3xy(x－3y)．
(2)不正确，理由：提取公因式后剩下的因式中有常数
项“1”；正确的是：4x2y－6xy2＋2xy＝2xy(2x－3y＋1)．
(3)不正确，理由：(a－b)3与(b－a)3不一样，应先统一，
且因式是多项式时要最简；正确的是：
x(a－b)3(a＋b)－y(b－a)3
＝x(a－b)3·(a＋b)＋ (a－b)3y ＝(a－b)3[x(a＋b)＋y]
＝(a－b)3(ax＋bx＋y)．
归纳
提公因式法分解因式，要注意分解彻底；当某项恰好是公因式时，提取公因式后要用“1”把守；
出现形如 (b－a)3，(b－a)2 等形式的问题，可化成－(a－b)3，(a－b)2的形式，即指数是奇数时要改变符号，指数是偶数时不改变符号，简言之：奇变偶不变．
1. 把下列各式因式分解：
(1)x(a＋b)＋y(a＋b)；
(2)3a(x－y)－(x－y)；
(3)6(p＋q)2－12(q＋p)；
(4)a(m－2)＋b(2－m)；
(5)2(y－x)2＋3(x－y)；
(6)mn(m－n)－m(n－m)2
解： (1)x(a＋b)＋y(a＋b)＝(a＋b)(x＋y)．
(2)3a(x－y)－(x－y)＝(x－y)(3a－1)．
(3)6(p＋q)2－12(q＋p)＝6(p＋q)(p＋q－2)．
(4)a(m－2)＋b(2－m)＝a(m－2)－b(m－2)＝(m－2)(a－b)．
(5)2(y－x)2＋3(x－y)＝2(x－y)2＋3(x－y)＝(x－y)[2(x－y)＋ 3]
＝(x－y)(2x－2y＋3)．
(6)mn(m－n)－m(n－m)2＝mn(m－n)－m(m－n)2＝m(m－n)
[n－(m－n)]＝m(m－n)(n－m＋n)＝m(m－n)(2n－m)．
2. 因式分解2x(－x＋y)2－(x－y)3时应提取的公因式是( )
A．－x＋y B．x－y
C．(x－y)2 D．以上都不对
C
3. 把多项式m2(a－2)＋m(2－a)因式分解，结果正确的是( )
A．(a－2)(m2－m)
B．m(a－2)(m＋1)
C．m(a－2)(m－1)
D．m(2－a)(m－1)
C
4. 若9a2(x－y)2－3a(y－x)3＝M·(3a＋x－y)，则M等于( )
A．y－x B．x－y
C．3a(x－y)2 D．－3a(x－y)
5. 若m－n＝－1，则(m－n)2－2m＋2n的值是( )
A．3 B．2 C．1 D．－1
C
A
练点1 提多项式公因式分解因式
1. [2023·东营月考]把2 x ( a － b )－4 y ( a － b )分解因式，结
果为( B )
A. 2( a － b )( x ＋2 y ) B. 2( a － b )( x －2 y )
C. ( a － b )(2 x ＋4 y ) D. ( a － b )(2 x －4 y )
B
2. 把多项式( m ＋1)( m －2)＋( m －2)提取公因式 m －2后，
余下的部分是 .
m ＋2
练点2 首项系数是负数时，提公因式分解因式
3. [母题·教材P7例3]把－2 xy －4 x2 y ＋2 xy2提取公因式后，
另一个因式是( C )
A. －2－4 x ＋2 y B. －1＋2 x ＋ y
C. 1＋2 x － y D. 2 x － y
C
1、公因式：各项都有的公共因式
2、确定公因式：定系数→定字母→定指数
3、步骤：观察多项式→确定公因式→提取公因式
→确定另外一个因式(找公因式→提公因式)
把－a(x－y)－b(y－x)＋c(x－y)分解因式，正确的结果是( )
A．(x－y)(－a－b＋c) B．(y－x)(a－b－c)
C．－(x－y)(a＋b－c) D．－(y－x)(a＋b－c)
B
易错点：分解因式时易忽视符号变化而出错
点拨：本题易错之处在于提取公因式后没有注意符号变化．
知识是力量，
梦想是翅膀。(共29张PPT)
鲁教版 八年级上
第一章 因式分解
2 提公因式法
第2课时 公因式是多项式的因式分解
01
基础题
02
综合应用题
03
创新拓展题
目 录
CONTENTS
练点1 提多项式公因式分解因式
1. [2023·东营月考]把2 x ( a － b )－4 y ( a － b )分解因式，结
果为( B )
A. 2( a － b )( x ＋2 y ) B. 2( a － b )( x －2 y )
C. ( a － b )(2 x ＋4 y ) D. ( a － b )(2 x －4 y )
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2. 把多项式( m ＋1)( m －2)＋( m －2)提取公因式 m －2后，
余下的部分是 .
m ＋2
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练点2 首项系数是负数时，提公因式分解因式
3. [母题·教材P7例3]把－2 xy －4 x2 y ＋2 xy2提取公因式后，
另一个因式是( C )
A. －2－4 x ＋2 y B. －1＋2 x ＋ y
C. 1＋2 x － y D. 2 x － y
C
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4. [2024·青岛月考]因式分解：
(1)－4 y2＋4 y ；
【解】－4 y2＋4 y
＝－(4 y2－4 y )
＝－4 y ( y －1).
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(2)－4 a3 b3＋6 a2 b －2 ab .
【解】－4 a3 b3＋6 a2 b －2 ab
＝－(4 a3 b3－6 a2 b ＋2 ab )
＝－2 ab (2 a2 b2－3 a ＋1).
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练点3 存在互为相反数的因式时，提公因式分解因式
5. [母题·教材P8例4(2)]把2( x －3)＋ x (3－ x )提取公因式 x －
3后，另一个因式是( C )
A. x －2 B. x ＋2
C. 2－ x D. －2－ x
【点拨】
2( x －3)＋ x (3－ x )＝2( x －3)－ x ( x －3)＝( x －3)(2－ x ).
C
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6. 下列因式分解正确的是( D )
A. b ( a －4)－ c (4－ a )＝( a －4)( b － c )
B. x2( x －2)2＋2 x ( x －2)2＝( x －2)2( x2＋2 x )
C. ( a － b )( a － c )＋( b － a )( b － c )＝( a － b )·( a ＋ b －2 c )
D. 5 a ( x － y )3＋10 b ( y － x )3＝5( x － y )3( a －2 b )
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b ( a －4)－ c (4－ a )＝ b ( a －4)＋ c ( a －4)＝( a －4)( b
＋ c )，A错误； x2( x －2)2＋2 x ( x －2)2＝ x ( x －2)2( x ＋2)，B错误；( a － b )( a － c )＋( b － a )( b － c )＝( a － b )( a － c )－( a － b )( b － c )＝( a － b )( a － c － b ＋ c )＝( a － b )2，C错误；5 a ( x － y )3＋10 b ( y － x )3＝5 a ( x － y )3－10 b ( x － y )3＝5( x － y )3( a －2 b )，D正确.
【点拨】
D
【答案】
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7. [2023·黄石]因式分解： x ( y －1)＋4(1－ y )＝ .
( y －1)( x－4)
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纠易错 分解因式时易忽视符号变化而出错
8. 把－ a ( x － y )－ b ( y － x )＋ c ( x － y )分解因式，正确的结
果是( B )
A. ( x － y )(－ a － b ＋ c )
B. ( y － x )( a － b － c )
C. －( x － y )( a ＋ b ＋ c )
D. －( y － x )( a ＋ b － c )
B
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9. [2024·泰安新泰市期中]代数式15 a3 b3( a － b )，5 a2 b ( b －
a )，－120 a3 b3( a － b )的公因式是( C )
A. 5 ab ( a － b ) B. 5 a2 b2( a － b )
C. 5 a2 b ( a － b ) D. 120 a3 b3( a － b )
C
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10. [新趋势·学科内综合]△ ABC 的三边长分别为 a ， b ，
c ，且 a ＋2 ab ＝ c ＋2 bc ，则△ ABC 是( B )
A. 等边三角形 B. 等腰三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
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∴( a － c )＋2 b ( a － c )＝0，∴( a － c )(1＋2 b )＝0.
∵ a ， b ， c 是△ ABC 的三边长，
∴1＋2 b ≠0，∴ a － c ＝0，
∴ a ＝ c ，即△ ABC 为等腰三角形.
【点拨】
∵ a ＋2 ab ＝ c ＋2 bc ，∴ a － c ＋2 ab －2 bc ＝0，
【答案】
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11. 若多项式( a ＋ b － c )( a ＋ c － b )＋( b － a ＋ c )·( b － a －
c )＝ M ·( a － b ＋ c )，则 M ＝( D )
A. 2( b － c ) B. 2 a
C. 2 b D. 2( a － c )
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【点拨】
∵(a+b－c)(a+c－b)+(b－a+c)(b－a－c)
=(a+b－c)(a+c－b)－(b－a+c)(a+c－b)
=(a+c－b)[(a+b－c)－(b－a+c)]
=(a－b+c)(a+b－c－b+a－c)=2(a－c)(a－b+c)，
∴M=2(a－c).
【答案】
D
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12. [新考法·分组分解法]因式分解： am ＋ an － bm － bn
＝ .
【点拨】
am+an－bm－bn
=(am+an)－(bm+bn)
=a(m+n)－b(m+n)
=(m+n)(a－b).
( m ＋ n )( a － b )
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13. [新考法·整体代入法](1)若 m － n ＝－1，则( m － n )2－2
m ＋2 n 的值是 ；
【点拨】
3
( m － n )2－2 m ＋2 n ＝( m － n )2－2( m － n )＝
( m － n )( m － n －2)，
∵ m － n ＝－1，
∴原式＝(－1)×(－1－2)＝3.
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(2)已知 x2－ x －1＝0，则代数式－ x3＋2 x2＋2 025的值
为 .
2 026
∵ x2－ x －1＝0，∴ x2－ x ＝1，
∴－ x3＋2 x2＋2 025
＝－ x ( x2－ x )＋ x2＋2 025
＝ x2－ x ＋2 025
＝1＋2 025
＝2 026.
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14. [母题·教材P8例4]分解因式：
(1)6( x ＋ y )2＋2( y － x )( x ＋ y )；
【解】原式＝2( x ＋ y )[3( x ＋ y )＋( y － x )]
＝2( x ＋ y )(2 x ＋4 y )＝4( x ＋ y )( x ＋2 y ).
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(2)( x －2 y )(2 x ＋3 y )－2(2 y － x )(5 x － y ).
【解】原式＝( x －2 y )(2 x ＋3 y )＋2( x －2 y )(5 x － y )
＝( x －2 y )[2 x ＋3 y ＋2(5 x － y )]
＝( x －2 y )(2 x ＋3 y ＋10 x －2 y )
＝( x －2 y )(12 x ＋ y ).
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15. 先因式分解，再求值：
(1)( a ＋ b )( a － b )－( a － b )2，其中 a ＝1， b ＝－ ；
【解】( a ＋ b )( a － b )－( a － b )2＝( a － b )( a ＋ b － a ＋ b )＝2 b ( a － b )，将 a ＝1， b ＝－ 代入，得原 式＝2× × ＝－ .
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【解】(2 x ＋1)2(3 x －2)－(2 x ＋1)(3 x －2)2－ x (2 x ＋
1)·(2－3 x )＝(2 x ＋1)2(3 x －2)－(2 x ＋1)(3 x －2)2＋ x
(2 x ＋1)·(3 x －2)＝(2 x ＋1)(3 x －2)(2 x ＋1－3 x ＋2＋
x )＝3(2 x ＋1)(3 x －2)，当 x ＝ 时，原式＝3× × ＝－3.
(2)(2 x ＋1)2(3 x －2)－(2 x ＋1)(3 x －2)2－ x (2 x ＋1)(2－3
x )，其中 x ＝ .
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16. [2024·淄博期中]父亲今年 x 岁，儿子今年 y 岁，父亲比儿
子大26岁，且 x2－ xy ＝1 040，请问父亲和儿子今年各多
少岁？
【解】由题意，得 x － y ＝26.
∵ x2－ xy ＝ x ( x － y )＝1 040，
∴26 x ＝1 040，解得 x ＝40，
∴ y ＝ x －26＝40－26＝14.
答：父亲和儿子今年分别是40岁、14岁.
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17. [新视角·新定义题]对于实数 a ， b ， c ， d ，规定一种运
算 ＝ ad － bc ，分解因式： .
【解】根据题中的新定义，得
＝4 x (1－ x )－2( x －1)2( x ＋1)
＝(1－ x )[4 x －2( x ＋1)(1－ x )]
＝2(1－ x )( x2＋2 x －1).
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18. [新视角·规律探究题]先阅读下面分解因式的过程，再回
答所提出的问题：
1＋ x ＋ x ( x ＋1)＋ x ( x ＋1)2
＝(1＋ x )[1＋ x ＋ x ( x ＋1)]
＝(1＋ x )2(1＋ x )
＝(1＋ x )3.
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(1)上述分解因式的方法是 ，共应用
了 次；
(2)若分解因式：1＋ x ＋ x ( x ＋1)＋ x ( x ＋1)2＋…＋ x ( x ＋1)2 025，则需应用上述方法 次，结果是
；
(3)分解因式：1＋ x ＋ x ( x ＋1)＋ x ( x ＋1)2＋…＋ x ( x ＋
1) n .( n 为正整数)
提公因式法
2
2 025
(1＋ x )2 026
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【解】1＋ x ＋ x ( x ＋1)＋ x ( x ＋1)2＋…＋ x ( x ＋1) n
＝(1＋ x )[1＋ x ＋ x ( x ＋1)＋…＋ x ( x ＋1) n－1]
＝(1＋ x )2[1＋ x ＋…＋ x ( x ＋1) n－2]
…
＝(1＋ x ) n (1＋ x )
＝(1＋ x ) n＋1.
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18(共33张PPT)
第1章 因式分解
1.3 公式法
第1课时 平方差公式
1
学习目标
2
课时导入
3
感悟新知
4
随堂检测
5
课堂小结
用平方差公式分解因式
平方差公式在分解因式中的应用
1、什么叫把多项式分解因式
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的分解因式.
2、已学过哪一种分解因式的方法
提公因式法
回顾与思考
整式乘法
因式分解
平方差公式：
(a+b)(a－b)=a2－b2
a2－b2= (a+b)(a－b)
这种分解因式的方法称为公式法.
知识点
用平方差公式分解因式
1
)
)(
(
b
a
b
a
-
+
=
b2
a2
-
)
)(
(
b
a
b
a
b2
a2
-
+
=
-
整式乘法
因式分解
两个数的和与两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差 .
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
平方差公式：
特别解读
1. 因式分解中的平方差公式是乘法公式中的平方差公式的逆用.
2. 乘法公式中的平方差指的是符合两数和与两数差的积的条件后，结果写成平方差；而因式分解中的平方差公式指的是能写成平方差形式的多项式，可以分解成两个数的和乘这两个数的差.
例 1
把下列各式因式分解:
(1)25－16x2； (2)9a2－ b2.
25－16x2
＝ 52－(4x)2
＝(5＋4x)(5－4x)；
解：
9a2－ b2
＝ (3a)2－( b)2
＝(3a＋ b)(3a－ b)
归纳
利用平方差公式分解两项式的一般步骤：
1. 找出公式中的a、b;
2. 转化成a2－b2的形式；
3. 根据公式a2－b2＝(a＋b) (a－b) 写出结果.
1. 判断正误：
(1) x2＋y2＝(x＋y)(x＋y)； ( )
(2) x2－y2＝(x＋y)(x－y)； ( )
(3) －x2＋y2＝(－x＋y)(－x－y)； ( )
(4) －x2－y2＝－(x＋y)(x－y)； ( )
2. 把下列各式因式分解：
(1) a2b2－m2；
(2) (m－a)2－(n＋b)2；
(3) x2－(a＋b－c)2；
(4) －16x4＋81y4.
解： (1)a2b2－m2＝(ab＋m)(ab－m)．
(2)(m－a)2－(n＋b)2＝[(m－a)＋(n＋b)]·[(m－a)
－(n＋b)]＝(m－a＋n＋b)(m－a－n－b)．
(3)x2－(a＋b－c)2＝[x＋(a＋b－c)][x－(a＋b－c)]
＝(x＋a＋b－c)(x－a－b＋c)．
(4)方法一：－16x4＋81y4＝－(16x4－81y4)
＝－(4x2＋9y2)(4x2－9y2)
＝－(4x2＋9y2)(2x＋3y)(2x－3y)．
方法二：－16x4＋81y4＝81y4－16x4＝(9y2＋4x2)
(9y2－4x2)＝(9y2＋4x2)(3y＋2x)(3y－2x)．
3. 如图，在一块边长为a cm的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b cm的正方形，求剩余部分的面积. 如果a＝3.6，b＝0.8 呢？
剩余部分的面积为a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)(cm2)．
当a＝3.6，b＝0.8时，
剩余部分的面积为a2－4b2＝(3.6＋1.6)×(3.6－1.6)
＝5.2×2＝10.4(cm2)．
解：
4. 下列各式不能用平方差公式分解因式的是( )
A．－x2＋y2 B．x2－(－y)2
C．－m2－n2 D．4m2－ n2
C
5. 下列各式中，可用平方差公式分解因式的有( )
①－a2－b2；②16x2－9y2；③(－a)2－(－b)2；
④－121m2＋225n2；⑤(6x)2－9(2y)2.
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
B
6. 分解因式：16－x2＝( )
A．(4＋x)(4－x) B．(x－4)(x＋4)
C．(8＋x)(8－x) D．(4－x)2
A
7. 下列因式分解正确的是( )
A．x2－4＝(x＋4)(x－4)
B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
C．3mx－6my＝3m(x－6y)
D．2x＋4＝2(x＋2)
D
8. 将(a－1)2－1分解因式，结果正确的是( )
A．a(a－1) B．a(a－2)
C．(a－2)(a－1) D．(a－2)(a＋1)
B
9 . 已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2
＝a4－b4，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
D
10. 已知|x－y＋2|＋ ＝0，
则x2－y2的值为________．
11. 若x2－9＝(x－3)(x＋a)，则a＝________．
12. 已知a＋b＝3，a－b＝5，则式子a2－b2的值是_______．
－4
3
15
14. 如图，从边长为(a＋3)的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，则拼成的长方形的长是________．
a＋6
请你写出几个能用平方差公式因式分解的多项
式(每人写两个).
用平方差公式分解因式时，若多项式有公因式，
要先提取公因式，再用平方差公式分解因式.
知识点
平方差公式在分解因式中的应用
2
例2
把下列各式因式分解：
(1)9(m＋n)2－(m－n)2； (2) 2x3－8x.
(1) 9(m＋n)2－(m－n)2
＝[3(m＋n)]2－(m－n)2
＝ [3(m＋n)＋(m－n)] [3(m＋n)－(m－n)]
＝ (3m＋3n＋m－n)(3m＋3n－m＋n)
＝(4m＋2n)(2m＋4n)
＝4(2m＋n)(m＋2n);
(2)2x3－8x＝2x(x2－4)
＝ 2x(x2－22)
＝2x (x＋2)(x－2)
解：
1. 把x3－9x分解因式，结果正确的是( )
A．x(x2－9) B．x(x－3)2
C．x(x＋3)2 D．x(x＋3)(x－3)
D
2. 一次课堂练习，小颖同学做了以下几道因式分解题，你认为她做得不够完整的是( )
A．x3－x＝x(x2－1)
B．x2y－y3＝y(x＋y)(x－y)
C．－m2＋4n2＝(2n＋m)(2n－m)
D．3p2－27q2＝3(p＋3q)(p－3q)
A
3. 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a－b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2－b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将(x2－y2)a2－(x2－y2)b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是( )
A．我爱美 B．宜昌游
C．爱我宜昌 D．美我宜昌
C
4. n是整数，式子 [1－(－1)n](n2－1)计算的结果( )
A．是0
B．总是奇数
C．总是偶数
D．可能是奇数也可能是偶数
C
练点1 直接用平方差公式分解因式
1. [母题·教材P9例1·2023·杭州]分解因式：4 a2－1＝( A )
A. (2 a －1)(2 a ＋1) B. ( a －2)( a ＋2)
C. ( a －4)( a ＋1) D. (4 a －1)( a ＋1)
A
2. 下列多项式中，分解因式的结果为－( x ＋2 y )·( x －2 y )的
是( B )
A. x2－4 y2 B. － x2＋4 y2
C. x2＋4 y2 D. － x2－4 y2
B
练点2 先提取公因式再用平方差公式分解因式
3. [2024·青岛城阳区期末]把多项式3 x2－12分解因式，结果
正确的是( C )
A. 3( x2－4) B. ( x ＋2)( x －2)
C. 3( x ＋2)( x －2) D. (3 x ＋6)( x －2)
【点拨】
原式＝3( x2－4)＝3( x ＋2)( x －2).
C
应用平方差公式分解因式的注意事项：
(1)等号左边：
①等号左边应是二项式；
②每一项都可以表示成平方的形式；
③两项的符号相反．
(2)等号右边是等号左边两底数的和与这两个数的差的积．
1. 分解因式：(a＋b)2－4a2.
易错点：忽视系数变平方的形式导致出错
(a＋b)2－4a2＝(a＋b)2－(2a)2
＝(a＋b＋2a)(a＋b－2a)
＝(3a＋b)(b－a)．
解：
点拨: 本题易将4a2写成(4a)2导致出错．
知识是力量，
梦想是翅膀。(共34张PPT)
鲁教版 八年级上
第一章 因式分解
3 公式法
第1课时 用平方差公式分解因式
01
基础题
02
综合应用题
03
创新拓展题
目 录
CONTENTS
练点1 直接用平方差公式分解因式
1. [母题·教材P9例1·2023·杭州]分解因式：4 a2－1＝( A )
A. (2 a －1)(2 a ＋1) B. ( a －2)( a ＋2)
C. ( a －4)( a ＋1) D. (4 a －1)( a ＋1)
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2. 下列多项式中，分解因式的结果为－( x ＋2 y )·( x －2 y )的
是( B )
A. x2－4 y2 B. － x2＋4 y2
C. x2＋4 y2 D. － x2－4 y2
B
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3. [2024·烟台期中]下列各式中不能用平方差公式分解因式的
是( C )
A. － a2＋ b2
B. ( x ＋2 y )2－(2 x － y )2
C. －0.012－0.09 y2
D. x2－ y2
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A. － a2＋ b2，两平方项符号相反，能用平方差公式
分解因式；
B. ( x ＋2 y )2－(2 x － y )2，两平方项符号相反，能用
平方差公式分解因式；
C. －0.012－0.09 y2，两平方项符号相同，不能用平
方差公式分解因式；
【点拨】
D. x2－ y2，两平方项符号相反，能用平方差公式分
解因式.
【答案】
C
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练点2 先提取公因式再用平方差公式分解因式
4. [2024·青岛城阳区期末]把多项式3 x2－12分解因式，结果
正确的是( C )
A. 3( x2－4) B. ( x ＋2)( x －2)
C. 3( x ＋2)( x －2) D. (3 x ＋6)( x －2)
【点拨】
原式＝3( x2－4)＝3( x ＋2)( x －2).
C
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5. 分解因式：
(1)[2023·北京] x2 y － y3＝ ；
【点拨】
原式＝ y ( x2－ y2)＝ y ( x ＋ y )( x － y ).
原式＝ ab ( a2－1)＝ ab ( a ＋1)( a －1).
y ( x ＋ y )( x － y )
ab ( a ＋1)( a －1)
(2)[2023·日照] a3 b － ab ＝ .
【点拨】
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纠易错 分解因式不彻底
6. 分解因式：( a － b ) b2＋4( b － a ).
【解】原式＝( a － b )( b2－4)
＝( a － b )( b －2)( b ＋2).
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7. 若多项式(2 x ) n －81能分解成(4 x2＋9)(2 x ＋3)(2 x －3)，
那么 n ＝( B )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【点拨】
∵(4 x2＋9)(2 x ＋3)(2 x －3)＝(4 x2＋9)·(4 x2－9)＝ 16 x4－81＝(2 x ) n －81，∴ n ＝4.
B
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8. [2023·河北]若 k 为任意整数，则(2 k ＋3)2－4 k2的值总能
( B )
A. 被2整除 B. 被3整除
C. 被5整除 D. 被7整除
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＝3(4 k ＋3).
∵ k 为任意整数，
∴(2 k ＋3)2－4 k2的值总能被3整除.
【点拨】
(2 k ＋3)2－4 k2
＝(2 k ＋3＋2 k )(2 k ＋3－2 k )
【答案】
B
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9. [2024·青岛模拟]已知 a ， b ， c 是△ ABC 的三边长，且满
足 a2－ b2＝ c ( a － b )，则△ ABC 是( D )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 等边三角形 D. 等腰三角形
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∴( a ＋ b )( a － b )－ c ( a － b )＝0，
∴( a － b )( a ＋ b － c )＝0.
∵ a ＋ b － c ＞0，∴ a － b ＝0，∴ a ＝ b ，
∴该三角形为等腰三角形.
【点拨】
∵ a2－ b2＝ c ( a － b )，
∴ a2－ b2－ c ( a － b )＝0，
【答案】
D
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10. [新考向·知识情境化]小轩是一位密码编译爱好者，在他
的密码手册中有这样一条信息： x －1， a － b ，3， x2＋
1， a ， x ＋1分别对应六个字：“南”“爱”“我”“数” “学”“济”.现将3 a ( x2－1)－3 b ( x2－1)因式分解，结果呈现的密码信息可能是( A )
A. 我爱济南 B. 爱济南
C. 我爱数学 D. 济南数学
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【点拨】
∵3 a ( x2－1)－3 b ( x2－1)＝(3 a －3 b )·( x2－1)＝3( a － b )( x ＋1)( x －1)，分别对应4个汉字：“我”“爱”“济” “南”，∴呈现的密码信息可能是我爱济南.
A
【答案】
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11. [母题·教材P11习题T2]利用平方差公式分解因式：
(1) a2( x － y )＋ b2( y － x )＝ ；
( x － y )( a ＋ b )( a － b )
a2( x － y )＋ b2( y － x )
＝ a2( x － y )－ b2( x － y )
＝( x － y )( a2－ b2)
＝( x － y )( a ＋ b )( a － b ).
【点拨】
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(2) a4－16＝ ；
( a2＋4)( a ＋2)( a －2)
a4－16
＝( a2＋4)( a2－4)
＝( a2＋4)( a ＋2)( a －2).
【点拨】
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(3)25( x － y )2－64( x ＋ y )2＝ .
－(13 x ＋3 y )(3 x ＋13y )
【点拨】
25( x － y )2－64( x ＋ y )2
＝[5( x － y )]2－[8( x ＋ y )]2
＝[5( x － y )＋8( x ＋ y )][5( x － y )－8( x ＋ y )]
＝－(13 x ＋3 y )(3 x ＋13 y ).
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12. [新考法·整体代入法]已知 x －2 y ＝3， x2－4 y2＝15，则
代数式7 xy ＋14 y2的值是 .
【点拨】
∵ x2－4 y2＝( x ＋2 y )( x －2 y )＝15， x －2 y ＝3，
∴( x ＋2 y )·3＝15， x ＝2 y ＋3，∴ x ＋2 y ＝5，
∴2 y ＋3＋2 y ＝5，解得 y ＝ .
∴7 xy ＋14 y2＝7 y ( x ＋2 y )＝7× ×5＝ .
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13. [新趋势·学科内综合·2023·苏州]已知一次函数 y ＝ kx ＋ b
的图象经过点(1，3)和(－1，2)，则 k2－ b2＝ .
【点拨】
将点(1，3)和(－1，2)的坐标代入 y ＝ kx ＋ b ，
得即
∴ k2－ b2＝( k ＋ b )( k － b )＝3×(－2)＝－6.
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14. [情境题·生活应用]如图①为某工厂生产的户外手提探照
灯，其中灯头由塑料板拼装而成，制作方式为将一块直
径为 D 的塑料板，剪掉4个直径为 d 的小圆(如图②所
示)，通过测量得 D ＝18 cm， d ＝6 cm，则该塑料板面
积为 .
45π cm2
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【点拨】
该塑料板面积＝π －4π ＝π
＝π ＝π×(9＋6)×(9－6)＝45π(cm2).
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15. 利用平方差公式简便计算：
(1)25×1012－992×25；
【解】原式＝25×(1012－992)＝25×(101＋99)× (101－99)＝25×200×2＝10 000.
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(2)1 9992－2 0002＋2 0012－2 0022＋…＋2 0232－2 0242.
【解】原式＝(1 999＋2 000)×(1 999－2 000)＋(2 001＋ 2 002)×(2 001－2 002)＋…＋(2 023＋2 024)×(2 023－ 2 024)＝－(1 999＋2 000＋2 001＋2 002＋…＋2 023＋ 2 024)＝－52 299.
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16. (1)先分解因式，再求值：
8 a2( b －7)－2( b －7)，其中 a ＝－1， b ＝2；
【解】原式＝2( b －7)(4 a2－1)＝2( b －7)(2 a ＋1)·(2 a －1)，当 a ＝－1， b ＝2时，
原式＝2×(2－7)×(－2＋1)×(－2－1)
＝2×(－5)×(－1)×(－3)＝－30.
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(2)已知5 x ＋ y ＝2，5 y －3 x ＝3，求3( x ＋3 y )2－12(2 x － y )2的值.
【解】原式＝3[( x ＋3 y )2－4(2 x － y )2]
＝3[( x ＋3 y )＋2(2 x － y )][( x ＋3 y )－2(2 x － y )]
＝3( x ＋3 y ＋4 x －2 y )( x ＋3 y －4 x ＋2 y )
＝3(5 x ＋ y )(5 y －3 x )，
当5 x ＋ y ＝2，5 y －3 x ＝3时，原式＝3×2×3＝18.
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17. [母题·教材P10随堂练习T3]如图，大小不一的两个等腰
直角三角形用两种方法摆放，其中 AB ＝ a ， CD ＝ b .设
两个三角形的直角边长分别为 x 和 y ( x ＞ y ＞0)，图中阴
影部分的面积为 S .
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(1)用 x ， y 表示图中阴影部分的面积；
【解】如图，根据题意，得 FD ＝ x ， FC ＝ y ，
∴ S ＝ DF2－ CF2＝ x2－ y2.
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(2)将(1)中的代数式因式分解；
【解】 x2－ y2＝ ( x2－ y2)＝ ( x ＋ y )( x － y ).
(3)用 a ， b 表示阴影部分的面积.
由题意，得 x ＋ y ＝ a ， x － y ＝ b ，
∴ S ＝ ( x ＋ y )( x － y )＝ ab .
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18. [新视角·新定义题]如果一个正整数能表示为两个连续奇
数的平方差，那么称这个正整数为奇特数.例如：8＝ 32－12，16＝52－32，24＝72－52，则8，16，24这三个数都是奇特数.
(1)32是奇特数吗？若是，表示成两个连续奇 数的平方差形式.
【解】是.32＝92－72.
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(2)设两个连续奇数是2 n －1和2 n ＋1(其中 n 取正整
数)，由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数
吗？为什么？
【解】由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数.
理由：∵(2 n ＋1)2－(2 n －1)2＝(2 n ＋1＋2 n －1)(2 n ＋ 1－2 n ＋1)＝8 n ，且 n 是正整数，
∴由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数.
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(3)如图，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，按
此规律拼叠到正方形 ABCD ，其边长为39，求阴影部
分的面积.
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【解】阴影部分的面积为392－372＋352－332＋…＋72－52＋32－12＝(39＋37)×(39－37)＋(35＋33)×(35－33)＋…＋ (7＋5)×(7－5)＋(3＋1)(3－1)＝(39＋37＋35＋33＋…＋7＋ 5＋3＋1)×2＝ ×2＝800.
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18(共39张PPT)
第1章 因式分解
1.3 公式法
第2课时 完全平方公式
1
学习目标
2
课时导入
3
感悟新知
4
随堂检测
5
课堂小结
完全平方式的特征
用完全平方公式分解因式
完全平方公式在分解因式中的应用
回忆完全平方公式：
我们把以上两个式子叫做完全平方式 .
两个“项”的平方和加上（或减去）这两“项”
的积的两倍
知识点
完全平方式的特征
1
我们可以通过以上公式把“完全平方式”分解因式我们称之为：运用完全平方公式分解因式 .
例1
导引： (1)中b不是数b与1的乘积的2倍；
(2)中ab不是a，b乘积的2倍；
(3)中1与2a的乘积的2倍没有出现；
(4)中a是a与 乘积的2倍．
判断下列多项式是否为完全平方式．
(1)b2＋b＋1； (2)a2－ab＋b2；
(3)1＋4a2； (4)a2－a＋ .
解：(1)不是完全平方式；
(2)不是完全平方式；
(3)不是完全平方式；
(4)是完全平方式．
总结
完全平方式首末有两项能写成两个数或两个式子的平方的形式，且符号相同，中间项为这两个数或两个式子积的2倍．
例2
错解解析：
错在只注意到中间项的符号是正，而忽视中间
项的符号是负的情况，产生漏解．
错解：因为x2＋(m－3)x＋4＝x2＋(m－3)x＋22，
x2＋(m－3)x＋4是完全平方式，
所以(m－3)x＝2x·2. 因此m－3＝4. 所以m＝7.
若x2＋(m－3)x＋4是完全平方式，求m的值．
正确解法：
因为x2＋(m－3)x＋4＝x2＋(m－3)x＋22，
x2＋(m－3)x＋4是完全平方式，
所以(m－3)x＝±2x·2.
所以(m－3)x＝±4x.
因此m－3＝±4.
所以m＝7或m＝－1.
总结
在求与完全平方式有关的字母取值时，要注意中间项的符号有“＋”“－”两种情形，否则容易产生漏解．
1. 下列多项式中，哪几个是完全平方式？请把是完全平方式的多项式因式分解：
(1) x2－x＋ ； (2) 9a2b2－3ab＋1；
(3) m2＋3mn＋9n2； (4) x6－10x2－25．
解：
(1)是，x2－x＋ ＝（x- ）2
(2)不是．
(3)是， m2＋3mn＋9n2＝（ m+3n）2
(4)不是．
2.【中考·龙岩】下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1
C．x2－1 D．x2－6x＋9
D
3. 已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于( )
A．64 B．48
C．32 D．16
A
4．已知4x2＋mx＋36是完全平方式，则m的值为( )
A．8 B．±8
C．24 D．±24
D
5.给多项式x8＋4加上一个单项式，使其成为一个完全平方式，则加上的单项式是________________ (写出一个即可)．
6.【中考·珠海】填空：x2＋10x＋______＝(x＋______)2.
7.【中考·安顺】若代数式x2＋kx＋25是一个完全平方式，则k＝________.
4x4(答案不唯一)
25
5
±10
从项数看：都是有3项
从符号看：带平方的项符号相同(同“+”或同“－”)
从每一项看：都有两项可化为两个数(或整式)的平方,
另一项为这两个数(或整式)的乘积的2倍.
用公式法正确分解因式关键是什么？
熟知公式特征！
知识点
用完全平方公式分解因式
2
例 3
把下列完全平方式因式分解：
(1)x2＋14x＋49； (2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9.
解：(1)x2＋14x＋49
＝ x2＋2×7x＋72
＝ (x＋7) 2 ；
(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9
＝ [(m＋n)－3]2
＝(m＋n－3)2.
例4
计算或化简下列各式：
(1)2022＋202×196＋982；
(2)(a2－2)2－2a2(a2－2)＋a4.
导引：对于(1)可将202×196化为2×202×98，利用完全平方公式分解因式即可计算；
对于(2)利用完全平方公式分解因式，便可达到化简的目的．
解：(1)原式＝2022＋2×202×98＋982
＝(202＋98)2
＝3002＝90 000.
(2)原式＝(a2－2)2－2a2(a2－2)＋(a2)2
＝(a2－2－a2)2
＝(－2)2＝4.
总结
利用完全平方公式分解因式在计算或化简中应用广泛且巧妙，要注意灵活运用，往往能获得意想不到的解题效果．
1.把下列各式因式分解：
(1)x2－12xy＋36y2；
(2)16a4＋24a2b2＋9b4；
(3)－2xy－x2－y2；
(4)4－12(x－y)＋9(x－y)2.
解：(1) x2－12xy＋36y2＝(x－6y)2.
(2) 16a4＋24a2b2＋9b4＝(4a2＋3b2)2.
(3) －2xy－x2－y2＝－(2xy＋x2＋y2)
＝－(x2＋2xy＋y2)＝－(x＋y)2.
(4) 4－12(x－y)＋9(x－y)2＝[3(x－y)－2]2
＝(3x－3y－2)2.
2.下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A．x2＋1 B．x2＋2x－1
C．x2＋x＋1 D．x2＋4x＋4
D
3．(中考·长春)把多项式x2－6x＋9分解因式，结果正确的是( )
A．(x－3)2 B．(x－9)2
C．(x＋3)(x－3) D．(x＋9)(x－9)
4．把2xy－x2－y2因式分解，结果正确的是( )
A．(x－y)2 B．(－x－y)2
C．－(x－y)2 D．－(x＋y)2
A
C
5．把多项式(a＋b)2－4(a2－b2)＋4(a－b)2因式分解的结果为( )
A．(3a－b)2 B．(3b＋a)2
C．(3b－a)2 D．(3a＋b)2
C
6．如图是一个正方形，分成四部分，其面积分别是a2，ab，ab，b2，其中a＞0，b＞0，则原正方形的边长是( )
A．a2＋b2
B．a＋b
C．a－b
D．a2－b2
B
因式分解的一般步骤：
1.先提：若多项式有公因式，应先提取公因式；
2.再用：若还能运用公式，应再运用公式进行分解；
3.三彻底：要把每一个因式分解到不能分解为止.
知识点
完全平方公式在分解因式中的应用
3
例 5
把下列各式因式分解：
(1)3ax2＋6axy＋3ay2； (2)－x2－4y2＋4xy.
解：(1)3ax2＋6axy＋3ay2
＝ 3a(x2＋2xy＋y2)
＝3a(x＋y)2；
(2)－x2－4y2＋4xy
＝ －(x2＋4y2－4xy)
＝ －(x2－4xy＋4y2)
＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2]
＝ －(x－2y)2.
1.【中考·聊城】把8a3－8a2＋2a进行因式分解，结果正确的是( )
A．2a(4a2－4a＋1) B．8a2(a－1)
C．2a(2a－1)2 D．2a(2a＋1)2
C
2．【中考·毕节】下列因式分解正确的是( )
A．a4b－6a3b＋9a2b＝a2b(a2－6a＋9)
B．x2－x＋
C．x2－2x＋4＝(x－2)2
D．4x2－y2＝(4x＋y)(4x－y)
B
＝（x- ）2
3．【中考·厦门】设681×2 019－681×2 018＝a，2 015
×2 016－2 013×2 018＝b，
＝c，则a，b，c的大小关系是( )
A．b
C．bA
4．若一个长方形的面积是x3＋2x2＋x(x＞0)，且一边长为x＋1，则其邻边长为________．
x2＋x
练点1 完全平方式
1. [2023·威海环翠区期中]下列四个多项式是完全平方式的为
( D )
A. x2＋ xy ＋ y2 B. x2－2 xy － y2
C. 4 m2＋2 mn ＋ n2 D. a2＋ ab ＋ b2
D
2. [2024·烟台蓬莱区期中]若 x2－( a －1) x ＋9是一个完全平
方式，则 a 的值是( C )
A. 4 B. 2
C. 4或－2 D. 2或－4
【点拨】
∵ x2－( a －1) x ＋9是一个完全平方式，∴－( a －1)
＝±2× ×3，解得 a ＝4或 a ＝－2.
C
3. 分解因式：
(1)[2023·株洲] x2－2 x ＋1＝ ；
(2)[2023·无锡]4－4 x ＋ x2＝ .
( x －1)2
(2－ x )2
完全平方公式法：
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，
等于这两个数的和(或差)的平方．
即：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.
知识是力量，
梦想是翅膀。(共27张PPT)
鲁教版 八年级上
第一章 因式分解
3 公式法
第2课时 用完全平方公式分解因式
01
基础题
02
综合应用题
03
创新拓展题
目 录
CONTENTS
练点1 完全平方式
1. [2023·威海环翠区期中]下列四个多项式是完全平方式的为
( D )
A. x2＋ xy ＋ y2 B. x2－2 xy － y2
C. 4 m2＋2 mn ＋ n2 D. a2＋ ab ＋ b2
D
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2. [2024·烟台蓬莱区期中]若 x2－( a －1) x ＋9是一个完全平
方式，则 a 的值是( C )
A. 4 B. 2
C. 4或－2 D. 2或－4
【点拨】
∵ x2－( a －1) x ＋9是一个完全平方式，
∴－( a －1)＝±2× ×3，解得 a ＝4或 a ＝－2.
C
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练点2 直接用完全平方公式分解因式
3. [母题·教材P12随堂练习T1]下列各式，不能用完全平方公
式进行因式分解的是( D )
A. x2－10 x ＋25 B. 1－6 x ＋9 x2
C. a2＋ b2－2 ab D. 4 x2＋4 x －1
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a2＋ b2－2 ab ＝( a － b )2；
4 x2＋4 x －1的第三项是负数，不能用完全平方公式
进行因式分解.
【点拨】
x2－10 x ＋25＝( x －5)2；
1－6 x ＋9 x2＝(1－3 x )2；
D
【答案】
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4. [新考向·知识情境化]王老师让同学们从两个盒子中各抽取
一张卡片，李华抽到的两张卡片上分别是 x2－4 x ＋ m ，
( x ＋ n )2，要使这两个整式相等，则 m － n 的值为( B )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
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∴ m ＝4.
将 m ＝4代入等式，得 n ＝－2，
∴ m － n ＝4－(－2)＝6.
【点拨】
∵ x2－4 x ＋ m ＝( x ＋ n )2，
∴ x2－4 x ＋ m 是完全平方式，
【答案】
B
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5. 分解因式：
(1)[2023·株洲] x2－2 x ＋1＝ ；
(2)[2023·无锡]4－4 x ＋ x2＝ .
( x －1)2
(2－ x )2
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练点3 先提取公因式再用完全平方公式分解因式
6. [2024·菏泽期末]把多项式－3 ax2＋3 ax － a 因式分解，
结果正确的是( D )
A. －3 a B. 3 a
C. －3 a D. －3 a
【点拨】
原式＝－3 a ＝－3 a .
D
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7. [母题·教材P12随堂练习T2]因式分解：
(1)[2023·沈阳] a3＋2 a2＋ a ＝ ；
(2)[2023·东营]3 ma2－6 mab ＋3 mb2＝ .
【点拨】
原式＝ a ( a2＋2 a ＋1)＝ a ( a ＋1)2.
原式＝3 m ( a2－2 ab ＋ b2)＝3 m ( a － b )2.
a ( a ＋1)2
3 m ( a － b )2
【点拨】
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纠易错 因对完全平方公式运用不熟练导致分解不彻底
8. 因式分解：8 m3 n ＋40 m2 n2＋50 mn3.
【解】8 m3 n ＋40 m2 n2＋50 mn3
＝2 mn (4 m2＋20 mn ＋25 n2)
＝2 mn (2 m ＋5 n )2.
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9. [新趋势·跨学科]词牌名有固定的格律与声律，决定着词的
节奏与音律，李华令3 x ， x2＋1， x － y ，3 x ＋ y ， y ，
( x ＋ y )2分别对应6个字：“乌”“月”“西”“江”“夜”
“啼”，现请你将3 x3 y ＋6 x2 y2＋3 xy3因式分解，结果呈现的词牌名可能为( D )
A. 乌江夜 B. 啼西月
C. 西江月 D. 乌夜啼
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【点拨】
∵3 x3 y ＋6 x2 y2＋3 xy3＝3 xy ( x2＋2 xy ＋ y2)＝3 xy ( x ＋ y )2，∴可能对应的词牌名为乌夜啼.
D
【答案】
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10. [2024·东营月考]多项式4 x2＋1加上一个单项式后，使它
能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是
( D )
A. 4 x B. －4 x
C. 4 x4 D. －4 x4
D
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11. [新考法·分类讨论法]若 x2＋ mx ＋16＝( x ＋ n )2，则常数
m ＝ .
【点拨】
∵x2+mx+16=(x+n)2，
∴m=2n，n2 =16，
∴n=±4.∴m=±8.
±8
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12. 已知 a ＋ b ＝3， ab ＝2，求 a3 b ＋ a2 b2＋ ab3的值.
【解】 a3 b ＋ a2 b2＋ ab3＝ ab ( a2＋2 ab ＋ b2)＝ ab ( a ＋ b )2.
∵ a ＋ b ＝3， ab ＝2，∴原式＝ ×2×9＝9.
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13. 用简便方法计算：
(1)992＋198＋1；
【解】992＋198＋1＝992＋2×99×1＋12＝(99＋1)2＝
10 000.
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(2)2042＋204×192＋962.
【解】2042＋204×192＋962
＝2042＋2×204×96＋962
＝(204＋96)2
＝90 000.
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14. 已知 x2－ y2＝20，求[( x － y )2＋4 xy ][( x ＋ y )2－ 4xy ]的值.
【解】∵ x2－ y2＝20，
∴原式＝( x2＋2 xy ＋ y2)( x2－2 xy ＋ y2)
＝( x ＋ y )2( x － y )2
＝[( x ＋ y )( x － y )]2
＝( x2－ y2)2＝202＝400.
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15. [新考法·换元法]先阅读下面的材料，再解答问题.
因式分解：( x ＋ y )2＋2( x ＋ y )＋1.
解：将“ x ＋ y ”看成整体，设 x ＋ y ＝ m ，则原式＝ m2
＋2 m ＋1＝( m ＋1)2.
再将 x ＋ y ＝ m 代入，得原式＝( x ＋ y ＋1)2.
上述解题用到的是数学中常用的一种思想方法——“换
元法”.
请结合上述解题思路，完成下面的因式分解：
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(1)1－2( x － y )＋( x － y )2；
【解】设 x － y ＝ m ，
则原式＝1－2 m ＋ m2＝(1－ m )2＝[1－( x － y )]2＝
(1－ x ＋ y )2.
(2)25( a －1)2－10( a －1)＋1；
【解】设 a －1＝ m ，
则原式＝25 m2－10 m ＋1＝(5 m －1)2＝[5( a －1)－1]2
＝(5 a －6)2.
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(3)2( y －1)2＋12(1－ y )＋18.
【解】设 y －1＝ m ，
则原式＝2 m2－12 m ＋18
＝2( m2－6 m ＋9)＝2( m －3)2
＝2( y －1－3)2
＝2( y －4)2.
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16. [新考法·阅读类比法]先阅读下面的例题，再解答问题.
例：已知 x2＋ y2－2 x ＋4 y ＋5＝0，求 x ＋ y 的值.
解：∵ x2＋ y2－2 x ＋4 y ＋5＝0，
∴( x2－2 x ＋1)＋( y2＋4 y ＋4)＝0，
即( x －1)2＋( y ＋2)2＝0.
又∵( x －1)2≥0，( y ＋2)2≥0，
∴( x －1)2＝0，( y ＋2)2＝0，
∴ x －1＝0， y ＋2＝0.
∴ x ＝1， y ＝－2.
∴ x ＋ y ＝－1.
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(1)已知 x2＋4 y2－6 x ＋4 y ＋10＝0，求 xy 的值；
【解】∵ x2＋4 y2－6 x ＋4 y ＋10＝0，
∴( x2－6 x ＋9)＋(4 y2＋4 y ＋1)＝0，
即( x －3)2＋(2 y ＋1)2＝0.
又∵( x －3)2≥0，(2 y ＋1)2≥0，∴( x －3)2＝0，
(2 y ＋1)2＝0.∴ x －3＝0，2 y ＋1＝0.
∴ x ＝3， y ＝－ .∴ xy ＝3× ＝－ .
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【解】∵4 x2＋4 x ＋ y2－2 y ＋2＝0，∴(4 x2＋4 x ＋1)＋( y2－2 y ＋1)＝0，即(2 x ＋1)2＋( y －1)2＝0.
又∵(2 x ＋1)2≥0，( y －1)2≥0，∴(2 x ＋1)2＝0，
( y －1)2＝0.∴2 x ＋1＝0， y －1＝0，∴ x ＝－ ， y ＝1.
∴4 x2－4 xy ＋ y2＝(2 x － y )2＝ ＝4.
(2)已知4 x2＋4 x ＋ y2－2 y ＋2＝0，求4 x2－4 xy ＋
y2的值；
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(3)若△ ABC 的三边长 a ， b ， c 都是正整数，且其中两边长
a ， b 满足等式 a2＋ b2－10 a －12 b ＋61＝0，求△ ABC 的
周长的最大值.
【解】∵ a2＋ b2－10 a －12 b ＋61＝0，∴ a2－10 a ＋25＋ b2－12 b ＋36＝0，即( a －5)2＋( b －6)2＝0.又
∵( a －5)2≥0，( b －6)2≥0，∴( a －5)2＝0，( b －6)2＝0，
∴ a －5＝0， b －6＝0，∴ a ＝5， b ＝6，∴6－5＜ c ＜ 6＋5，即1＜ c ＜11，∴正整数 c 的最大值为10，
∴△ ABC 的周长的最大值为5＋6＋10＝21.
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16(共15张PPT)
第1章 因式分解
1.3公式法
第3课时 活用因式分解的方法
1
学习目标
2
课时导入
3
感悟新知
4
随堂检测
5
课堂小结
化简后因式分解的方法
多次分解
1.我们都学过哪些分解因式的方法？
(1)提公因式法
关键：确定公因式
(2)运用公式法
①平方差公式 a2－b2= (a +b) (a－b)
②完全平方式 a2+2ab+b2=(a+b)2
系数：取各系数的最大公约数
字母：取相同字母的最低次幂
多项式x(x+6)+9能因式分解吗？与同伴进行交流.
x(x+6)+9
=x2+6x+9
=(x+3)2
乘法运算
完全平方式
结论：有括号不能直接分解的因式可以整理后，在进行分解.
知识点
化简后因式分解的方法
1
把y(y+4)－4(y+1)因式分解.
例1
对于这样不能直接分解的多项式我们应该如何来分解？
解：y(y+4)－4(y+1)
=y+ 4y－4y－4－4
=(y+2)(y－2)
总结：如果多项式不能直接分解因式，可以先把多项式进行整理，然后再选择适当方法进行分解.
1.分解因式：
(1)(x－1)(x＋2)＋2(x＋1)；
解：原式＝x2＋x－2＋2x＋2
＝x2＋3x
＝x(x＋3)．
2.把下列各式因式分解：
m(m+9) －9(m+1)
解：原式=(m+3)(m－3)
把(x2+1)－4x2因式分解.
例2
要求：通过合作探究，解决以下问题并当堂展示
①本题如何分解？你们想到了几种方法？
②多项式分解因式的一般步骤是什么？
知识点
多次分解
2
解：(x+12)－4x2
=(x+12)－(2x2)2
=(x2 + 2x +1)(x2－2x +1)
=(x+1)2(x－1) 2
总结：一般步骤：一提，二运，三变，四查. 注意：结果要分解到不能再分解为止。
解：a2(ab+2b2)+ab3
=a3b+2a2b2+ab3
= ab(a2+2ab+b2)
=ab(a+b)
1.已知 a+b=5,ab=3,求a2(ab+2b2)+ab3的值。
把a+b=5，ab=3代入原式=3×52=75
1. 因式分解：
(1) m ( m ＋8)＋16＝ ；
(2)[2024·枣庄峄城区模拟]( x －5)( x ＋11)＋64＝
.
( m ＋4)2
( x ＋
3)2
练点2 综合运用公式法进行因式分解
2. 分解因式 a4－2 a2＋1的结果是( D )
A. ( a2＋1)2 B. ( a2－1)2
C. a2( a2－2) D. ( a ＋1)2( a －1)2
【点拨】
原式＝( a2－1)2
＝[( a ＋1)( a －1)]2
＝( a ＋1)2( a －1)2.
D
3. [母题·教材P15随堂练习T2]因式分解：
(1)(4 a2＋ b2)2－16 a2 b2；
【解】原式＝(4 a2＋ b2＋4 ab )(4 a2＋ b2－4 ab )
＝(2 a ＋ b )2(2 a － b )2.
(2)16 x4－8 x2 y2＋ y4.
【解】原式＝(4 x2－ y2)2
＝(2 x ＋ y )2(2 x － y )2.
1.这节课，你有怎样的收获？
2.对于多项式分解因式，其一般步骤是什么？
知识是力量，
梦想是翅膀。(共30张PPT)
鲁教版 八年级上
第一章 因式分解
3 公式法
第3课时 选用合适的方法进行因式分解
01
基础题
02
综合应用题
03
创新拓展题
目 录
CONTENTS
练点1 化简后进行因式分解
1. [2024·菏泽模拟]下列因式分解正确的是( D )
A. 12 abc －3 bc2＝3 b (4 ac － c2)
B. ( a － b )2＋4 ab ＝( a －2 b )2
C. 3 ax2－3 ay2＝3 a ( x2－ y2)
D. ( x －4)( x ＋1)＋3 x ＝( x ＋2)( x －2)
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( a － b )2＋4 ab
＝ a2－2 ab ＋ b2＋4 ab
＝ a2＋2 ab ＋ b2
＝( a ＋ b )2；
【点拨】
12 abc －3 bc2＝3 bc (4 a － c )；
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＝ x2－3 x －4＋3 x
＝ x2－4
＝( x ＋2)( x －2).
3 ax2－3 ay2
＝3 a ( x2－ y2)
＝3 a ( x ＋ y )( x － y )；
( x －4)( x ＋1)＋3 x
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【答案】
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2. 因式分解：
(1) m ( m ＋8)＋16＝ ；
(2)[2024·枣庄峄城区模拟]( x －5)( x ＋11)＋64＝ .
( m ＋4)2
( x ＋3)2
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3. [母题·教材P15随堂练习T1]因式分解：
(1) a ( a ＋25)－25( a ＋1)；
【解】原式＝ a2＋25 a －25 a －25
＝ a2－25
＝( a ＋5)( a －5).
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(2) y ( y ＋4)－8( y ＋1)＋12.
【解】原式＝ y2＋4 y －8 y －8＋12
＝ y2－4 y ＋4
＝( y －2)2.
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练点2 综合运用公式法进行因式分解
4. 分解因式 a4－2 a2＋1的结果是( D )
A. ( a2＋1)2 B. ( a2－1)2
C. a2( a2－2) D. ( a ＋1)2( a －1)2
【点拨】
原式＝( a2－1)2
＝[( a ＋1)( a －1)]2
＝( a ＋1)2( a －1)2.
D
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5. [母题·教材P15随堂练习T2]因式分解：
(1)(4 a2＋ b2)2－16 a2 b2；
【解】原式＝(4 a2＋ b2＋4 ab )(4 a2＋ b2－4 ab )
＝(2 a ＋ b )2(2 a － b )2.
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(2)16 x4－8 x2 y2＋ y4.
【解】原式＝(4 x2－ y2)2
＝(2 x ＋ y )2(2 x － y )2.
6. 利用因式分解计算1.22＋2×1.2×6.7＋6.72－2.12的结果
为( A )
A. 58 B. 57
C. 56 D. 55
【点拨】
原式＝(1.2＋6.7)2－2.12
＝(7.9＋2.1)×(7.9－2.1)
＝10×5.8
＝58.
A
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7. 把多项式2 a ( a2＋ a ＋1)＋ a4＋ a2＋1分解因式，所得的结
果为( C )
A. ( a2＋ a －1)2 B. ( a2－ a ＋1)2
C. ( a2＋ a ＋1)2 D. ( a2－ a －1)2
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＝2 a ( a2＋ a ＋1)＋( a2＋1)2－ a2
＝2 a ( a2＋ a ＋1)＋( a2＋ a ＋1)( a2－ a ＋1)
＝( a2＋ a ＋1)(2 a ＋ a2－ a ＋1)
＝( a2＋ a ＋1)( a2＋ a ＋1)
＝( a2＋ a ＋1)2.
【点拨】
2 a ( a2＋ a ＋1)＋ a4＋ a2＋1
＝2 a ( a2＋ a ＋1)＋ a4＋2 a2＋1－ a2
C
【答案】
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8. [2023·烟台月考]把多项式2( x －2 y )3－2 x ＋4 y 分解因
式，结果是( D )
A. 2( x －2 y )[( x －2 y )2－1]
B. 2( x －2 y )( x －2 y －1)
C. 2( x －2 y )( x －2 y ＋1)2
D. 2( x －2 y )( x －2 y ＋1)( x －2 y －1)
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2( x －2 y )3－2 x ＋4 y
＝2( x －2 y )3－2( x －2 y )
＝2( x －2 y )[( x －2 y )2－1]
＝2( x －2 y )( x －2 y ＋1)( x －2 y －1).
D
【点拨】
【答案】
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9. [新考法·整体代入法·2023·济宁]已知实数 m 满足 m2－ m－ 1＝0，则2 m3－3 m2－ m ＋9＝ .
【点拨】
∵ m2－ m －1＝0，∴ m2－ m ＝1，
∴2 m3－3 m2－ m ＋9
＝(2 m3－2 m2)－ m2－ m ＋9
＝2 m ( m2－ m )－ m2－ m ＋9
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＝2 m － m2－ m ＋9
＝－ m2＋ m ＋9
＝－( m2－ m )＋9
＝－1＋9
＝8.
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10. 将下列各式分解因式：
(1)－3 x3 y2＋6 x2 y3－3 xy4；
【解】原式＝－3 xy2( x2－2 xy ＋ y2)
＝－3 xy2( x － y )2.
(2) x ( x ＋2)( x －2)－4 x2－8 x ；
【解】原式＝ x ( x ＋2)( x －2)－4 x ( x ＋2)
＝ x ( x ＋2)( x －2－4)
＝ x ( x ＋2)( x －6).
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(3)( x2－5)2＋8( x2－5)＋16；
【解】原式＝( x2－5＋4)2
＝( x2－1)2
＝[( x －1)( x ＋1)]2
＝( x －1)2( x ＋1)2.
(4)( x2＋16 y2)2－64 x2 y2.
【解】原式＝( x2＋16 y2＋8 xy )( x2＋16 y2－8 xy )
＝( x ＋4 y )2( x －4 y )2.
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11. [新考法·十字相乘法]阅读材料：
根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：
( x ＋2)( x ＋3)＝ x2＋5 x ＋6；
( x －1)( x ＋3)＝ x2＋2 x －3.
而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关
系可得
x2＋5 x ＋6＝( x ＋2)( x ＋3)；
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x2＋2 x －3＝( x －1)( x ＋3).
通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三
项式分解因式.如将式子 x2＋2 x －3分解因式，这个式子
的二次项系数是1＝1×1，常数项－3＝(－1)×3，一次
项系数2＝(－1)＋3，可以用图中十字相乘的形式表示为
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先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左
下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和
右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，
然后横向书写.这样，我们就可以得到 x2＋2 x －3＝( x －
1)( x ＋3).
利用这种方法，将下列多项式分解因式：
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(1) x2＋7 x ＋10；
【解】 x2＋7 x ＋10＝( x ＋2)( x ＋5).
(2) x2－2 x －3；
【解】 x2－2 x －3＝( x －3)( x ＋1).
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(3) y2－7 y ＋12；
【解】 y2－7 y ＋12＝( y －3)( y －4).
(4) x2＋7 x －18.
【解】 x2＋7 x －18＝( x ＋9)( x －2).
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12. [新考法·换元法]小福同学在课后探究学习中遇到这样一
道因式分解的题目： x ( x ＋1)( x ＋4)( x ＋5)＋4.下面是
小福的做法.
解：原式＝[ x ( x ＋5)][( x ＋1)( x ＋4)]＋4＝( x2＋5 x )( x2
＋5 x ＋4)＋4，
设 x2＋5 x ＝ M ，
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∴原式＝ M ( M ＋4)＋4＝ M2＋4 M ＋4＝( M ＋2)2＝( x2＋5 x ＋2)2.
请你用上述方法分解因式：
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(1)( x －1)( x ＋1)( x ＋2)( x ＋4)＋9；
【解】( x －1)( x ＋1)( x ＋2)( x ＋4)＋9
＝[( x －1)( x ＋4)][( x ＋1)( x ＋2)]＋9
＝( x2＋3 x －4)( x2＋3 x ＋2)＋9.
设 x2＋3 x ＝ M ，
∴原式＝( M －4)( M ＋2)＋9
＝ M2－2 M －8＋9＝ M2－2 M ＋1
＝( M －1)2＝( x2＋3 x －1)2.
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(2)( x －6)( x －2)( x ＋1)( x ＋3)＋9 x2.
【解】( x －6)( x －2)( x ＋1)( x ＋3)＋9 x2
＝[( x －6)( x ＋1)][( x －2)( x ＋3)]＋9 x2
＝( x2－5 x －6)( x2＋ x －6)＋9 x2.
设 x2－6＝ M ，
∴原式＝( M －5 x )( M ＋ x )＋9 x2
＝ M2－5 x2－4 Mx ＋9 x2＝ M2－4 Mx ＋4 x2
＝( M －2 x )2＝( x2－6－2 x )2
＝( x2－2 x －6)2.
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13. [新考法·类比法]我们在学习许多代数公式时，可以用几
何图形来推理验证.观察图①， a2－1＝ a ( a －1)＋( a －
1)＝( a －1)( a ＋1).接下来，观察图②，通过类比思考，
分解因式 a3－1＝
＝ .
a2( a －1)＋ a ( a －1)＋( a －1)
( a －1)( a2＋ a ＋1)
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【点拨】
a3－1
＝ a · a ·( a －1)＋ a ·( a －1)·1＋( a －1)·1×1
＝ a2( a －1)＋ a ( a －1)＋( a －1)
＝( a －1)( a2＋ a ＋1).
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