2024～2025学年度期中考试卷 高 二 数 学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签宇笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目 的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签宇笔在答题卡上各题的答题区域内作答， 超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：空问向量与立体几何、直线与回的方程、面锥曲线。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。
1.直线L:/3x+y- √3=0 的斜率为
A.-√3 B. 口 D.√3
2.已知椭圆 )的两个焦点分别为F,F , 点 )是C上一点，且|AF I+ |AF I=4 √2,则C 的方程为
3.已知圆C:(r-2) +(y+3) =16 与圆C :r+(y-2) =10 相交于A,B 两点，则直线 AB的方程为
A.4x—10y-3=0 B.4z+10y+3=0
C.4z—10y—9=0 D.4z+10y+9=0
4.如图，在四面体ABCD中，E 是棱AB上一点，且,F 是棱CD的中点，则EF=
5.在平面直角坐标系xOy中，动点P(r,y) 到直线x=-1 的距离比它到定点(3,0)的距离小2,则点P
的轨迹方程为
A.y =6x B.y =12r C.y =-6z D.y =—12r
【期中考试卷 ·数学 ·选择性必修第一册第1页(共4页)】
6.已知双曲线 的左、右焦点分别为F,F , 点P 是C 上一点，且 |PF I=3|PF I, 则C 的渐近线方程为
C.y= 士 √3-
7.某市举办青少年机器人大赛，组委会设计了一个正方形场地ABCD(边长为8米)D
如图所示，E,F G 分别是AB,BC,CD的中点，在场地 ABCD中设置了一个半径为
米的圆H,圆H 与直线AB相切于点E.比赛中，机器人从F点出发，经过线段 AG 上一点，然后再到达圆H,则机器人走过的最短路程是
米
8.已知离心率的椭圆C)的短轴长为2 √3,直线l过点)且与描圆C 交 于A,B 两点，若|API=|BP|, 则直线L的方程为
A.3z-2y-2=0 B.3x+2y-4=0 C.4r+6y-7=0 D.4z-6y-1=0
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知△ABC 的三个顶点是A(1,2),B(-1,4),C(2.5),则
A.边BC 的长度是 √10 B.直线BC 的方程为x-3y+13=0
C.边BC上的高所在直线的方程为3x-y-1=0 D.△ABC 的面积是4
10.已知O 为坐标原点，抛物线C:y =4r 的焦点为F,准线为直线1,直线PQ 与C 交于P,Q 两点，则下 列说法正确的是
A.点F 到直线l 的距离是4
B.若PQ的方程是2x-y-4=0, 则△FPQ的面积为3 C.若PQ 的中点G 到直线l的距离为3,则|FPI+|FQl=8 D.若点(4,0)在直线PQ上，则OP⊥0Q
11.已知正方体ABCD-A B C D 的棱长为1,动点P 在正方形A B C D 内(包含边界),则下列说法 正确的是
凡 ),则I
B. ),则直线AP 和C D 所成角为
C.若BP⊥A P,则点P 的轨迹长度
D.若BPIA P, 则点C 到直线BP 的距离的最小值为 √2 √2-2
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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线L:3z-y+4=0,L :x+2y-1=0, 则以L,L2的交点为圆心，且经过点A(3,4)的圆的方程 是
13.已知直线：x-y-3=0,抛物线C:z =6y的准线是L2,点P是C上一点，若点P到直线L,h的距 离分别是d ,d , 则d +d 的最小值是
14.已知O 为坐标原点，P(4,0), 点E是直线l:z-3y-3=0 上一点，若以E 为圆心，2为半径的圆E 上 存在点Q, 使得1PQI=3|OQI, 则线段OE长度的取值范围是
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分13分)
已知A(1,6),B(-4,7),C(0,1),△ABC 的外接圆为圆M.
(1)求圆M 的方程；
(2)已知直线L:√3x-y+2√3=0 与圆M交于E,F 两点，求△AEF的面积.
16. (本小题满分15分)
如图，在直三棱柱ABC-A B C 中，AB⊥AC,AB=AC=2,BB =BC,D 为BC 的中点。
(1)求证：直线A C//平面 AB D;
(2)求直线 B D与平面A BC所成角的正弦值.
17. (本小题满分15分)
(
焦距为6.
)已知双曲线 E 的离心率
(
(O
为坐标原点),求
k
的值.
)(1)求E的方程；
(2)若直线l:y=kx+1 与E相交于A,B 两点，
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18.(本小题满分17分)
如图，在四棱锥M-ABCD中，底面ABCD是边长为6的正方形，△MAB是等边三角形，平面MAB ⊥平面ABCD.
(1)求平面CDM与平面ABM所成二面角的正弦值；
(2)已知E,F,G 分别是线段 AM,DM,CD上一点，且DF=
,若H 是线段BM 上的一点，且点H 到平面EFG 的 距离为 √5,值.
19.(本小题满分17分)
极点与极线是法国数学家吉拉德 ·迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正 式阐述的.对于椭圆,极点P(ro,yo)(不是坐标原点)对应的极线为1p: .已知椭圆E 的长轴长为6 √2,左焦点与抛物线y =-12r 的焦点重合. 对于椭圆E,极点P(-6,0)对应的极线为Lp,过点P 的直线2与椭圆E 交于M,N 两点，在极线Lp上 任取一点Q, 设直线MQ,NQ,PQ的斜率分别为k ,kz,k (k ,kz,ks均存在).
(1)求极线p 的方程；
(2)求证：k +k =2k;
(3)已知过点Q 且斜率为2的直线与椭圆E 交于A,B 两点，直线PA,PB 与椭圆E 的另一个交点分 别为C,D,证明直线CD 恒过定点，并求出定点的坐标.
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期中数学答案
1.A 直线1/3x+y- √3=0 可化为y=- √3x+ √3,所以直线1的斜率k=- √3.故 选A
2.C 由|AF I+|AF I=4√2, 得2a=4√2, 即a=2√2, 又A是椭圆C上一点，所以 ,解得b=1, 故椭圆C 的方程 1.故选C
3.A 圆C, 圆Ca的方程可以化简为r+y -4z+6y-3=0.z +y-4y-6=0, 将两圆方程相减，得4x-10y-3=0,
即直线AB 的方程为4x-10y-3=0.故选A
4.D 由题意，得
.故选D.
5.B 由题意知动点P(r,y) 到直线r=-3 的距离与它到定点(3.0)的距离相等，由抛物线的定义知，点P 的轨迹是以 (3,0)为焦点，x=-3 为准线的抛物线，所以p=6,点P 的轨迹方程为y =12r.故选B
6.D 由双曲线定义知I|PF I-IPF II=2a,因为|PF I=3|PF I,所以IPF I=a,IPF I=3a,因为 IF F I=2c, ,化简得7a =4 , 又e=a + B, 所,解得 ,所以双曲线C的渐近线方程为：故选D.
7.A 如图，以点A为原点，以AB,AD分别为x 轴，y轴建立平面直角坐标系，则由题意，得 A(0.0),E(4,0),F(8,4),G(4,8),所以AG:y=2x,因为圆H 与直线AB 相切于点E 且半 径 ,所以圆H 的方程为 ,设点F 关于直线AG的对称点为
(
解
，
)F'(a,b), 则 连接FH, 线段FH 分别与AG,圆 H交于
点M,N, 当机器人走过的路线是线段 FM,MN时，路程最短，
,所以机器人走过的最短路程 .故选A
8.B 因为离心率为 的椭圆C 的短轴长为2 √3,所 b=2 √3,解得b= √3,a=2,所以椭圆C 的方 程 1,由|API=|BP|, 得 P 为AB的中点，设A(n,y),B(r,y), 则,因为A.B是 椭圆C上两点，所以1,两式相减，,所以 ,故直线1的方程为 ),即3z+2y-4=0.故选B
9.ABD [BCI=√(2+1) +(5-4)F=√ 10,故A正确：由题意，得,所以直线 BC的方程为y-4= ),即x-3y+13=0, 故B正确；边BC上的高所在直线的斜率为-3,所以边BC上的高所在直线的方程为y-2 =-3(r-1), 即3x+y-5=0, 故C 错误1点A 到直线BC 的距离,所以△ABC 的面积是
4,故D正确.故选ABD.
10.BD 对于选项A,由题意可知抛物线C的焦点为F(1,0), 准线l 的方程为x=-1, 所以点F 到直线1的距离是2.故A 错误；对于选项B,由得y-2y-8=0, 解得 y=-2 或y=4, 所以Iyp-yol=6. 又PQ与r 轴的交点 为E(2,0),所以|EF|=1,所以△FPQ的面积,故B 正确：对于选项C,因为PQ的中点G 到
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直线l的距离为3,所3,即rp+ra=4,所以|FP]+IFQI=xp 十q+2=6, 故C 错误；对于选项D.设 PQ:x=my+4,P(n,y).Q(,y), 由 得y-4my-16=0,△=16m +64>0,y+y=4m, 为 = -16,因为.所以OP⊥0Q,故D 正确.故选BD.
11.ACD 以A点为原点，以AB,AD,AA,所在直线分别为r 轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则A(0.0.0)。
B(1.0,0),C(1.1.0),DC0.1.0),A (0,0.1),B (1.0,1),G(1,1,1),D (0,1.1),设P(x.
y,1),其中O≤<1,0≤≤1,对于A选项，由AP=0)+(0.1 ,得,即,所 ,IBP 故A正确：对于B选项，由A 选项知1),所以).又G D= (-1,0.-1),设直线AP和C D所成角为6),则 cosθ=1cos(AP.Gb) |=
,所以 故B 错误；对于C 选项，因为BP1
A P,所以BP·AP=0,(r-1,y,1)·(r,y.0)=0, 即r-x+y=0, 又点P 在平面A B GD,内(包含边界),所以 点P的轨迹是平面A B CD,内以()为圆为半径的半圆弧，所以其长度故 C正确：对于D选项。
由C选项知r-x+y=0,C=(0.1,0), 设∠PBC=a. 则 cos a=cos(C,
,所以：,所以点C 到直线BP 的距离令 2 -x=L,L∈[1,2],所以
.当且仅当,即1=Z,x=2-√2 时，等号成立，故点C到直线BP的距离的最小值为 √2 √2-2,故D正确.故选ACD.
12.(x+1) +(y-1) =25 由题意，得L, 的交点为(-1,1),所以所求圆的圆心是(一1,1),半径为r= √ (-1-3) +(1-4) =5,故所求圆的方程为(+1) +(y-1) =25.
13. 抛物线C 的焦点是,准线是 ,设点F 到直线L 的距离为d,则,所以d +d =d + IPF|≥d,当且仅当FP⊥4且P 在F 与ム之间时等号成立，所以d +dz 的最小值
由题意可设E(3m+3,m),则圆E的方程为(r-3m-3) +(y-m) =4. 若圆E上存在点Q, 使 得(PQl=31OQ|,设Q(x,y),则 √G-4) +J=3√F+y, 化简可得,故点Q 在 为圆心 为半径的圆F 上，因为点Q 也在圆E 上，所以圆E 与圆F 有交点，所以
,解得一结≤m≤0,又I0EI=√(3m+3) +m=√ 10m +18m+9 =
(
3分
…6分
),所以IOEI∈,即线段OE 长度的取值范围 15.解：(1)设圆M 的方程为x +y +Dx+Ey+F=0, 则
8,所以圆M 的方程为r +y+4r-8y+7=0.…
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(2)由x +y +4x-8y+7=0, 得(x+2) +(y-4) =13, 所以圆M的圆心为M(-2,4), 半径r=√ 13,……7 分
圆心 M 到直线!的距离为 |EFI=2 √F-d=2 √ 13-4=6.……… …9分
(
…11分
) (
.
…
)又点A到直线1的距离为
(
…
13
分
)所以△AEF 的面积………… …………
16.(1)证明：设A BNAB =E.连接DE,
在直三校柱ABC-A B C 中，四边形AA B B是平行四边形，所以E 是A B的中点，又D
(
…3
…6
) (
分
B
分
)为BC 的中点，所以DE//A C..
又 DEC 平面AB D,A CC平面AB D,所以直线A C//平面AB D..
(2)解：在直三棱柱ABC-A B C 中，AA ⊥平面ABC,又AB,ACC平面ABC,所以AA ⊥ AB,AA⊥AC.又 AB⊥AC,所以以A 为原点，AB,AC,AA,所在直线分别为x 轴，y轴，
=轴，可以建立空间直角坐标系。…… … 8 分
因为AB⊥AC,AB=AC=2,BB =BC,所以BB =BC=2√2,则B(2,0.0),C(0,2,0),D(1,
1.0),A (0.0,2√2),B (2,0,2√2), … … …10 分
E=(-2,2.0), 丽=(-2.0,2 √2),设平面A BC的法向量为m=(r,y.z), 则
(
…
) (
12分
)1.得x=√2,y=√2, 所以平面A BC的一个法向量为m=(√2w2,1). … 又B D=(-1,1,-2√2), 设直线B D与平面A BC所成角为8,
即直线B D与平面A BC所成角的正弦值 …………… … 17.解：(1)因为双曲线 的离心牢是 ,焦距为6 所 ,2c=6,其中c=√d+B,解得a=5,c=3,所以=√C-d=2. 所以E 的方程. (2)设A(x,y),B(,y)。 消去y,得(4-5R)r-10kx-25=0. 因为直线l y=kr+1 与E 相交于A,B两点，所即R<1 且 由韦达定理，得,… xox=(x ,y)=(x,ka+1),OB=(n,n)=(z,kn +1), 所以OA · 即 ,所,…… 将韦达定理代入上式，得(1+F) 即 ,满足F<1 18.解：(1)取AB,CD 的中点分别为0.0,连接00,因为底面 ABCD 是正方形，所以 00 ⊥AB, 因为△MAB是正三角形，0为AB的中点，所以MO⊥AB,又平面MAB⊥平面 ABCD,平面MABN平面ABCD=AB,MOC平面MAB,所以MO⊥平面ABCD, 15分 ………5分 ……8分 … 12分 且 ……15分
(
……
)…2分
又AB,O0C 平面ABCD,所以MOLAB,MO⊥00,以O点为原点，以OB.O0.OM 所在直线分别为x 轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
由题意，得O(0,0.0),A(-3.0.0),B(3,0.0),C(3,6,0),D(-3.6,0),M(0,0.3 √3),
【期中考试卷 ·数学 ·选择性必修第一册 ·参考答案第3页(共4页)】
b=(-6,0,0),CM=(-3,-6.3 √3)。 令y=3,则z=0,z-2J , 易知平面 ABM的一个法向量为m=(0,1.0)。 设平面CDM与平面ABM所成二面角为0. 设平面 CDM 的法向量为n=(z,y,z), 所以 即平面CDM的一个法向量为n=(0,3.23) … … 5 分
则 ,所
即平面CDM与平面ABM所成二面角的正弦值.…… ……8分
(2)因为E.F,G 分别是线段AM,DM,CD 上一点，且,所以E(-2.0. √3), F(-1,2,23),C01,6.0),所以=(1 .2-3),t=(3,6,- √3).… 10分
设平面EFG的法向量为u=(a,b c), 所以令a=2, 则b=-1,c=0, 即平面EFG的
一个法向量为a=(2,-1,0). …… … …13分
),则所=λ丽，c南=CB+A丽=(2,-6,0)+λ(-3.0.3 √3)=(2-3),-6,3 √3x),….15 分 所以点H 到平面EFG的距. 即
… …17分
19.(1)解：因为椭圆0)的长轴长为6 √2,所以2a=6 √2,解得a=3 √2.
因为椭圆E 的左焦点与抛物线y =-12r 的焦点(-3.0)重合，所以 √a-F=c=3, 解得b=3,
所以捕圆E的方程.… …2分
由题意可知对于树圈E, 极点P(-6.0) 对应的极线p 的方程 ,即x=-3. … … …4 分
(2)证明：设Q(-3,0), 由题意知直线1的斜率必然存在，故设直线L,y=k(x+6),M(n,y),N(n,y),
联立方 消去y, 得(1+2F)r+24Rr+72H-18=0. △=(24R) -4(1+2F)(72k -18)=72(1-2F)>0,即
所以 … … … 6 分
………………………… ………………………… …………10分
又 ,所以k+=2b.……………………………… … …11分
(3)证明：当A,B,C.D中有横坐标为-3时，纵坐标,则 或 ,直线PA 或PB 与椭圆E 相 切，不符合题意，所以QA,QB,QC.QD的斜率都存在
由(2),得kan+ka=2ko,kan+kao=2kap,又kaA=ko=2, 所以kcc=koo,所以Q 是AB 和CD 的交点。……13分 因为kan+kec=2kap,所以kan+ko=2kop, 设Q(-3,), 则 o=2,所以,直线CD的方程为y
,即 0,… … …15分
所 以CD 恒 .… … …17分
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6.已知双线C吉-苦=1(o>0,6>0)的左右熊点分别为R点P是C上一点，且∠BP=导
1PF:|=3引PF|,则C的浙近线方程为
高二数学
A=士9：
B=士得z
Cy=±3x
Dy=士：
考武模块：选择性必修第一册
7.某市举办背少年机器人大赛，组委会设计了一个正方形场地ABCD(边长为8米)
考生注意：
如图所示，E,F,G分别是AB,C,CD的中点，在场地ABCD中设置了一个半径为
1.本武卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时问120分钟。
2.答避前，考生务必用直径0,5毫米尿色墨水签字笔将窑封线内项目城写济楚。
号米的圆H,圆H与直绿AB相切于点E.比赛中，机器人从F点出发，经过线段
3.考生作答时，请格袋案答在答题卡上。速择通每小题选出签素后，用2B铅花把茶览卡上对应趙日
的然章标号涂黑：非进择通请用直径0.5米黑色圣水荟字笔在参避卡上各题的签题区域内作答，
AG上一点，然后再到达圆H,则机器人走过的最短路程是
超出答题区城书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4本卷命题范：问向量与主体几何、立线与的方、回维曲战。
A7④-米
B.6y厅-米
c2g厘*
D.6米
5
5
一、选择粗：本题共8小愿，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合題目要
&.已知离心率为2的椭圆C+芳=1a>6>0)的短轴长为2原，直线L过点P(1,)且与辆圆C交
求的。
于A,B两点，若引AP|=]BP|,则直线1的方程为
1.直线1：w3x+y一3-0的斜率为
A3x-2y-2=0
B.3x+2y-4=0
C.4x6y-7=0
D.4x-6y-1=0
A-5
B
c号
D.5
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合照目要求。全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
2.已知椭圆C兰+号=1a>6>0)的两个焦点分别为R,R,点A(停，2)是C上一点，且IA,十
留
9.已知△1BC的三个顶点是A(1,2),B(一1,4)，C(2,5),则
召
AF:|-42,则C的方程为
A边BC的长度是V√可
B直线BC的方程为x一3y十13=0
部
A益+华司
R益+紫-1
c+2=1
血常+紧-1
C边BC上的高所在直线的方程为3x一y一1=0
D.△ABC的面积是4
3.已知圆G:(x一2)2+(y+3)2=16与四C2x2+(y一2)2=10相交于A,B两点，则直线AB的方程为
10.已知O为坐标原点，抛物线C:y=x的焦点为F,准线为直线1，直线PQ与C交于P,Q两点，则下
爱
A.4x-10y-3=0
B.4z+10y+3=0
列说法正确的是
期
C.1x-10y-9-0
D.4z十10y十9=0
A点F到直线！的距离是4
B若PQ的方程是2x一y一4=0，则△FPQ的面积为3
4,如图，在四面体ABCD中，E是棱AB上一点，且AE-宁AB,F是棱CD的中点，则E京-
C若PQ的中点G到直线1的距离为3，则|FP|十|FQ|=8
A-吉A店-AC+2ò
D.若点(4,0)在直线PQ上，则OP.LOQ
R号+号花-贵ò
11.已知正方体ABCD一AB,CD的楼长为1，动点P在正方形A1B,C1D内（包含边界），则下列说法
正确的是
c号成-A就-ò
A若A泸-+动.则-写
D.-应+2花+号应
R若A户=（忘+A,则直线AP和CD所成角为写
5.在平面直角坐标系x中，动点P(x,y)到直线x=一1的距离比它到定点(3,0)的南离小2，则点P
的轨迹方程为
C若BPLAP,则点P的轨迹长度为
A.y=6x
B.y2=12x
C.y2=-6z
D.y2=-12x
D.若BP⊥A1P,则点C到直线BP的距离的最小值为√2√2一2
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【期中考试卷·数学·选择性必修第一册第2页（共4页）】
