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2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC，那么∠B的度数是（ ）
A．15° B．45° C．30° D．60°
【思路点拔】根据直角三角形的边角关系，求出tanB的值，再根据特殊锐角的三角函数值得出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∵tanB，
∴∠B＝60°，
故选：D．
2．（3分）⊙O的半径为5，若直线l与该圆相交，则圆心O到直线l的距离可能是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．10
【思路点拔】根据直线l和⊙O相交 d＜r，即可判断．
【解答】解：∵⊙O的半径为5，直线l与⊙O相交，
∴圆心D到直线l的距离d的取值范围是0≤d＜5，
故选：A．
3．（3分）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝37°，BC＝40cm，则高AD约为（ ）（结果取整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A．15cm B．16cm C．18cm D．20cm
【思路点拔】先利用等腰三角形的三线合一性质可得BD＝20cm，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义进行解答即可．
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BDBC＝20（cm），
在Rt△ABD中，∠ABC＝37°，
∴AD＝BD tan27°≈20×0.75≈15（cm），
∴高AD约为15cm，
故选：A．
4．（3分）甲、乙两名同学在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ）
A．掷一枚质地均匀的正六面体的骰子，出现5点的概率
B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出“剪刀”的概率
C．掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上的概率
D．从一个装有1个红球和2个白球的袋子中任意摸出一个球，摸到白球的概率
【思路点拔】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．
【解答】解：A．掷一枚质地均匀的正六面体的骰子，出现5点的概率为，与折线频率稳定于0.33不符，不符合题意；
B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出“剪刀”的概率为，与折线频率稳定于0.33相符，符合题意；
C．掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上的概率为，与折线频率稳定于0.33不符，不符合题意；
D．从一个装有1个红球和2个白球的袋子中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，与折线频率稳定于0.33不符，不符合题意；
故选：B．
5．（3分）如图，△ABC∽△ADE，三角形ABC与四边形BCDE的面积比1：3，，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方作答．
【解答】解：∵三角形ABC与四边形BCDE的面积比1：3，，
∴三角形ABC与三角形ADE的面积比1：4，
∴三角形ABC与三角形ADE的相似比1：2，
∴BC：DE＝1：2．
∵，
∴DE＝2．
故选：B．
6．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为中点，若∠A＝40°，则∠B的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．65°
【思路点拔】连接AC，由同弧所对的圆周角相等得到∠CAB＝∠CAD，再由∠BAD＝40°得到∠CAB＝20°，再根据直径所对的圆周角是直角得到∠ACB＝90°，则∠ABC＝70°．
【解答】解：如图所示，连接AC，
∵点C为中点，
∴，
∴∠CAB＝∠CAD，
∵∠BAD＝40°，
∴，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝70°．
故选：C．
7．（3分）已知二次函数y＝ax2+2ax﹣2（a＜0）图象上三点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（4，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
【思路点拔】求出抛物线的开口方向对称轴，求出A关于对称轴的对称点的坐标，根据抛物线的对称性和增减性，即可求出答案．
【解答】解：∵y＝ax2+2ax﹣2（a＜0），
∴二次函数的开口向下，对称轴是直线x1，
即在对称轴的左侧y随x的增大而增大，
∵三点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（4，y3）在二次函数y＝ax2+2ax﹣2（a＜0）图象上，
∴C点关于直线x＝1的对称点（﹣6，y3）也在二次函数y＝ax2+2ax﹣2（a＜0）图象上，
∵﹣6＜﹣2＜﹣1，
∴y3＜y1＜y2，
故选：D．
8．（3分）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴相交于A、B两点，Q（m，）是二次函数y＝ax2+bx+c图象上一点，且△ABQ为等边三角形，则a的值为（ ）
A． B． C．﹣1 D．
【思路点拔】依据题意，作QH⊥AB于H，又Q（m，），从而QH，再结合∠ABQ＝60°，可得BQ＝AB2，故A（m﹣1，0），B（m+1，0），再将Q，A，B代入解析式得，计算即可得解．
【解答】解：由题意，作QH⊥AB于H，
∵Q（m，），
∴QH．
又∠ABQ＝60°，
∴BQ＝AB2．
∴AH＝BH＝1．
∴A（m﹣1，0），B（m+1，0）．
将Q，A，B代入解析式得，
，
∴a．
故选：D．
9．（3分）如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在AB，AC上，连接DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上．若FD平分∠EFB，则CF的长为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】由翻折得出AD＝DF，∠A＝∠DFE，再根据FD平分∠EFB，得出∠DFE＝∠A，可求证△ABC∽△FBD，根据线段比例关系即可求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得：AB5，
∵将△ADE沿DE翻折得△DEF，
∴AD＝DF，∠A＝∠DFE，
∵FD平分∠EFB，
∴∠DFE＝∠DFB，
∴∠DFB＝∠A，
∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△FBD，
∴，
设BD＝m，则AD＝DF＝5﹣m，
∴，
解得m，BF，
∴CF＝BF﹣BC3，
故选：A．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（6，0）、B（0，6），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（ ）
A． B．3 C．3 D．
【思路点拔】连接OP．根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，当OP⊥AB时，线段OP最短，即线段PQ最短．
【解答】解：连接OP、OQ．
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，
∵当PO⊥AB时，线段PQ最短；
又∵A（﹣6，0）、B（0，6），
∴OA＝OB＝6，
∴AB＝6
∴OPAB＝3，
∵OQ＝2，
∴PQ，
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知圆锥的母线长8cm，底面圆的半径为3cm，则这个圆锥的侧面积是 24π cm2．
【思路点拔】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算即可．
【解答】解：圆锥的侧面积＝πrl＝π 3 8＝24π（cm2）．
故答案为：24π．
12．（3分）如图所示，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠APB＝80°，则∠ACB的度数为 50° ．
【思路点拔】连接OA、OB，如图，根据切线的性质得∠OAP＝∠OBP＝90°，则利用四边形内角和可计算出∠AOB＝110°，然后根据圆周角定理得到∠C的度数．
【解答】解：连接OA、OB，如图，
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣80°＝100°，
∵∠C∠AOB，
∴∠C＝50°．
故答案为：50°．
13．（3分）如图，A，B，C三点均在正方形网格的格点上，则cos∠BAC的值为 ．
【思路点拔】连接BC，判断出△ABC是等腰直角三角形，可得结论．
【解答】解：如图，连接BC．
观察图象可知△ABC使是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
∴cos∠BAC．
故答案为：．
14．（3分）如图是意大利著名画家达 芬奇（daVinci，1452～1519年）的名画《蒙娜丽莎》．画面中脸部被围在矩形ABCD内，图中四边形BCEF为正方形．已知点F为线段AB的黄金分割点，且AF＜FB，AB＝20cm．则FB＝ ．
【思路点拔】由点F为线段AB的黄金分割点，且AF＜FB可得，代入数据可求解．
【解答】解：∵点F为线段AB的黄金分割点，且AF＜FB，AB＝20cm，
∴
故答案为：
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC，P是对角线AC上的动点，以点P为圆心，PC长为半径作⊙P．当⊙P与矩形ABCD的边相切时，CP的长为 或 ．
【思路点拔】过点P作PE⊥AD于E，PF⊥AB于F，根据勾股定理求出AC，分⊙P与AD相切、⊙P与AB相切相切两种情况，根据相似三角形的判定定理和性质计算．
【解答】解：过点P作PE⊥AD于E，PF⊥AB于F，
在Rt△ABC中，AB＝1，BC，
由勾股定理得：AC，
由题意可知，⊙P只能与矩形ABCD的边AD、AB相切，
当⊙P与AD相切时，PE＝PC，
∵PE⊥AD，CD⊥AD，
∴PE∥CD，
∴△APE∽△ACD，
∴，即，
解得，CP，
当⊙P与AB相切时，PF＝PC，
∵PF⊥AB，CB⊥AB，
∴PF∥BC，
∴△APE∽△ACD，
∴，即，
解得，CP，
综上所述，当⊙P与矩形ABCD的边相切时，CP的长为或，
故答案为：或．
16．（3分）如图所示．小林家的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图1）．当手按住顶部A下压如图2位置时，洗手液瞬间从喷口B流出路线呈抛物线经过C与E两点．瓶子上部分是由弧和弧组成，其圆心分别为D，C．下部分的是矩形CGHD的视图，GH＝10cm，点E到台面GH的距离为14cm，点B距台面的距离为16cm，且B，D，H三点共线．若手心距DH的水平距离为2cm去接洗手液时，则手心距水平台面的高度为 11 cm．
【思路点拔】根据题意得出各点坐标，利用待定系数法求抛物线解析式进而求解．
【解答】解：如图：
∵CD＝DE＝10，
根据题意，得C（﹣5，8），E（﹣3，14），B（5，16），
设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
∴抛物线经过C、E、B三点，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为yx2x，
当x＝7时，y72711，
∴Q（7，11），
∴手心距水平台面的高度为11cm，
故答案为11．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）（1）计算：2sin30°+cos30° tan60°．
（2）已知，且a+b＝20，求a，b的值．
【思路点拔】（1）根据特殊角的三角函数值直接计算即可；
（2）设k，根据a+b＝20，求出k的值，从而得出a，b的值．
【解答】解：（1）2sin30°+cos30° tan60°＝2 1；
（2）设k，
则a＝2k，b＝3k，
∵a+b＝20，
∴2k+3k＝20，
∴k＝4，
∴a＝8，b＝12．
18．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示．（每个小方格都是边长为个单位长度的正方形）
（1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，直接写出B1的坐标；
（2）将△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并求出△A2B2C2的面积．
【思路点拔】（1）作出各点关于原点的对称点，再顺次连接，并写出B1的坐标即可；
（2）根据图形旋转的性质画出△A2B2C2，然后直接利用三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1）如图1，△A1B1C1即为所求，由图可知点B1的坐标为（﹣5，4）；
（2）如图2，△A2B2C2即为所求，
，
∴△A2B2C2的面积为6．
19．（8分）为创建“全国文明城市”，周末团委组织志愿者进行宣传活动．班主任梁老师决定从4名女班干部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签方式确定2名女生去参加．抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在四张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下姓名．
（1）第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为 ；
（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，求出“小惠被抽中”的概率．
【思路点拔】（1）根据概率公式即可得出答案；
（2）列举出所有情况数，看所求的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：（1）第一次抽取卡片“小悦未抽中”的概率为．
故答案为：；
（2）记小悦、小惠、小艳和小倩这四位女同学分别为A、B、C、D，列表如下：
A B C D
A ﹣﹣﹣ （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） ﹣﹣﹣ （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） ﹣﹣﹣ （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D） ﹣﹣﹣
由表可知，共有12种等可能结果，其中小惠被抽中的有6种结果，
所以小惠被抽中的概率为．
20．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连接OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．
（1）求证：∠CAD＝∠CBA．
（2）求OE的长．
【思路点拔】（1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可．
（2）证明△AEC∽△BCA，推出，求出EC即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AE＝DE，OC是半径，
∴，
∴∠CAD＝∠CBA．
（2）解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AE＝DE，
∴OC⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ACB，
∴△AEC∽△BCA，
∴，
∴，
∴CE＝3.6，
∵OCAB＝5，
∴OE＝OC﹣EC＝5﹣3.6＝1.4．
21．（8分）为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高AB为2cm，∠ABC＝150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD为6cm．（厚度忽略不计）
（1）求支点C离桌面l的高度；（计算结果保留根号）
（2）小吉通过查阅资料，当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时，能保护视力．当α从30°变化到70°的过程中，问面板上端E离桌面l的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
【思路点拔】（1）过点C作CF⊥l于点F，过点B作BM⊥CF于点M，易得四边形ABMF为矩形，那么可得MF＝AB＝2cm，∠ABM＝90°，所以∠MBC＝60°，利用60°的三角函数值可得CM长，加上MF长即为支点C离桌面l的高度；
（2）过点C作CN∥l，过点E作EH⊥CN于点H，分别得到CE与CN所成的角为30°和70°时EH的值，相减即可得到面板上端E离桌面l的高度增加或减少了．
【解答】解：（1）过点C作CF⊥l于点F，过点B作BM⊥CF于点M，
∴∠CFA＝∠BMC＝∠BMF＝90°．
由题意得：∠BAF＝90°，
∴四边形ABMF为矩形，
∴MF＝AB＝2cm，∠ABM＝90°．
∵∠ABC＝150°，
∴∠MBC＝60°．
∵BC＝18cm，
∴CM＝BC sin60°＝189（cm）．
∴CF＝CM+MF＝（92）cm．
答：支点C离桌面l的高度为（92）cm；
（2）过点C作CN∥l，过点E作EH⊥CN于点H，
∴∠EHC＝90°．
∵DE＝24cm，CD＝6cm，
∴CE＝18cm．
当∠ECH＝30°时，EH＝CE sin30°＝189（cm）；
当∠ECH＝70°时，EH＝CE sin70°≈18×0.94＝16.92（cm）；
∴16.92﹣9＝7.92≈7.9（cm）
∴当α从30°变化到70°的过程中，面板上端E离桌面l的高度是增加了，增加了约7.9cm．
22．（10分）如图，AB与⊙O相切于点B，CD是⊙O的直径，OA⊥CD，BC交OA于点E．
（1）求证：AB＝AE．
（2）请用一个等式表示出∠A与∠C之间的数量关系，并证明．
（3）若⊙O的半径为5，，求线段AE的长．
【思路点拔】（1）设∠C＝α，则∠OBC＝∠C＝α，由切线性质得∠ABE＝90°﹣α，根据OA⊥CD得∠AEB＝∠CEO＝90°﹣α，由此即可得出结论；
（2）由（1）可知：∠C＝α，∠ABE＝∠AEB＝90°﹣α，则∠A＝180°﹣（∠ABE+∠AEB）＝2α，据此可得出∠A与∠C之间的数量关系；
（3）连接BD，则∠CDB＝90°，在Rt△CBD中证明△COE∽△CDB得OE，设AE＝x，则OA＝AE+OE，由（1）得AB＝AE＝x，然后在Rt△OAB中，由勾股定理求出x可得线段AE的长．
【解答】（1）证明：设∠C＝α，
∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠C＝α，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴OB⊥AB，
∴∠ABE＝90°﹣∠OBC＝90°﹣α，
∵OA⊥CD，
∴∠CEO＝90°﹣∠C＝90°﹣α，
∴∠AEB＝∠CEO＝90°﹣α，
∴∠ABE＝∠AEB＝90°﹣α，
∴AB＝AE；
（2）∠A与∠C之间的数量关系是：∠A＝2∠C，证明如下：
由（1）可知：∠C＝α，∠ABE＝∠AEB＝90°﹣α，
∴∠A＝180°﹣（∠ABE+∠AEB）＝180°﹣2（90°﹣α）＝2α，
∴∠A＝2∠C；
（3）连接BD，如图所示：
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CDB＝90°，
∵⊙O的半径为5，
∴CD＝10，
在Rt△CBD中，CD＝10，BC，
由勾股定理得：BD，
∵OA⊥CD，
∴∠COE＝∠CDB＝90°，
又∵∠C＝∠C，
∴△COE∽△CDB，
∴OE：BD＝OC：BC，
即OE：5：，
∴OE，
设AE＝x，则OA＝AE+OE，
由（1）的结论得：AB＝AE＝x，
在Rt△OAB中，由勾股定理得：OA2＝AB2+OB2，
即，
解得：x．
∴AE．
23．（10分）已知二次函数的自变量x与函数值y的对应值如下表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … n m 2 m n …
（1）若n＝﹣2时，求此时二次函数的表达式；
（2）当x＝0.5时y＞0，求m+n的取值范围；
（3）若点（x，y）是二次函数图象上的任意一点，且满足y≤2，求mn的最小值．
【思路点拔】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）将x＝0.5代入 y＝a（x﹣1）2+2可得a＞﹣8．再分别将x＝2和x＝3代入求出m、n，计算即可；
（3）由已知可知：a＜0，计算mn并配方可得结果．
【解答】解：（1）根据表格数据可设二次函数的表达式为 y＝a（x﹣1）2+2，
把 x＝3，y＝﹣2 代入，得﹣2＝4a+2，
解得 a＝﹣1，
∴二次函数的表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+2＝﹣x2+2x+1；
（2）把x＝0.5代入 y＝a（x﹣1）2+2 得：，
解得：a＞﹣8．
当x＝2 时，y＝m，则 m＝a+2，
当x＝3 时，y＝n，则 n＝4a+2，
∴m+n＝5a+4＞﹣40+4＝﹣36，
∵a≠0，
∴m+n≠4，
∴m+n的取值范围为：m+n＞﹣36且m+n≠4；
（3）∵点（x，y）是二次函数图象上的任意一点，且满足y≤2，
∴a＜0，
∴mn＝（a+2）（4a+2）＝4a2+10a+4＝4（a），
∴当 时，mn的最小值为 ，
∵ 在a＜0范围内，
∴mn的最小值为 ．
24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，点D是半圆上的动点，点C是中点，AC，BD交于点E，连接AD．
（1）如图1，若∠ABD＝30°，
①则∠CAD的度数为 30° ；
②求点E到AB的距离．
（2）如图2，连接EO，将EO绕点E顺时针旋转90°，点O的对应点F恰好落在AD上，求证：OB＝EB．
（3）在（2）的条件下，连接BC并延长，交AD的延长线于点G，直接写出四边形CEDG的面积 11 ．
【思路点拔】（1）①利用圆周角定理求得求得∠BAD＝60°，再根据圆周角定理即可求解；
②解直角三角形即可求解；
（2）利用同角的余角相等得到∠HOE＝∠DEF，证明△HOE≌△DEF（AAS），推出OH＝ED，利用面积法即可求解；
（3）设OH＝x（x＞0），则ET＝ED＝x，根据三角形中位线定理求得AD＝2OH＝2x，在Rt△ABD中利用勾股定理求得x＝3，证明△AED∽△BEC，推出，再证明△ACG∽△ADE，据此即可求解．
【解答】（1）解：①如图1，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝30°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝90°﹣30°＝60°，
∵C是的中点，
∴，
∴；
故答案为：30°；
②如图1，由①得∠ABD＝∠CAB＝30°，
∴AE＝BE，
∵AO＝BO，
∴OE⊥AB，
∴，
即点E到AB的距离为；
（2）证明：如图2，过点O作OH⊥BD于点H，过点E作ET⊥AB于点T，
∵C是的中点，
∴，
∴∠CAD＝∠CAB，
又∵∠ADB＝90°，ET⊥AB，
∴ET＝ED，
∵将EO绕点E顺时针旋转90°，点O的对应点F恰好落在AD上，
∴∠FEO＝90°，OE＝EF，
∴∠DEF+∠HEO＝180°﹣∠FEO＝180°﹣90°＝90°，
∵OH⊥BD，
∴∠OHE＝90°，
∴∠HOE+∠HEO＝90°，
∴∠HOE＝∠DEF（同角的余角相等），
在△HOE和△DEF中，
，
∴△HOE≌△DEF（AAS），
∴OH＝ED，
又∵ET＝ED，
∴ET＝OH，
∵OH⊥BD，ET⊥AB，
∴，
∴OB＝EB；
（3）解：由（2）得ET＝ED＝OH，
设OH＝x（x＞0），则ET＝ED＝x，
∵AB是⊙O的直径，且AB＝10，
∴，∠ADB＝∠ACB＝90°．
∴EB＝OB＝5，
∴BD＝ED+EB＝x+5，
∵∠OHB＝∠ADB＝90°，
∴OH∥AD，
又∵OA＝OB，
∴BH＝DH，
∴OH是△ABD的中位线，
∴AD＝2OH＝2x，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得，AD2+BD2＝AB2，
即（2x）2+（x+5）2＝102，整理得，x2+2x﹣15＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣5（不合题意，舍去），
即ET＝ED＝OH＝x＝3，AD＝2x＝2×3＝6，
在Rt△ADE中，根据勾股定理得，AE3，
∴S△ADEAD ED6×3＝9，
∵∠ADB＝∠ACB＝90°，∠AED＝∠BEC，
∴△AED∽△BEC，
∴，
即，
∴，
∴AC＝AE+EC4，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACG＝90°，
又∵∠ADE＝90°，
∴∠ACG＝∠ADE＝90°，
又∵∠GAC＝∠EAD，
∴△ACG∽△ADE，
∴，
即，
∴S△ACG＝20，
∴S四边形CEDG＝S△ACG﹣S△ADE＝20﹣9＝11，
即四边形CEDG的面积为11．中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：浙教版九年级上册+九年级下册第1-2章。
5．考试内容占比：二次函数16%、概率9%、圆的基本性质15%、相似三角形10%、解直角三角形25%、直线与圆的位置关系25%
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC，那么∠B的度数是（ ）
A．15° B．45° C．30° D．60°
2．（3分）⊙O的半径为5，若直线l与该圆相交，则圆心O到直线l的距离可能是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．10
3．（3分）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝37°，BC＝40cm，则高AD约为（ ）（结果取整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A．15cm B．16cm C．18cm D．20cm
4．（3分）甲、乙两名同学在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ）
A．掷一枚质地均匀的正六面体的骰子，出现5点的概率
B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出“剪刀”的概率
C．掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上的概率
D．从一个装有1个红球和2个白球的袋子中任意摸出一个球，摸到白球的概率
5．（3分）如图，△ABC∽△ADE，三角形ABC与四边形BCDE的面积比1：3，，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为中点，若∠A＝40°，则∠B的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．65°
7．（3分）已知二次函数y＝ax2+2ax﹣2（a＜0）图象上三点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（4，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
8．（3分）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴相交于A、B两点，Q（m，）是二次函数y＝ax2+bx+c图象上一点，且△ABQ为等边三角形，则a的值为（ ）
A． B． C．﹣1 D．
9．（3分）如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在AB，AC上，连接DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上．若FD平分∠EFB，则CF的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（6，0）、B（0，6），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（ ）
A． B．3 C．3 D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知圆锥的母线长8cm，底面圆的半径为3cm，则这个圆锥的侧面积是 cm2．
12．（3分）如图所示，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠APB＝80°，则∠ACB的度数为 ．
13．（3分）如图，A，B，C三点均在正方形网格的格点上，则cos∠BAC的值为 ．
14．（3分）如图是意大利著名画家达 芬奇（daVinci，1452～1519年）的名画《蒙娜丽莎》．画面中脸部被围在矩形ABCD内，图中四边形BCEF为正方形．已知点F为线段AB的黄金分割点，且AF＜FB，AB＝20cm．则FB＝ ．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC，P是对角线AC上的动点，以点P为圆心，PC长为半径作⊙P．当⊙P与矩形ABCD的边相切时，CP的长为 ．
16．（3分）如图所示．小林家的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图1）．当手按住顶部A下压如图2位置时，洗手液瞬间从喷口B流出路线呈抛物线经过C与E两点．瓶子上部分是由弧和弧组成，其圆心分别为D，C．下部分的是矩形CGHD的视图，GH＝10cm，点E到台面GH的距离为14cm，点B距台面的距离为16cm，且B，D，H三点共线．若手心距DH的水平距离为2cm去接洗手液时，则手心距水平台面的高度为 cm．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）（1）计算：2sin30°+cos30° tan60°．
（2）已知，且a+b＝20，求a，b的值．
18．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示．（每个小方格都是边长为个单位长度的正方形）
（1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，直接写出B1的坐标；
（2）将△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并求出△A2B2C2的面积．
19．（8分）为创建“全国文明城市”，周末团委组织志愿者进行宣传活动．班主任梁老师决定从4名女班干部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签方式确定2名女生去参加．抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在四张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下姓名．
（1）第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为 ；
（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，求出“小惠被抽中”的概率．
20．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连接OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．
（1）求证：∠CAD＝∠CBA．
（2）求OE的长．
21．（8分）为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高AB为2cm，∠ABC＝150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD为6cm．（厚度忽略不计）
（1）求支点C离桌面l的高度；（计算结果保留根号）
（2）小吉通过查阅资料，当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时，能保护视力．当α从30°变化到70°的过程中，问面板上端E离桌面l的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
22．（10分）如图，AB与⊙O相切于点B，CD是⊙O的直径，OA⊥CD，BC交OA于点E．
（1）求证：AB＝AE．
（2）请用一个等式表示出∠A与∠C之间的数量关系，并证明．
（3）若⊙O的半径为5，，求线段AE的长．
23．（10分）已知二次函数的自变量x与函数值y的对应值如下表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … n m 2 m n …
（1）若n＝﹣2时，求此时二次函数的表达式；
（2）当x＝0.5时y＞0，求m+n的取值范围；
（3）若点（x，y）是二次函数图象上的任意一点，且满足y≤2，求mn的最小值．
24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，点D是半圆上的动点，点C是中点，AC，BD交于点E，连接AD．
（1）如图1，若∠ABD＝30°，
①则∠CAD的度数为 ；
②求点E到AB的距离．
（2）如图2，连接EO，将EO绕点E顺时针旋转90°，点O的对应点F恰好落在AD上，求证：OB＝EB．
（3）在（2）的条件下，连接BC并延长，交AD的延长线于点G，直接写出四边形CEDG的面积 ．
